指数関数と実数の指数

実数を指数とする累乗

有理数の指数の課では、$a^x$ が定義され（ただし $a > 0$、$x$ は有理数）、その定義が指数を表す分数によらないこと、指数法則が成り立つこと、そして $a > 1$ ならば累乗は指数とともに増加すること、すなわち $r < s$ が有理数ならば $a^r < a^s$ であることが証明された。しかし、$2^{\sqrt{2}}$ のような式は意味をもたないままである。$\sqrt{2}$ は分数ではなく、それを定める累乗根も整数乗もないからである。

ところで、$\sqrt{2}$ は有理数 $1$、$\frac{7}{5}$、$\frac{141}{100}$、$\frac{1414}{1000}$ より大きく、それらは下からそれに近づく。そして累乗 $2^1$、$2^{\frac{7}{5}}$、$2^{\frac{141}{100}}$、$2^{\frac{1414}{1000}}$ は増加数列をなし、その値はおよそ 2；2.639；2.657 および 2.665 である。これらのどれも $2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{8}$ を超えない。これらの指数はすべて $\frac{3}{2}$ より小さいからである。そうであれば、$2^{\sqrt{2}}$ を、累乗 $2^r$（ただし $r$ は有理数で $r \leq \sqrt{2}$）のどれにも超えられない最小の数として、すなわち上限として定義するのが自然である。その存在は実数の完備性によって保証される。完備性は数の集合の課で紹介された。

上限による定義

$a > 1$ とし、$x$ を実数とする。$A_x$ を、累乗 $a^r$（ただし $r$ は有理数で $r \leq x$）全体の集合とする。実数を指数とする累乗 $a^x$ とは $A_x$ の上限のことである。$0 < a < 1$ ならば $a^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x}$ と定める。ここで底 $\frac{1}{a}$ は $1$ より大きい。また、$1^x = 1$ と定める。ここで $x$ は任意の実数である。

この定義は証明すべき二つの主張を含んでいる。上限が存在すること、そして $x$ が有理数ならば新しい数 $a^x$ がすでに知られている数と同じであることである。後者がなければ、記号 $a^x$ は有理数の指数に対して二つの意味をもってしまう。

$1$ より小さい底に対する定義も、もとの定義を延長している。$0 < a < 1$ で $r$ が有理数ならば、有理数の指数の法則により $\left(\frac{1}{a}\right)^{-r} = \frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)^r} = a^r$ だからである。さらに、定義からただちに、よく使われる規則が導かれる。任意の底 $a > 0$ と任意の実数 $x$ に対して、逆数の底の累乗は反数の指数の累乗である。実際、$a > 1$ ならば底 $\frac{1}{a}$ は $1$ より小さく、定義により $\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$ である。$0 < a < 1$ ならば底 $\frac{1}{a}$ は $1$ より大きく、$a^{-x}$ の定義はまさに $\left(\frac{1}{a}\right)^{x}$ である。

単調性

定義の最初の使い道は、$a^x$ を有理数乗の間に位置づけることである。底が $1$ より大きいとき、$x$ より小さいどの有理数の指数も $a^x$ より小さい累乗を与え、それより大きいどの有理数の指数も、より大きい累乗を与える。このことから任意の実数の指数に対する単調性が導かれる。

$a > 1$ ならば、単調性は両方向に読める。任意の実数 $u$ と $v$ に対して、$u < v$ となるのは $a^u < a^v$ のとき、かつそのときに限り、$u = v$ となるのは $a^u = a^v$ のとき、かつそのときに限る。実際、もし $u \geq v$ ならば $a^u \geq a^v$ となるはずである。底が $0$ と $1$ の間にあるときは、不等号を逆にして同値が成り立つ。こうして同じ底の累乗は、指数を比べることによって比較される。