根号を含む関数：定義域・符号・グラフ

要約

この課では、符号表と多項式の割り算の方法を累乗根を含む関数に広げる。分子と分母に累乗根があるときの定義域を求め、符号と定義域の端での振る舞い（そこでグラフは一点で終わるか、鉛直漸近線に近づく）を調べ、各累乗根から $x$ の最高次の累乗をくくり出して、変数が大きいときの漸近線を求める。その際、 $x$ が正の場合と $x$ が負の場合に注意する。最後に、端での極限が許すときには正確に求まる値域を扱い、根号の中の式が $8$ 次の三項式である関数を完全に解析する。

学習目標

符号表と $2n$ 次の三項式の因数分解を用いて、分子と分母に累乗根を含む関数の定義域を求める。
累乗根を含む関数の符号と定義域の端での振る舞いを調べ、グラフが終わる端と鉛直漸近線とを区別する。
累乗根を含む関数の漸近線を、 $x$ が $\infty$ に近づくときと $-\infty$ に近づくときについて、変数の正の値と負の値を分けて求める。
累乗根を含む関数のグラフをかき、解析が許すときにはその値域を求め、微分法の技法を必要とする場合を見分ける。
二つのアンテナまでの距離の差や相対性理論のローレンツ因子のような応用上の量を表す累乗根を含む関数を解析し、その定義域、漸近線、値域を文脈の中で解釈する。

累乗根を含む関数の定義域

代数関数の課では、式で定められた関数の定義域を決める規則を立てた。どの分母も零になってはならず、根指数が偶数の累乗根の根号の中の式は負であってはならない。累乗根が分母にあるときは二つの規則が同時に働き、その根号の中の式は真に正でなければならない。分子にあるときは、負でなければよい。根指数が奇数の累乗根は、分母にあるときに零にならないことを除いて、何の条件も課さない。

根号の中の式が $1$ より大きい次数の多項式ならば、各条件は多項式の不等式であり、符号表と不等式の課と同じく、因数分解して符号表を作ることで解ける。2 次の因数は解の公式で求め、 $a x^{2n} + b x^n + c$ の形の三項式は置き換え $u = x^n$ によって 2 次式に帰着させる。これは二次多項式の因数分解の課と同じである。判別式が負の 2 次の因数はつねに最高次の係数の符号を保つので、臨界点を与えず、表から取り除いてよい。

累乗根を含む関数の定義域は、すべての条件を同時に満たすことで得られる。分子の根指数が偶数の各累乗根については根号の中の式が負でないこと、分母の根指数が偶数の各累乗根については根号の中の式が正であること、そして分母が零でないことである。各条件は符号表で解き、定義域は得られた集合の共通部分である。