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Topos Uranos
日本語

座標軸の回転と一般の二次方程式

要約

この課は、未解決のまま残っていた場合、すなわち xyxy の項を含む二次方程式によって、2 次曲線の研究を完結させる。極座標と加法定理（差の公式）を用いて、軸を角 θ\theta だけ回転したとき点の座標がどう変わるかを導き、回転が距離を保ち、したがってどんな図形の形も変えないことを証明する。回転後の一般の方程式の係数を計算し、cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} を満たす角が xyxy の項を消去すること、そして和 A+CA + C と判別式 B2−4ACB^2 - 4AC が回転によって変わらないことを証明する。ここから、判別式の符号によるすべての二次方程式の分類が導かれる：楕円、放物線、双曲線と、それらの退化した場合である。最後に、双曲線 xy=1xy = 1 と、軸が斜めの楕円および放物線とを、回転した 2 次曲線として認識する。

学習目標

  1. 回転だけが異なる二つの直交座標系における点の座標を結びつける公式を導き、回転が距離を保つことを証明する。
  2. 回転後の二次方程式の係数を計算し、xyxy の項を消去する角を選ぶ。
  3. A+CA + C と B2−4ACB^2 - 4AC が回転の不変量であることを証明し、それらを用いて代入せずに簡約形を得る。
  4. 一般の二次方程式をその判別式の符号によって分類し、回転した座標でその要素を求め、それらをもとの座標で表す。

座標軸の回転

コース I の円錐曲線の課では、xyxy の項を含まない二次方程式はどれも、放物線、楕円、双曲線、またはそれらの退化した場合のいずれかを表し、その対称軸は座標軸に平行であることが証明された。しかし、長軸が直線 y=xy = x 上にある楕円もまた二次方程式をもち、そこには xyxy の項が現れる。この楕円を認識するには、最初の座標系に対して回転した別の座標系を選び、その中で曲線が標準形を取り戻すようにするのがよい。この節では、軸を回転したとき点の座標がどう変わるかを調べる。

軸 xx と yy をもつ直交座標系を、コース I の直線の方程式と直交座標系の課のものと同様にとり、θ\theta を実数とする。角 θ\theta だけ回転した座標系とは、原点と長さの単位が同じで、横軸の正の半軸が、原点から出て標準の位置で角 θ\theta をなす半直線であり、縦軸の正の半軸が角 θ+π2\theta + \frac{\pi}{2} の半直線であるような直交座標系である。新しい座標は大文字で書く：同じ点 PP が、もとの座標系では座標 (x,y)(x, y) をもち、回転した座標系では (X,Y)(X, Y) をもつ。二つの座標系は同じ向きをもつので、回転した座標系でも極座標が定義され、極は同じで、XX の正の半軸を始線とする。

定理回転の公式

点が直交座標系で座標 (x,y)(x, y) をもち、回転した座標系で座標 (X,Y)(X, Y) をもつ（回転の角は θ\theta）ならば、新しい座標はもとの座標から、もとの座標は新しい座標から、次の公式によって得られる。

X=xcos⁡θ+ysin⁡θ,Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta, \qquad Y = -x \sin \theta + y \cos \theta
x=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = X \cos \theta - Y \sin \theta, \qquad y = X \sin \theta + Y \cos \theta

考え方は、極座標では軸の回転が極からの距離を変えず、偏角から θ\theta を引くだけだということである。残りは、加法定理の課で証明される加法定理が引き受ける。

証明

  1. x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φ\dato{xy}{x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi}

    PP が原点ならば、その座標はどちらの座標系でも零であり、公式は成り立つ。そうでなければ、もとの始線に関する極座標表示 (r,φ)(r, \varphi)（ただし r>0r > 0）を、極座標の課と同様にとる。

  2. X=rcos⁡(φ−θ),Y=rsin⁡(φ−θ)\dato{XY}{X = r \cos(\varphi - \theta), \quad Y = r \sin(\varphi - \theta)}

    回転した座標系でも極は同じなので、PP から極までの距離は依然として rr である。ψ\psi を、回転した座標系における PP の偏角の一つとする。単位円上で、新しい始線は P(θ)P(\theta) を通る。そこから弧 ψ\psi をたどると、角とその大きさの課の弧長に沿った移動の公理の接続の性質により P(θ+ψ)P(\theta + \psi) に至り、これは点 P(φ)P(\varphi)（極から PP へ向かう半直線上の点）でなければならない。動径が一致する角の補題により、θ+ψ\theta + \psi と φ\varphi は 2π2\pi の倍数だけ異なるので、ψ=φ−θ\psi = \varphi - \theta ととることができる。

