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Topos Uranos
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導関数の応用：まとめと挑戦課題

要約

この課は導関数の応用の単元を締めくくり、それとともにコースを締めくくる。単元の九つの課が証明したことを一本の演繹の鎖にまとめる。すなわち、ボルツァーノの定理と同じく完備性公理から得られるワイエルシュトラスの定理と、1 点での微分係数の符号から得られるフェルマーの定理とがロルの定理を与え、そこからラグランジュとコーシーの平均値の定理が出てくる。さらにそれらから、ロピタルの定理、導関数の符号による単調性、極値と最大値・最小値の判定法、凹凸、最適化、そしてニュートン・ラフソン法の誤差の上界が出てくる。この課は、単元が前の二つの単元と代数と幾何にどのように基づくか、そして次のコースに何を残すか、すなわち積分、数列と級数、テイラー多項式を説明する。最後に、導入テストと対をなすまとめテストと、十の挑戦課題を置く。挑戦課題は各課の問題より難しく、どれもそれらの課のいくつかと前の単元の結果を組み合わせる。

学習目標

  1. 単元の主要な定理を論理的な順序で述べ、それぞれがどの先行する結果に依存するか、またワイエルシュトラスの定理、平均値の定理、導関数の符号による単調性がどの証明で再利用されるかを示す。
  2. 単元が認めることと証明することを区別し、各結果の仮定を見分け、完備性公理がどこで働くかを指摘する。
  3. 単元の結果を、極限の単元と導関数の単元、代数と幾何、そして微分積分学 II で学ぶことと関連づける。
  4. 最大値・最小値の存在、平均値の定理、ロピタルの定理、単調性、凹凸、曲率、最適化、ニュートン・ラフソン法を組み合わせる、型どおりでない問題を解く。

単元で達成したこと

前の二つの単元は 1 点で考えた。1 点での極限、1 点での連続性、1 点での微分係数である。この単元は各点から大域へと移行し、その橋渡しをしたのが完備性公理である。ボルツァーノの定理と同じく上限を用いて証明されるワイエルシュトラスの定理は、有界閉区間で連続な関数が最大値と最小値をとることを保証する。1 点での微分係数の符号から出てくるフェルマーの定理は、内部の点でとる極値がどこにありうるかを教える。そして両者が合わさってロルの定理を与え、そこから二つの平均値の定理が導かれる。ラグランジュの平均値の定理は次のように書かれる：

f(b)−f(a)=f′(c)(b−a),c∈(a,b)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a), \qquad c \in \ioo{a}{b}

この等式は、区間のすべての点での導関数についての情報を、関数の値についての情報に変える。単元のほかのことはほとんどすべて、この等式の読み方である。単調性、極値の判定法、凹凸、コーシーの形を通してのロピタルの定理、そしてニュートン・ラフソン法の誤差の上界である。証明は、議論をやり直す代わりにこれらの定理を引用する。

存在と平均値の定理

ワイエルシュトラスの定理の課は、まず有界性の定理を証明した。関数が有界であるような点の上限をとり、連続性が与える局所有界性によってその先へ進んだのである。次に、値の上限がとられることを証明した。とられないとすれば、値とその上限との距離の逆数が連続で有界でなくなるからである。反例によって、どの仮定も余分でないことを示し（開区間、有界でない区間、不連続な関数、そして完備性が欠ける有理数）、中間値の定理によって、有界閉区間の像が同じ種類の区間であること、そして区間の両端で等しい値をとる関数がその内部で最大値または最小値をとることを導いた。フェルマー・ロル・ラグランジュ・コーシーの定理の課は、極値を量化された命題として定義し、1 点での微分係数の符号によって、内部の点でとる極値では微分係数が 0 になることを証明し、ロルの定理、ラグランジュの平均値の定理、コーシーの平均値の定理を順につなげて、それらの仮定が必要であることを示した。その系が最初の大域的な結論であった。区間で導関数が 0 の関数は定数であること、導関数が等しい二つの関数は定数だけ異なること、導関数の上界が増分を抑えること、関数の二つの零点の間にその導関数の零点があること、そして導関数の極限は、存在すれば微分係数に等しいことである。ロピタルの定理の課は、この定理をコーシーの定理によって、00\frac{0}{0} 型について、またより注意深く ∞∞\frac{\infty}{\infty} 型について、点の片側で、点で、そして無限遠で証明した。0⋅∞0 \cdot \infty、∞−∞\infty - \infty、1∞1^\infty、000^0、∞0\infty^0 の型をそれらに帰着させ、導関数の比が極限をもたないときにはこの定理では判定できないことを示し、導関数を計算するのに用いた極限にはこれが使えないことを注意し、そこから 1 点で導関数が 0 になるという系を得た。この系は関数の増分を x−ax - a の累乗と比べる。

