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Topos Uranos
日本語

数の集合：自然数から複素数まで

要約

この課では、自然数から出発して、整数、有理数、実数、複素数が順に構成されることを示す。各拡張は、ある逆演算（引き算、割り算、累乗根をとること）が制限なく定義されるように生まれ、前の集合の性質を保つ。2\sqrt{2} が有理数でない理由を振り返り、有理数が完備でないことを証明し、実数について認める公理（体の公理、順序の公理、完備性の公理）を述べ、実数が累乗根に加えて完備性を必要とする理由を説明する。

学習目標

  1. 自然数から複素数まで、各拡張を促すのがどの逆演算であるかを見分ける。
  2. 各数の集合における加法と乗法の性質、および実数について認める完備な順序体の公理を正確に述べる。
  3. 整数を指数とする累乗の法則と主根の定義を適用する。
  4. ある累乗根が有理数でないことを背理法で証明する。
  5. 有理数、無理数、実数、複素数を区別する。

拡張の原動力としての逆演算

ペアノの公理の課で定義した自然数は、何の制限もなく足し算と掛け算ができる：二つの自然数の和と積はつねに自然数である。逆演算ではそうはいかない。次の方程式はどれも自然数で書かれているが、それにもかかわらず、どれも自然数の中に解をもたない：

x+5=3,3x=2,x2=2,x2=−1x + 5 = 3, \qquad 3x = 2, \qquad x^2 = 2, \qquad x^2 = -1

第一の方程式には、自然数では許されない引き算が必要である。第二には割り算、第三には累乗根、第四には負の数の累乗根が必要である。これらを解くために、自然数の集合を四つの段階で拡張する。各段階は前の段階を含む：

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

すべての拡張は同じ一つの原理に従い、この原理が課の残りを導く：

新しい数の集合はどれも、前の集合の演算と性質を保ち、それまで制限されていた逆演算が定義されるのに必要な元を付け加える。