有理数の指数と累乗根

要約

この課では、主根を用いて累乗を有理数の指数へ拡張し、その定義が指数を表す分数によらないこと、および整数を指数とする累乗の法則が引き続き成り立つことを証明する。続いて累乗根の性質を符号についての仮定とともに確立し、累乗根を和に分配する誤りを特徴づけ、累乗根の計算技法を扱う。すなわち、根号の外に出すこと、共役な式と三乗の差による分母の有理化、計算機を使わない数の比較、そして二重根号の簡約である。

学習目標

正の底をもつ有理数を指数とする累乗を定義し、それが選んだ分数によらないことを示し、その法則を適用する。
累乗根の性質を符号についての仮定とともに述べ、特に根指数が偶数のときの $\sqrt[n]{a^n} = \abs{a}$ を述べ、典型的な誤りを見分ける。
累乗根を簡約し、単項式、二項式、および三乗根を含む分母を有理化する。
累乗根を含む数を適切な累乗にして比較し、可能なときには二重根号を簡約する。

有理数を指数とする累乗

数の集合の課では、整数を指数とする累乗と主根が定義された。自然数 $n \geq 2$ と実数 $b \geq 0$ に対して、数 $\sqrt[n]{b}$ は、次の条件をみたす唯一の非負の実数である：その $n$ 乗が $b$ となる。そこでは有理数の底について整数を指数とする累乗の法則が証明された。その証明は和と積の性質しか用いないので、実数の底についても同様に成り立つ。そこではまた、以下のすべてがよりどころとする主根の一意性が証明され、その存在が認められた。存在は実数の完備性から導かれ、実数直線の課で証明された。

累乗と累乗根は互いに逆の演算であり、一つの記法にまとめておくのが便利である。累乗の累乗の法則が分数の指数についても成り立つべきだとすれば、数 $a^{\frac{1}{q}}$ は $\left(a^{\frac{1}{q}}\right)^q = a^1 = a$ をみたさなければならない。すなわち、 $q$ 乗根（ $a$ の）の一つでなければならず、自然な選び方は主根である。同様に、 $a^{\frac{p}{q}}$ は $p$ 乗（ $a^{\frac{1}{q}}$ の）、あるいは $q$ 乗根（ $a^p$ の）でなければならない。この観察は何も証明しない。得たい法則を前提としているからである。定義を示唆するだけである。

定義（有理数を指数とする累乗）。 $a > 0$ を実数、 $p$ を整数、 $q$ を自然数とする。有理数を指数とする累乗 $a^{\frac{p}{q}}$ とは、 $q$ 乗根（ $a^p$ の）のうちの主根である。 $q = 1$ のときは、ある数の根指数 $1$ の累乗根はその数自身であると約束する。こうして、この定義は整数を指数とする累乗の定義と一致する。

a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}

この累乗根が存在するのは $a^p$ が正だからであり、同じ理由で正である。もしゼロであれば、その $q$ 乗もゼロになるからである。たとえば $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$ 、 $27^{-\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$ である。最初の例では、先に累乗根をとってから累乗しても同じ結果が得られる。 $\left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$ だからである。二つの演算の順序はどちらでもよい。

補題累乗の累乗根

任意の実数 $a > 0$ 、任意の整数 $p$ 、任意の自然数 $q$ に対して、 $q$ 乗根（ $a^p$ の）は $p$ 乗（ $q$ 乗根（ $a$ の）の）に等しい。

\sqrt[q]{a^p} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p

右辺が左辺を特徴づける符号と累乗をもつことを確かめ、主根の一意性を適用する。図は $a = 2$ 、 $q = 2$ 、 $p = 3$ の場合でこの推論に添えたものである。曲線 $y = t^q$ は正の範囲で増加し、正の高さの水平な直線それぞれとただ一度だけ交わる。

証明

$r = \sqrt[q]{a}, \quad r > 0, \quad \dato{rq}{r^q = a}$
$q = 1$ ならば、両辺はともに $a^p$ である。 $q \geq 2$ ならば、 $r$ を $q$ 乗根（ $a$ の）のうちの主根とする。これは正である。もしゼロならば $a$ もゼロになるからである。そしてその $q$ 乗は $a$ である。
$\dato{pos}{r^p > 0}$
数 $r^p$ は正である。正の数の整数を指数とする累乗はすべて正だからである。 $p$ が自然数ならば積の公理により、 $p = 0$ ならばその値は $1$ であり、 $p$ が負ならばそれは正の数の逆数である。
$\left(r^p\right)^q = r^{pq} = \left(\resaltar{r^q}\right)^p = \dato{ap}{\resaltar{a^p}}$
整数を指数とする累乗の累乗の法則を二通りの順序で適用すると、 $q$ 乗（ $r^p$ の）は $a^p$ となる。
$\sqrt[q]{a^p} = \resaltar{r^p} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p$
こうして $r^p$ は正の数であり、その $q$ 乗は $a^p$ である。主根の一意性により、これは $q$ 乗根（ $a^p$ の）である。