単調性、極値と最大・最小、グラフの形

単調性の課は、平均値の定理によって、区間で非負の導関数は単調増加な関数を与え、正の導関数は狭義単調増加な関数を与えることを証明し、導関数が非負のときの狭義単調性を特徴づけた。導関数が区間全体で 0 になってはならないのである。こうして、区間で導関数が正であれば逆関数が存在して微分可能であるという約束のように、導関数の単元の約束が果たされた。臨界点を定義し、1 階導関数による判定法とダルブーの定理を証明した。この定理によれば、導関数は連続でなくてもすべての中間の値をとり、したがって跳躍不連続点をもたない。そして、区間で零点をもたない導関数は符号を変えないことを導いた。極値と最大値・最小値の課は、最大値・最小値と狭義の極値を定義した。2 階導関数による判定法を証明し、ロピタルの定理を用いてテイラー多項式なしに高階導関数による判定法を証明した。これは 0 でない最初の導関数の階数の偶奇で判定する。そして有界閉区間における最大値・最小値を区間の端点と臨界点の中から探し、開区間や有界でない区間では端点での極限と単調性を用いて探した。単調性からは、ただ一つの臨界点でとる極値が最大値または最小値であることも出てくる。凹凸の課は、弦に対するグラフの位置によって下に凸であることを定義し（単元の約束にしたがい、下に凸な関数のグラフは弦の下にある）、微分可能な関数については、下に凸であることが導関数の単調増加と同値であり、グラフが接線の上にあることとも同値であること、二回微分可能な関数については 2 階導関数が負でないことと同値であることを証明した。変曲点を定義し、2 階導関数の符号の変化または 3 階導関数によって判定し、x4x^4 によって 2 階微分係数が 0 であるだけでは足りないことを示し、イェンセンの不等式と、相加平均と相乗平均の大小関係を得た。曲率の課は、接触円を、その点で関数と同じ値、同じ微分係数、同じ 2 階微分係数をもつ円として定義した。陰関数の微分法によって、2 階微分係数が 0 でないときにはそれがただ一つ存在し、その半径が ρ=(1+f′(a)2)32∣f′′(a)∣\rho = \frac{\left(1 + f'(a)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{f''(a)}} で、中心が法線上の、グラフの曲がる側にあることを証明し、その中心が近くの法線どうしの交点の極限であることを示した。

最適化と近似

最適化問題の課は、五つの段階からなる方法を定めた（変数、関数、定義域、根拠を添えた最大値・最小値、結論）。その決め手は、求めた値が最大値または最小値であることを正当化する点にある。定義域が有界閉集合ならワイエルシュトラスの定理で、そうでなければ導関数の符号、凹凸、または端点での極限で正当化する。関数とその狭義単調増加関数との合成とが同じ点で最大値・最小値をとること、与えられた点に最も近いグラフ上の点が存在して法線上にあることを証明し、最小時間から屈折の法則と反射の法則を導いた。ニュートン・ラフソン法の課は、根を近似するためにグラフをその接線で置き換えた。反復値を自然数で定義された関数として扱い、数列の理論なしに、無限大での極限の定義を用いた。凹凸と反復値の下限によって、適切な側から出発すれば反復値が根を越えずに近づいて根に収束し、間違った側から出発すれば最初の反復で適切な側に移ることを証明した。平均値の定理で誤差を抑え、この方法の失敗（導関数が 0、循環、逃げていく反復値）を示し、二分法と比較した。二分法は二分するごとに 2 進数の桁を一つ得るのに対し、ニュートン・ラフソン法は単根の近くでは、例において正しい桁の数を倍にする。

