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Topos Uranos
日本語

逆三角関数

要約

本課では正弦、余弦、正接の逆関数を構成する。これらの関数は周期関数なので単射ではなく、逆関数をつくるには、各値をただ一度だけとる区間に制限しなければならない。正弦は [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} に、余弦は [0,π]\icc{0}{\pi} に、正接は (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} に制限する。弧長に沿った移動の公理（移動する点の横座標が最初の半回転の間は狭義に減少すると主張する）から、余弦が [0,π]\icc{0}{\pi} で狭義単調減少であることを導き、そこから対称性を用いて、正弦と正接がそれぞれの区間で狭義単調増加であること、および三つの制限が全単射であることを証明する。逆正弦、逆余弦、逆正接を定義し、それらのグラフを直線 y=xy = x に関する対称移動として得る。続いてそれらを結びつける恒等式を証明し、常に成り立つ sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x と、主値の区間でのみ成り立つ arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x とを注意深く区別し、完全な一回転の中で方程式 sin⁡x=c\sin x = c、cos⁡x=c\cos x = c、tan⁡x=c\tan x = c を解く。

学習目標

  1. 移動の公理から主値の区間における余弦と正弦の狭義単調性を導き、それを用いて正接の狭義単調性を証明し、三つの逆関数をその定義域と値域とともに定義する。
  2. 逆正弦、逆余弦、逆正接のグラフを直線 y=xy = x に関する対称移動として描き、主な点での値を計算する。
  3. 逆三角関数の合成の恒等式、対称性の恒等式、余角の恒等式を証明し、三角関数とその逆関数を組み合わせた式を簡単にする。
  4. 逆三角関数と単位円の対称性を用いて、区間 [0,2π)\ico{0}{2\pi} で基本的な三角方程式を解く。

三角関数の制限

コース I の関数の演算の課によれば、関数が逆関数をもつのは全単射であるとき、かつそのときに限り、そのとき逆関数のグラフはもとの関数のグラフを直線 y=xy = x に関して対称移動したものである。ところが、三角関数とそのグラフの課で調べた三角関数は単射ではない。正弦と余弦は周期 2π2\pi をもち、正接は周期 π\pi をもつので、各値は無限に何度も繰り返される。さらに、一つの周期の中でも値は繰り返される。三角比の課で証明した補角の対称性により、sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x が成り立つ。そうであるから、これらの関数の逆関数をつくるには、単射であり、かつすべての値をとる区間に制限しなければならない。鋭角を含み、関数が狭義単調である区間を選ぶ。

定理主値の区間における単調性

余弦は [0,π]\icc{0}{\pi} で狭義単調減少であり、正弦は [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} で狭義単調増加であり、正接は (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} で狭義単調増加である。

単位円の点 P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) による正弦と余弦の定義（三角比の課）と、角とその大きさの課で認めた弧長に沿った移動の公理を用いる。余弦の単調性はこの公理の半回転の性質を言い換えたものであり、正弦と正接の単調性はそこから証明される。

証明

  1. 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi

    α\alpha と β\beta を 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi を満たす数とする。点 P(α)P(\alpha) と P(β)P(\beta) は、長さがそれぞれ α\alpha と β\beta で (1,0)(1, 0) から時計の針と逆の向きに出発する弧の終点であり、どちらも移動の最初の半回転の中にある。この半回転は上半円を覆う。

  2. 0≤α<β≤π→cos⁡α>cos⁡β\dato{c}{0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \cos \alpha > \cos \beta}

    公理の半回転の性質により、最初の半回転の間、移動する点の横座標は狭義に減少する。P(α)P(\alpha) の横座標は P(β)P(\beta) の横座標より大きい。余弦は定義により P(θ)P(\theta) の横座標であるから、横座標の間の不等式は余弦の間の不等式である。

  3. sin⁡α=cos⁡(π2−α)<cos⁡(π2−β)=sin⁡β\sin \alpha = \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)} < \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \beta \right)} = \dato{s}{\sin \beta}

    今度は −π2≤α<β≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \alpha < \beta \leq \frac{\pi}{2} とする。それらの余角は π2−β<π2−α\frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2} - \alpha を満たし、[0,π]\icc{0}{\pi} にある。余角の対称性により、角の正弦はその余角の余弦であり、余弦は [0,π]\icc{0}{\pi} で減少するから、正弦は [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} で増加する。

  4. tan⁡α=sin⁡αcos⁡α<sin⁡βcos⁡α<sin⁡βcos⁡β=tan⁡β\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < \frac{\resaltar{\sin \beta}}{\cos \alpha} < \frac{\sin \beta}{\resaltar{\cos \beta}} = \dato{t}{\tan \beta}

