変数が無限大に近づくときの極限

無限大の二つの用法

「無限大」という語は、極限の研究において二つの異なる意味で現れ、それらは最初から区別しておくのがよい。一つ目の意味では、限りなく大きくなるのは変数であり、関数の値はある数に近づく。二つ目の意味では、限りなく大きくなるのは関数であり、変数はある数に近づく。したがって、以下の三つの主張は互いに異なる。

• $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$：変数が限りなく大きくなり、$f$ の値が数 $L$ に近づく。たとえば、$\frac{1}{x}$ は $0$ に近づく（$x$ が大きくなるとき）。これがこの課の対象である。
• $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$：変数が数 $a$ に近づき、$f$ の値が限りなく大きくなる。たとえば、$\frac{1}{x^2}$ は限りなく大きくなる（$x$ が $0$ に近づくとき）。これは無限大の極限についての課の対象である。
• $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$：$x^2$ のように、両方が限りなく大きくなる。これも無限大の極限についての課で扱う。

記号 $\infty$ は実数ではなく、二つの状況は対称ではない。一つ目では、極限は存在して一つの数 $L$ であり、それに一意性、極限の演算法則、およびすべての既知の定理が適用される。二つ目では、関数は実変数関数の極限についての課の意味での極限をもたない。書き方 $= \infty$ は極限を名指すのではなく、極限をもたない一つの正確な仕方を表す。そのため、数を扱う極限の演算法則を、$\infty$ に、それが数であるかのように適用することはできない。

しかし、二つの状況は一つの同じ図式に収まる。極限の定義はどれも、値についてのどの挑戦に対しても、変数についての応答が存在する、と述べる。変わるのは、それぞれのものに近いとは何を意味するかだけである：

• 変数が数 $a$ に近いとは $0 < \abs{x - a} < \delta$ のことであり、$\infty$ に近いとは $x > M$ のことである；
• 値が数 $L$ に近いとは $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ のことであり、$\infty$ に近いとは $f(x) > N$ のことである。

極限についての課の定義は、各行の一つ目の形を組み合わせる。この課は、一行目の二つ目の形と二行目の一つ目の形を組み合わせる。無限大の極限についての課は、残りの形を組み合わせる。この課の最初の命題は、同じ一つの関数で二つの用法を示す。