認めること、証明すること、残ること

単元の総括は次のようにまとめられる。

  • 認めるのは次のものである。完備性公理（単元はこれを有界性の定理、ワイエルシュトラスの定理、ニュートン・ラフソン法の反復値の収束で直接用いる）、極限の単元と導関数の単元の定理、とくにボルツァーノの定理、符号の保存、微分係数の局所性、1 点での微分係数の符号、そして代数と幾何の結果、たとえば三角関数の公式、不等式 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x、指数法則と対数の性質である。
  • 導関数の単元が予告しながら証明できなかった事実を証明する。区間で導関数が正の関数は単調増加すること、区間で導関数が 0 の関数は定数であること、微分による近似の誤差を抑えられることである。また接線は、根を近似し、グラフをそれ自身と比べ、どれだけ曲がるかを測る道具になる。
  • 議論を繰り返す代わりに三つの道具を再利用する。最大値・最小値を与えるワイエルシュトラスの定理、導関数の符号を値についての情報に翻訳する平均値の定理、そして極値と凹凸の判定法の土台となる導関数の符号による単調性である。
  • 導関数以上のものを必要とすることは微分積分学 II に残す。積分、弧長（これによって曲率は接線の回る速さとして読まれる）、一様連続性、数列と級数、テイラー多項式である。そして微分積分学 III には、多変数関数の極値と、媒介変数表示の曲線の曲率を残す。

次の図は、三つの区間を一本の鎖にまとめたものである。列の各節点は定義か定理で、論理的な順序で番号が付き、その証明が用いる先行する環と弧で結ばれている。そのまわりに浮かぶのが支え、すなわち鎖が何度も立ち返る原理と道具であり、それぞれは、よりかかる環と実線で結ばれ、それが確立される環と点線で結ばれる。ただし、前の単元や代数と幾何から来るものは例外で、輪として描かれる。支えを押すと、それを使うすべての環が強調され、各環はそれが証明される課へのリンクになっている。

鎖の支え

  • A完備性公理. 代数と幾何 I 以来、実数が完備な順序体をなすこと、すなわち上に有界な空でない実数の集合はすべて上限をもち、下に有界な空でない集合はすべて下限をもつことを認める。 この単元では証明なしに認める。
  • B単元 1 から受け継いだもの. 極限と連続性の単元で証明された結果。極限の演算法則、片側極限、無限大での極限と無限大に発散する極限、不等式の保存、演算と合成の連続性、極限と連続関数についての局所有界性と符号の保存、そして重要な極限。 この単元では証明なしに認める。
  • C単元 2 から受け継いだもの. 導関数の単元で証明された結果。微分係数の定義と片側微分係数、微分可能ならば連続であること、微分係数の局所性、微分法の公式と合成関数の微分法、初等関数の導関数、逆関数の微分法と陰関数の微分法、そして高階導関数。 この単元では証明なしに認める。
  • D中間値の定理. 導関数の単元で上限を用いて証明された。ff が [a,b]\icc{a}{b} で連続で、f(a)f(a) と f(b)f(b) が異符号ならば、ff は (a,b)\ioo{a}{b} のある点で 0 になる。これがボルツァーノの定理である。また、連続関数による区間の像は区間である。 この単元では証明なしに認める。
  • E1 点での微分係数の符号. 導関数の単元で証明された。ff が開区間で定義されていて f′(a)>0f'(a) > 0 ならば、δ>0\delta > 0 が存在して、f(x)<f(a)f(x) < f(a)（a−δ<x<aa - \delta < x < a のとき）、f(x)>f(a)f(x) > f(a)（a<x<a+δa < x < a + \delta のとき）となる。ただし、ff が aa の近くで単調増加であることは出てこない。 この単元では証明なしに認める。
  • F最大値・最小値の存在. 有界閉区間で連続な関数は、そこで最大値と最小値をとる。続く定理の最大値・最小値と中間の点に存在を与える道具である。 確立される環: 2. ワイエルシュトラスの定理.
  • G平均値の定理. ff が [a,b]\icc{a}{b} で連続で (a,b)\ioo{a}{b} の各点で微分可能ならば、cc が (a,b)\ioo{a}{b} に存在して f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) となる。すべての点での導関数についての情報が、値についての情報に変わる。 確立される環: 7. ラグランジュの平均値の定理.
  • H導関数による単調性. 区間において、非負の導関数は単調増加な関数を与え、正の導関数は狭義単調増加な関数を与える。極値と凹凸を判定する道具である。 確立される環: 12. 導関数の符号による単調性.