    正接については、0≤α<β<π20 \leq \alpha < \beta < \frac{\pi}{2} とする。これまでのステップにより、0≤sin⁡α<sin⁡β0 \leq \sin \alpha < \sin \beta かつ cos⁡α>cos⁡β>cos⁡π2=0\cos \alpha > \cos \beta > \cos \frac{\pi}{2} = 0 である。分子をまず増やし、次に分母を減らすと（どちらも正）、商は増加する。

  5. tan⁡α=−tan⁡(−α)<−tan⁡(−β)=tan⁡β\tan \alpha = \resaltar{-\tan(-\alpha)} < \resaltar{-\tan(-\beta)} = \tan \beta

    正接は奇関数である。奇関数である正弦を偶関数である余弦で割った商だからである。−π2<α<β≤0-\frac{\pi}{2} < \alpha < \beta \leq 0 ならば、それらの符号を変えた数は 0≤−β<−α0 \leq -\beta < -\alpha を満たし、符号を変えると直前のステップの不等式は逆向きになる。α<0<β\alpha < 0 < \beta ならば、正接は α\alpha で負、β\beta で正である。したがって、正接は区間 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} 全体で増加する。

全単射となる制限

関数の演算の課の単調関数の定理により、狭義単調な関数はすべて単射である。残るのは、各制限がその値域のすべての値をとることである。

定理全単射となる制限

[−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} に制限した正弦は [−1,1]\icc{-1}{1} の上への全単射であり、[0,π]\icc{0}{\pi} に制限した余弦は [−1,1]\icc{-1}{1} の上への全単射であり、(−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} に制限した正接は R\mathbb{R} の上への全単射である。

単射性は上の定理から従う。各制限がそのすべての値をとることは、移動の公理の被覆の性質（単位円のすべての点は (1,0)(1, 0) から出発する弧の終点である）と、「一回転は点を繰り返さない」という補題から従う。どちらも角とその大きさの課にある。

証明

  1. 0≤α<β≤π→cos⁡α≠cos⁡β0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \resaltar{\cos \alpha \neq \cos \beta}

    上の定理により、三つの制限は狭義単調であり、狭義単調な関数はすべて単射である。上半円の異なる二つの角は異なる横座標をもつ。

  2. Q=(c,1−c2),c2+(1−c2)2=1→Q=P(θ)Q = \left( c, \sqrt{1 - c^2} \right), \quad \resaltar{c^2 + \left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 = 1} \rightarrow \dato{q}{Q = P(\theta)}

    cc を −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1 を満たす数とする。下の点 QQ は単位円上にある。被覆の性質と、一回転は点を繰り返さないことにより、それは P(θ)P(\theta) である。ただし θ\theta は [0,2π)\ico{0}{2\pi} のただ一つの数である。

  3. sin⁡θ=1−c2≥0→θ∈[0,π],cos⁡θ=c\sin \theta = \sqrt{1 - c^2} \geq 0 \rightarrow \theta \in \icc{0}{\pi}, \quad \dato{c}{\cos \theta = c}

    QQ の縦座標は負ではなく、三角比の課の象限ごとの符号により、正弦は (π,2π)\ioo{\pi}{2\pi} で負である。したがってその θ\theta は [0,π]\icc{0}{\pi} にあり、その余弦は cc である。制限した余弦は [−1,1]\icc{-1}{1} のすべての値をとる。

  4. sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ=c,π2−θ∈[−π2,π2]\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \resaltar{\cos \theta} = \resaltar{c}, \quad \frac{\pi}{2} - \theta \in \icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}

    余角の対称性により、π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta の正弦は θ\theta の余弦であり、θ\theta が [0,π]\icc{0}{\pi} を動くとき、その余角は [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} を動く。制限した正弦も [−1,1]\icc{-1}{1} のすべての値をとる。

  5. tan⁡x=m,x−kπ∈(−π2,π2),tan⁡(x−kπ)=m\tan x = m, \quad x - k\pi \in \ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, \quad \tan(x - k\pi) = m

    正接については、三角関数とそのグラフの課の正接の性質の定理が、その値域は R\mathbb{R} であると述べている。mm が与えられたとき、傾き mm で原点を通る直線は右半円と点 P(x)P(x) で交わり、xx は −π2-\frac{\pi}{2} と π2\frac{\pi}{2} の間にある。このことは周期性からもわかる。tan⁡x=m\tan x = m ならば、1 周目への帰着のように xx から π\pi の整数倍を引くと、同じ正接をもつその区間の数が得られる。