  3. X=rcos⁡(φ−θ)=rcos⁡φcos⁡θ+rsin⁡φsin⁡θ=xcos⁡θ+ysin⁡θX = \resaltar{r \cos(\varphi - \theta)} = r \cos \varphi \cos \theta + r \sin \varphi \sin \theta = \resaltar{x \cos \theta + y \sin \theta}

    差の余弦を展開し、各項にもとの座標を見いだす。

  4. Y=rsin⁡(φ−θ)=rsin⁡φcos⁡θ−rcos⁡φsin⁡θ=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = \resaltar{r \sin(\varphi - \theta)} = r \sin \varphi \cos \theta - r \cos \varphi \sin \theta = \resaltar{-x \sin \theta + y \cos \theta}

    同様に、差の正弦を用いる。

  5. x=rcos⁡((φ−θ)+θ)=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=rsin⁡((φ−θ)+θ)=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = \resaltar{r \cos((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \cos \theta - Y \sin \theta}, \qquad y = \resaltar{r \sin((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \sin \theta + Y \cos \theta}

    逆に、もとの角は和 φ=(φ−θ)+θ\varphi = (\varphi - \theta) + \theta である。和の公式が、もとの座標を新しい座標で表す。

二組の公式は同じ構造をもつ：二組目は一組目の θ\theta を −θ-\theta に置き換えれば得られる。もとの座標系は新しい座標系を角 −θ-\theta だけ回転したものだからである。たとえば θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} のとき、点 (1,1)(1, 1) の新しい座標は X=2X = \sqrt{2} と Y=0Y = 0 である：この点は新しい横軸上にあり、原点からの距離は 2\sqrt{2} である。軸の回転と点の回転を混同してはならない：軸を角 θ\theta だけ回転すると、点は動かずにその名前が変わり、その結果は、軸を動かさずに平面全体を角 −θ-\theta だけ回転するのと同じである。

補題回転は距離を保つ

二点間の距離は、回転した座標系での座標で計算しても、もとの座標で計算しても一致する。

この事実は極座標の課ですでに見た：二点間の距離は偏角にはその差を通してのみ依存し、平面の回転はそれらの角に定数を加えることである。ここでは、回転の公式と三角比の課のピタゴラスの恒等式を用いて、直交座標で直接確かめる。

証明

  1. X1−X2=ucos⁡θ+vsin⁡θ,Y1−Y2=−usin⁡θ+vcos⁡θ\dato{dif}{X_1 - X_2 = u \cos \theta + v \sin \theta, \quad Y_1 - Y_2 = -u \sin \theta + v \cos \theta}

    P1P_1 と P2P_2 を二点とし、その座標をもとの座標系で (x1,y1)(x_1, y_1) と (x2,y2)(x_2, y_2)、回転した座標系で (X1,Y1)(X_1, Y_1) と (X2,Y2)(X_2, Y_2) とする。各点について書いた回転の公式を辺々引き、u=x1−x2u = x_1 - x_2、v=y1−y2v = y_1 - y_2 とおく。

  2. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=(ucos⁡θ+vsin⁡θ)2+(−usin⁡θ+vcos⁡θ)2=u2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)+v2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{(u \cos \theta + v \sin \theta)^2 + (-u \sin \theta + v \cos \theta)^2} = \resaltar{u^2\left(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta\right) + v^2\left(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\right)}

    平方して加える。二倍の積 2uvsin⁡θcos⁡θ2uv \sin \theta \cos \theta と −2uvsin⁡θcos⁡θ-2uv \sin \theta \cos \theta は打ち消し合う。

  3. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=u2+v2=(x1−x2)2+(y1−y2)2(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{u^2 + v^2} = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2

    ピタゴラスの恒等式により各括弧は 11 に等しく、もとの距離の平方が残る。

この補題には、以下のすべてを正当化する帰結がある。放物線、楕円、双曲線は、それ以前の課で焦点と準線までの距離の性質によって定義された。回転は距離を保つので、回転した座標系で半軸 aa と bb の楕円である曲線は、もとの座標系で見ても同じ半軸をもつ楕円である（その対称軸は斜めになるが）。他の 2 次曲線や、その焦点、頂点、漸近線についても同様であり、それらは回転の公式によって一方の座標系から他方へ移される。