  1. 第 1 区間 存在と平均値の定理

    • 有界閉区間で連続な関数が有界であり、最大値と最小値をとることを上限を用いて証明し、どの仮定も余分でないことを示す。
    • フェルマーの定理によって内部の点でとる極値の位置を突き止め、それとワイエルシュトラスの定理からロル、ラグランジュ、コーシーの定理を導く。
    • 平均値の定理から、導関数が 0 なら関数は定数であることを得て、増分を抑え、零点を数える。
    • ロピタルの定理をコーシーの定理によって証明し、その他の不定形をこれに帰着させ、導関数を計算するのに用いた極限にはこれを使わない。

    1. 有界性の定理. ff が有界閉区間 [a,b]\icc{a}{b} で連続ならば、数 KK が存在して、∣f(x)∣≤K\abs{f(x)} \leq K がすべての xx（[a,b]\icc{a}{b} の元）に対して成り立つ。

      支え: A (完備性公理), B (単元 1 から受け継いだもの). 証明される授業: ワイエルシュトラスの最大値・最小値定理.

    2. ワイエルシュトラスの定理. ff が有界閉区間 [a,b]\icc{a}{b} で連続ならば、x1x_1 と x2x_2 が [a,b]\icc{a}{b} に存在して、f(x1)≤f(x)≤f(x2)f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2) がすべての xx（[a,b]\icc{a}{b} の元）に対して成り立つ。どの仮定も省けない。

      使う結果: 1. 有界性の定理. 支え: A (完備性公理), B (単元 1 から受け継いだもの). 証明される授業: ワイエルシュトラスの最大値・最小値定理.

    3. 有界閉区間の像. ff が [a,b]\icc{a}{b} で連続で、mm と MM がそこでのその最小値と最大値ならば、[a,b]\icc{a}{b} の像は区間 [m,M]\icc{m}{M} である。

      使う結果: 2. ワイエルシュトラスの定理. 支え: F (最大値・最小値の存在), D (中間値の定理). 証明される授業: ワイエルシュトラスの最大値・最小値定理.

    4. 内部の点でとる最大値または最小値. ff が [a,b]\icc{a}{b} で連続で、a<ba < b かつ f(a)=f(b)f(a) = f(b) ならば、(a,b)\ioo{a}{b} のある点で最大値または最小値をとる。

      使う結果: 2. ワイエルシュトラスの定理. 支え: F (最大値・最小値の存在). 証明される授業: ワイエルシュトラスの最大値・最小値定理.

    5. フェルマーの定理. ff（AA で定義された関数）が内点 aa（AA の点）で極値をとるとき、すなわち δ>0\delta > 0 が存在して f(x)≤f(a)f(x) \leq f(a) がすべての xx（AA の元で ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta を満たすもの）に対して成り立つか、それらすべてに対して f(a)≤f(x)f(a) \leq f(x) が成り立つとき、さらに ff が aa で微分可能ならば、f′(a)=0f'(a) = 0 である。

      支え: E (1 点での微分係数の符号), C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: フェルマー・ロル・ラグランジュ・コーシーの定理.

    6. ロルの定理. ff が [a,b]\icc{a}{b} で連続で a<ba < b であり、(a,b)\ioo{a}{b} の各点で微分可能で f(a)=f(b)f(a) = f(b) ならば、cc が (a,b)\ioo{a}{b} に存在して f′(c)=0f'(c) = 0 となる。

      使う結果: 4. 内部の点でとる最大値または最小値, 5. フェルマーの定理. 支え: F (最大値・最小値の存在), C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: フェルマー・ロル・ラグランジュ・コーシーの定理.