定義は分数によらない

同じ有理数は多くの分数で書かれる： $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$ 。前の定義はある特定の分数を用いて述べられており、同じ指数の二通りの書き方が同じ数を与えることは前もって何も保証されていない。たとえば $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ であるのに対し、 $2^{\frac{2}{4}} = \sqrt[4]{4}$ である。もし異なる数を与えるならば、記号 $a^x$ は有理数 $x$ に対して意味をもたず、その分数一つ一つに対してしか意味をもたないことになる。

定理分数によらないこと

$a > 0$ とする。 $p$ と $r$ が整数、 $q$ と $s$ が自然数で $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ ならば、 $\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[s]{a^r}$ である。方針は、二つの数を $qs$ 乗して二つの根号を同時に消し、主根の一意性を適用することである。図は $a = 2$ 、 $\frac{p}{q} = \frac{1}{2}$ 、 $\frac{r}{s} = \frac{2}{4}$ の場合でこの推論に添えたものである。それぞれの累乗は増加する曲線であり、水平な直線それぞれとただ一度だけ交わる。

証明

$u = \sqrt[q]{a^p}, \quad v = \sqrt[s]{a^r}, \quad \dato{du}{u^q = a^p}, \quad \dato{dv}{v^s = a^r}$
二通りの書き方が与える数を $u$ 、 $v$ とおく。どちらも正であり、累乗根の定義により次の等式をみたす。
$u^{qs} = \left(\resaltar{u^q}\right)^s = \left(a^p\right)^s = \dato{pu}{\resaltar{a^{ps}}}$
累乗の累乗の法則によって $u$ を $qs$ 乗し、 $u^q$ をその値で置き換える。
$v^{qs} = \left(\resaltar{v^s}\right)^q = \left(a^r\right)^q = \dato{pv}{\resaltar{a^{rq}}}$
$v$ についても同様にする。ただし先に指数 $s$ をまとめる。
$\frac{p}{q} = \frac{r}{s} \leftrightarrow \dato{cr}{\resaltar{ps = qr}}$
二つの分数は等しい。これは、たすき掛けの積が一致することを意味する。
$u^{qs} = a^{\resaltar{ps}} = a^{\resaltar{qr}} = v^{qs}$
したがって、 $u$ と $v$ は指数 $qs$ の累乗が等しい。
$\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[s]{a^r}$
$qs = 1$ ならば、これは $u = v$ を意味する。 $qs \geq 2$ ならば、 $u$ と $v$ は指数 $qs$ の累乗が等しい二つの正の数であり、主根の一意性により等しい。

よって、任意の有理数 $x$ に対して数 $a^x$ は矛盾なく定義される。 $x$ をどのように分数で書いても、結果はつねに同じである。特に、有理数の指数はすべて分母が自然数となるように書くことができ、二つの指数は公分母を用いて書くことができる。このことは以下の証明で用いられる。

仮定 $a > 0$ は気まぐれではない。底が負のとき、根指数が奇数の累乗根は存在するが、結果は分数に依存してしまう： $\sqrt[3]{-8} = -2$ であるのに対し $\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$ である。ただし $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ である。そのため、負の底については有理数を指数とする累乗は定義せず、負の数については $\sqrt[3]{-8}$ のように累乗根を書く。底がゼロのときは $0^x = 0$ と定める（ただし $x > 0$ は任意の有理数）。負の指数とゼロの指数は定義しない。

有理数の指数の法則

定義が確かめられたので、整数を指数とする累乗の法則が引き続き成り立つことを確かめる。

定理有理数の指数の法則

すべての実数 $a > 0$ 、 $b > 0$ とすべての有理数 $x$ 、 $y$ に対して、 $a^x \cdot a^y = a^{x + y}$ 、 $\left(a^x\right)^y = a^{xy}$ 、 $(ab)^x = a^x \cdot b^x$ が成り立つ。その結果、 $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$ と $\frac{a^x}{a^y} = a^{x - y}$ も成り立つ。最初の二つの法則を証明する。三つめは次の節で扱う累乗根の積の性質から導かれる。図は値 $2^{\frac{k}{6}}$ を示す。それぞれは一つ前の値に $\sqrt[6]{2}$ を掛けたものであり、指数は階段の一段一段のように加わっていく。

