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Topos Uranos
日本語

複素数：演算と方程式

要約

この課では、複素数を実数の順序対として構成し、加法と乗法を明示的な式で定義する。こうして等式 i2=−1i^2 = -1 は公準ではなくなり、定理となる。代数形式、複素平面、虚数単位の累乗、共役複素数と絶対値を導入し、それらの性質を証明する。そのなかには三角不等式があり、共役複素数による割り算もある。これらの道具を用いて、判別式が負の二次方程式を解き、実数係数の多項式の実数でない根は共役な対をなして現れることを証明し、z3=1z^3 = 1 のような方程式や、zz とその共役を組み合わせた方程式を解く。

学習目標

  1. 複素数を実数の対として構成し、乗法の定義から i2=−1i^2 = -1 を導き、代数形式で計算する。
  2. 複素数を平面上に表し、和、共役、絶対値、および ii を掛けることを幾何学的に解釈する。
  3. 共役と絶対値の性質を、三角不等式も含めて証明し、共役を掛けることで割り算を行う。
  4. C\mathbb{C} において二次方程式、簡単な多項式方程式、および zz とその共役についての一次方程式を解く。

実数の対としての複素数

数の集合の課では、虚数単位 ii を、平方が −1-1 である新しい数として導入し、式 a+bia + bi を実数と同じ規則で計算した。このやり方には二つの問いが残る：この性質をもつ対象が本当に存在するのか、そして実数の規則をそれに矛盾なく適用できるのか。ハミルトンが 1837 年に発表した答えは、何も新しく仮定せずに、実数から複素数を構成することである：複素数とは実数の順序対である。

定義（複素数）。複素数とは、実数の順序対 (a,b)(a, b) のことである。複素数全体の集合を C\mathbb{C} で表す。二つの複素数は、第一成分どうしが一致し、第二成分どうしが一致するとき、等しい。和と積は次の式で定義する。
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), \qquad (a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

和は成分ごとに計算する。これに対して積は、成分ごとの積（それなら (ac,bd)(ac, bd) となる）ではなく、その形は恣意的に見える。この定義はその帰結によって正当化される。成分ごとの積では、(1,0)(1, 0) と (0,1)(0, 1) の積は (0,0)(0, 0) となり、どちらの因数も零でないのにそうなるから、割り算はありえない。定義された積では、対 (0,1)(0, 1) の平方は対 (−1,0)(-1, 0) であり、(a,0)(a, 0) の形の対は実数とまったく同じようにふるまう。

複素数のなかの実数

第二成分が零である対は、実数と同じように足し算され、掛け算される：

(a,0)+(c,0)=(a+c,0),(a,0)⋅(c,0)=(ac,0)(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0), \qquad (a, 0) \cdot (c, 0) = (ac, 0)

したがって、対 (a,0)(a, 0) は実数 aa と同一視でき、どの演算の結果も変わらない。こうして R\mathbb{R} は C\mathbb{C} に含まれる。これは、数の集合の課で述べた拡張の原理が要求するとおりである。さらに、対に実数を掛けると、その二つの成分がともにその実数倍になる。(r,0)⋅(a,b)=(ra,rb)(r, 0) \cdot (a, b) = (ra, rb) だからである。対 i=(0,1)i = (0, 1) を虚数単位という。

定理虚数単位と代数形式

i=(0,1)i = (0, 1) の平方は実数 −1-1 であり、すべての複素数 (a,b)(a, b) はただ一通りに a+bia + bi と書ける。ここで aa と bb は実数である。 証明には、積の定義と、各実数 aa を対 (a,0)(a, 0) と同一視することしか用いない。図は各対 (a,b)(a, b) を、座標が aa と bb である平面上の点として表す。この考えは次の節で展開する。

証明

  1. i2=(0,1)⋅(0,1)=(0⋅0−1⋅1,0⋅1+1⋅0)=(−1,0)i^2 = \resaltar{(0, 1) \cdot (0, 1)} = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = \resaltar{(-1, 0)}

    積の定義を a=c=0a = c = 0、b=d=1b = d = 1 として適用する。

  2. i2=−1\resaltar{i^2} = \resaltar{-1}

    対 (−1,0)(-1, 0) は実数 −1-1 である：虚数単位は −1-1 の平方根の一つである。もう一つはその反数 −i=(0,−1)-i = (0, -1) である。(−i)2=i2(-i)^2 = i^2 だからである。

  3. b⋅i=(b,0)⋅(0,1)=(b⋅0−0⋅1,b⋅1+0⋅0)=(0,b)b \cdot i = \resaltar{(b, 0) \cdot (0, 1)} = (b \cdot 0 - 0 \cdot 1, b \cdot 1 + 0 \cdot 0) = \dato{b}{\resaltar{(0, b)}}

    実数 bb に ii を掛けると、第一成分が零で第二成分が bb である対が得られる。

  4. (a,b)=(a,0)+(0,b)=a+bi(a, b) = \resaltar{(a, 0) + (0, b)} = \dato{f}{\resaltar{a + bi}}

    すべての対は、第一の軸上の対と第二の軸上の対の和である。

  5. a+bi=c+di↔(a=c∧b=d)a + bi = c + di \leftrightarrow \resaltar{(a = c \wedge b = d)}