    7. ラグランジュの平均値の定理. ff が [a,b]\icc{a}{b} で連続で a<ba < b であり、(a,b)\ioo{a}{b} の各点で微分可能ならば、cc が (a,b)\ioo{a}{b} に存在して f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) となる。ある接線が弦に平行である。

      使う結果: 6. ロルの定理. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの), C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: フェルマー・ロル・ラグランジュ・コーシーの定理.

    8. コーシーの平均値の定理. ff と gg が [a,b]\icc{a}{b} で連続で a<ba < b であり、(a,b)\ioo{a}{b} の各点で微分可能ならば、cc が (a,b)\ioo{a}{b} に存在して (f(b)−f(a))g′(c)=(g(b)−g(a))f′(c)\left(f(b) - f(a)\right) g'(c) = \left(g(b) - g(a)\right) f'(c) となる。さらに g′g' が (a,b)\ioo{a}{b} で 0 にならなければ、g(b)≠g(a)g(b) \neq g(a) かつ f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(c)g′(c)\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} である。

      使う結果: 6. ロルの定理. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの), C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: フェルマー・ロル・ラグランジュ・コーシーの定理.

    9. 平均値の定理の帰結. ff が区間 II で連続で、各内点で微分可能であるとする。f′f' がそれらの点で 0 になれば、ff は定数である。導関数が等しい二つの関数は定数だけ異なる。それらの点で ∣f′(x)∣≤K\abs{f'(x)} \leq K ならば、∣f(x)−f(y)∣≤K∣x−y∣\abs{f(x) - f(y)} \leq K \abs{x - y} がすべての xx、yy（II の元）に対して成り立つ。そして ff が II で微分可能で、そこに相異なる n≥2n \geq 2 個の零点をもてば、f′f' は少なくとも n−1n - 1 個の零点をもつ。

      使う結果: 6. ロルの定理, 7. ラグランジュの平均値の定理. 支え: G (平均値の定理), C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: フェルマー・ロル・ラグランジュ・コーシーの定理.

    10. ロピタルの定理. ff と gg が (a,b)\ioo{a}{b} で微分可能で、そこで g′(x)≠0g'(x) \neq 0 であり、f(x)f(x) と g(x)g(x) が 00 に近づくか、または g(x)g(x) が ∞\infty か −∞-\infty に近づくとき（x→a+x \to a^+ のとき）、さらに f′(x)g′(x)\frac{f'(x)}{g'(x)} が LL（実数）、∞\infty または −∞-\infty に近づくならば、f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} は LL に近づく。左側から、点の両側で、そして無限遠でも同様である。

      使う結果: 8. コーシーの平均値の定理. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの), C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: ロピタルの定理.

    11. 1 点で導関数が 0 になる. n≥2n \geq 2 を自然数、II を開区間、aa を II の点とし、ff を関数で、n−1n - 1 回微分可能（II において）かつ nn 回微分可能（aa において）であり、f′(a)=⋯=f(n−1)(a)=0f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0 を満たすものとする。このとき f(x)−f(a)(x−a)n\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^n} は f(n)(a)n!\frac{f^{(n)}(a)}{n!} に近づく（x→ax \to a のとき）。

      使う結果: 10. ロピタルの定理. 支え: C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: ロピタルの定理.

  2. 第 2 区間 単調性、極値と最大・最小、グラフの形

    • 導関数の符号によって単調性を判定し、狭義単調性を特徴づけ、ダルブーの定理を証明する。
    • 1 階導関数、2 階導関数、高階導関数による判定法で臨界点を分類し、閉区間、開区間、有界でない区間で最大値・最小値を求める。
    • 弦、導関数の単調増加、接線、2 階導関数によって下に凸であることを特徴づけ、変曲点を見分ける。
    • 接触円によってグラフの曲率を測る。

    1. 導関数の符号による単調性. ff が区間 II で連続で、各内点で微分可能であるとする。それらの点で f′(x)≥0f'(x) \geq 0 ならば ff は II で単調増加であり、f′(x)>0f'(x) > 0 ならば狭義単調増加である。f′(x)≤0f'(x) \leq 0 または f′(x)<0f'(x) < 0 ならば、単調減少または狭義単調減少である。逆に、ff が II で単調増加で、内点 aa で微分可能ならば、f′(a)≥0f'(a) \geq 0 である。

      使う結果: 7. ラグランジュの平均値の定理. 支え: E (1 点での微分係数の符号), G (平均値の定理), C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: 単調性と 1 階導関数による判定法.