証明

$x = \frac{p}{q}, \quad y = \frac{r}{q}, \quad u = \sqrt[q]{a}, \quad \dato{lx}{a^x = u^p}, \quad \dato{ly}{a^y = u^r}$
積。 $x$ と $y$ を公分母 $q$ で書く。これは前の定理によって許される。そして $u$ を $q$ 乗根（ $a$ の）とおく。累乗の累乗根の補題により、二つの累乗はどちらも $u$ の整数乗である。
$a^x \cdot a^y = \resaltar{u^p \cdot u^r} = u^{p + r} = \resaltar{a^{\frac{p + r}{q}}} = a^{x + y}$
整数を指数とする累乗の積の法則により指数は加わる。そしてふたたび補題により、結果は $a^{x + y}$ となる。 $x + y = \frac{p + r}{q}$ だからである。
$\left(a^x\right)^y = \sqrt[s]{\left(\resaltar{u^p}\right)^r} = \dato{w}{\resaltar{\sqrt[s]{u^{pr}}}} = w$
累乗の累乗。今度は $x = \frac{p}{q}$ 、 $y = \frac{r}{s}$ であり、ふたたび $a^x = u^p$ （ただし $u = \sqrt[q]{a}$ ）である。定義により、 $\left(a^x\right)^y$ は $s$ 乗根（ $\left(u^p\right)^r$ の）である。この正の数を $w$ とおく。
$w^{qs} = \left(\resaltar{w^s}\right)^q = \left(u^{pr}\right)^q = \left(\resaltar{u^q}\right)^{pr} = \dato{wp}{a^{pr}}$
$w$ を $qs$ 乗する。まず指数 $s$ をまとめて累乗根を外し、次に指数 $q$ をまとめる。ここで $u^q = a$ である。
$\left(a^x\right)^y = w = \sqrt[qs]{\resaltar{a^{pr}}} = \resaltar{a^{\frac{pr}{qs}}} = a^{xy}$
主根の一意性により、 $w$ は根指数 $qs$ の累乗根（ $a^{pr}$ の）であり、これは指数 $\frac{pr}{qs} = xy$ の累乗である。

第一の法則から系が導かれる。 $a^x \cdot a^{-x} = a^0 = 1$ であるから、数 $a^{-x}$ は $a^x$ の逆数であり、したがって $\frac{a^x}{a^y} = a^x \cdot a^{-y} = a^{x - y}$ である。これらの法則により、有理数の指数でも整数の指数と同じように計算できる。たとえば：

\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{32}, \qquad \left(\sqrt{2}\right)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2}

有理数を指数とする累乗と順序

数の集合の課で証明され、実数直線の課で不等式に応用されたように、自然数を指数とする累乗は非負の数の順序を保つ： $0 \leq u < v$ ならば $u^n < v^n$ である。有理数を指数とする累乗は底に関してこの性質を受け継ぎ、さらに指数に関するもう一つの性質を加える。その向きは底が $1$ より大きいか小さいかによって決まる。

補題有理数乗の単調性

$x < y$ を有理数とする。 $a > 1$ ならば $a^x < a^y$ であり、 $0 < a < 1$ ならば $a^x > a^y$ である。さらに、 $x > 0$ かつ $0 < s < t$ ならば $s^x < t^x$ である。図は $y = t^{\frac{1}{3}}$ 、 $y = t^{\frac{1}{2}}$ 、 $y = t^{\frac{3}{2}}$ のグラフを示す（ $t > 0$ ）。 $t = 1$ の右側では指数が大きいほど値が大きく、左側ではその逆が起こり、 $t = 1$ で三つの曲線が交わる。

証明

$x = \frac{p}{q}, \quad y = \frac{r}{q}, \quad p < r, \quad \dato{u1}{u > 1}$
$a > 1$ とする。 $x$ と $y$ を公分母 $q$ で書き、 $u = \sqrt[q]{a}$ とする。このとき $u > 1$ である。もし $u \leq 1$ ならば、累乗の単調性により $u^q \leq 1$ となり、 $u^q = a > 1$ に反する。
$a^y = u^r = \resaltar{u^p \cdot u^{r - p}} > \resaltar{u^p} = a^x$
$r - p$ は自然数であるから $u^{r - p} > 1^{r - p} = 1$ であり、正の数 $u^p$ を掛けても不等式は保たれる。
$\frac{1}{a^x} < \frac{1}{a^y} \rightarrow \resaltar{a^x > a^y}$
$0 < a < 1$ ならば、その逆数は $1$ より大きく、前半により $\left(\frac{1}{a}\right)^x < \left(\frac{1}{a}\right)^y$ である。指数法則により $\left(\frac{1}{a}\right)^x = \frac{1}{a^x}$ であるから、二つの正の数の逆数をとると不等式の向きが逆になる。
$1^x = 1$
$a = 1$ ならば、その累乗はすべて $1$ である。 $1$ の累乗根も累乗も $1$ だからである。そのため、三つのグラフは点 $(1, 1)$ を通る。
$0 < s < t \rightarrow \resaltar{s^p < t^p} \rightarrow \resaltar{\sqrt[q]{s^p} < \sqrt[q]{t^p}}$
底についての単調性を示すため、 $x = \frac{p}{q}$ （ただし $p$ は自然数）とする。 $s < t$ から $s^p < t^p$ が従う。もし $\sqrt[q]{s^p} \geq \sqrt[q]{t^p}$ ならば、 $q$ 乗すると $s^p \geq t^p$ となり、これは偽である。

累乗関数のグラフは代数関数の課で詳しく調べる。ここでは二つの単調性で足りる。それらは数の比較に用いられる。