    この書き方は一意的である：a+bi=c+dia + bi = c + di ならば、対 (a,b)(a, b) と (c,d)(c, d) は等しく、等しさの定義により成分どうしが一致する。

式 a+bia + bi を複素数 z=(a,b)z = (a, b) の代数形式という。実数 aa を zz の実部、実数 bb をその虚部という。虚部は実数 bb であって、積 bibi ではないことに注意する。虚部が零の複素数は実数であり、実部が零の複素数は、3i3i のように、純虚数とよばれる。定理の最後の部分により、複素数どうしの等式は実数どうしの二つの等式と同値である。このことから、どの複素数の方程式も二つの実数の方程式からなる連立方程式に変換できる。これが最後の節の主な道具である。

演算の性質

代数形式が役に立つのは、実数の文字式と同じように、積を展開し i2i^2 を −1-1 で置き換えながら計算できる場合に限られる。そのためには、C\mathbb{C} の演算が R\mathbb{R} の演算と同じ性質をもつ必要がある。

定理演算の性質

複素数の和と積は交換法則と結合法則を満たし、積は和に対して分配法則を満たす。0=(0,0)0 = (0, 0) と 1=(1,0)1 = (1, 0) はそれぞれ和と積の単位元であり、すべての複素数 (a,b)(a, b) は反数 (−a,−b)(-a, -b) をもつ。 和の性質は、成分ごとに実数の性質から受け継がれる。積の性質は、両辺を実数の性質を用いて展開すれば確かめられる。逆数の存在は、後で共役を用いて証明する。図は (a,b)=2+i(a, b) = 2 + i、(c,d)=1+i(c, d) = 1 + i、(e,f)=1−i(e, f) = 1 - i として証明をたどり、図ではこれらを zz、ww、uu とよぶ：結合法則と分配法則に現れる三つの積は、同じ点 4+2i4 + 2i に行き着く。

証明

  1. (c,d)⋅(a,b)=(ca−db,cb+da)=(a,b)⋅(c,d)(c, d) \cdot (a, b) = (\resaltar{ca - db}, \resaltar{cb + da}) = (a, b) \cdot (c, d)

    積の交換法則は式から読み取れる：(a,b)(a, b) と (c,d)(c, d) を入れ替えても、どの成分も変わらない。ca=acca = ac、db=bddb = bd、cb+da=ad+bccb + da = ad + bc だからである。

  2. [(a,b)⋅(c,d)]⋅(e,f)=(ac−bd,ad+bc)⋅(e,f)=(ace−bde−adf−bcf,acf−bdf+ade+bce)\left[ (a, b) \cdot (c, d) \right] \cdot (e, f) = \resaltar{(ac - bd, ad + bc)} \cdot (e, f) = \dato{p}{(ace - bde - adf - bcf, acf - bdf + ade + bce)}

    結合法則のために、まず初めの二つの因数を掛けて展開する。

  3. (a,b)⋅[(c,d)⋅(e,f)]=(a,b)⋅(ce−df,cf+de)=(ace−adf−bcf−bde,acf+ade+bce−bdf)(a, b) \cdot \left[ (c, d) \cdot (e, f) \right] = (a, b) \cdot \resaltar{(ce - df, cf + de)} = \resaltar{(ace - adf - bcf - bde, acf + ade + bce - bdf)}

    次に、まず後の二つの因数を掛ける：同じ八つの項が、別の順序で現れる。

  4. (a,b)⋅(c+e,d+f)=(ac−bd+ae−bf,ad+bc+af+be)(a, b) \cdot (c + e, d + f) = (\resaltar{ac - bd} + \resaltar{ae - bf}, \resaltar{ad + bc} + \resaltar{af + be})

    分配法則のために、各成分を展開して項を組み直す：結果は (a,b)⋅(c,d)(a, b) \cdot (c, d) と (a,b)⋅(e,f)(a, b) \cdot (e, f) の和である。

  5. (a,b)⋅(1,0)=(a⋅1−b⋅0,a⋅0+b⋅1)=(a,b)(a, b) \cdot (1, 0) = (a \cdot 1 - b \cdot 0, a \cdot 0 + b \cdot 1) = \resaltar{(a, b)}

    最後に、(1,0)(1, 0) は積の単位元であり、(−a,−b)(-a, -b) を (a,b)(a, b) に足すと (0,0)(0, 0) になる。

したがって、代数形式は文字 ii についての文字式と同じように計算し、それぞれの i2i^2 を −1-1 で置き換える。特に、積は、それを定義した式を再び与える：

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

たとえば、(2+3i)(4−i)=8−2i+12i−3i2=11+10i(2 + 3i)(4 - i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 11 + 10i。乗法公式（たとえば和の平方や平方の差）や、組合せ論の課の二項定理は、C\mathbb{C} でもそのまま成り立つ。それらの証明はこれらの性質しか使わないからである。保たれないのは順序である：数の集合の課の例題 5 によれば、C\mathbb{C} には演算と両立する順序は存在しない。したがって、実数でない複素数のあいだの不等式は意味をもたない。複素数の大きさは、その絶対値で測ることになる。