    2. 導関数が非負のときの狭義単調性. ff が区間 II で連続で、各内点で f′(x)≥0f'(x) \geq 0 ならば、ff が II で狭義単調増加であるための必要十分条件は、f′f' が、どの区間 (p,q)\ioo{p}{q}（II に含まれるもの）においても、そのすべての点で 0 になることはないことである。とくに、有限個の点でしか 0 にならなければそうである。

      使う結果: 9. 平均値の定理の帰結, 12. 導関数の符号による単調性. 支え: H (導関数による単調性), C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: 単調性と 1 階導関数による判定法.

    3. 1 階導関数による判定法. ff が (a−r,a+r)\ioo{a - r}{a + r} で連続で、aa と異なる各点で微分可能であり、f′(x)≥0f'(x) \geq 0（aa の左側で）かつ f′(x)≤0f'(x) \leq 0（右側で）ならば、aa で極大値をとり、不等式が狭義ならばそれは狭義の極大値である。不等式が逆向きなら極小値をとる。そして f′(x)f'(x) が両側で正、または両側で負ならば、aa で極値をとらない。

      使う結果: 12. 導関数の符号による単調性. 支え: H (導関数による単調性). 証明される授業: 単調性と 1 階導関数による判定法.

    4. ダルブーの定理. ff が開区間 II で微分可能で、a<ba < b が II の点ならば、f′f' は (a,b)\ioo{a}{b} において、f′(a)f'(a) と f′(b)f'(b) の間に狭義にあるすべての値をとる。したがって、f′f' は II に除去可能不連続点も跳躍不連続点ももたない。

      使う結果: 2. ワイエルシュトラスの定理, 5. フェルマーの定理. 支え: E (1 点での微分係数の符号), F (最大値・最小値の存在), B (単元 1 から受け継いだもの), C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: 単調性と 1 階導関数による判定法.

    5. 零点をもたない導関数. ff が二点以上を含む区間 II で連続で、各内点で微分可能であり、その各点で f′(x)≠0f'(x) \neq 0 ならば、f′f' はそれらすべての点で同じ符号をもち、ff は II で狭義単調である。

      使う結果: 12. 導関数の符号による単調性, 15. ダルブーの定理. 支え: H (導関数による単調性). 証明される授業: 単調性と 1 階導関数による判定法.

    6. 2 階導関数による判定法. ff が開区間 II で微分可能で、点 aa（II の点）で二回微分可能であり、f′(a)=0f'(a) = 0 ならば、aa において、f′′(a)>0f''(a) > 0 のとき狭義の極小値をとり、f′′(a)<0f''(a) < 0 のとき狭義の極大値をとる。

      使う結果: 14. 1 階導関数による判定法. 支え: E (1 点での微分係数の符号), C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: 関数の極値と最大値・最小値.

    7. 高階導関数による判定法. ff が n−1n - 1 回微分可能であり（開区間 II において）、nn 回微分可能であり（点 aa において、これは II の点）、n≥2n \geq 2、f′(a)=⋯=f(n−1)(a)=0f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0、f(n)(a)≠0f^{(n)}(a) \neq 0 ならば、nn が偶数のとき、ff は aa で、f(n)(a)>0f^{(n)}(a) > 0 なら狭義の極小値を、f(n)(a)<0f^{(n)}(a) < 0 なら狭義の極大値をとる。nn が奇数のときは、aa でどんな極値もとらない。

      使う結果: 11. 1 点で導関数が 0 になる. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの). 証明される授業: 関数の極値と最大値・最小値.

    8. 区間における最大値・最小値. ff が [a,b]\icc{a}{b} で連続ならば、最大値と最小値をとり、それらをとる各点は aa、bb、または (a,b)\ioo{a}{b} の臨界点である。開区間（有界でも有界でなくてもよい）で連続で、ある値が両端での極限を上回るならば、最大値をとり、それをとる点は臨界点である。

      使う結果: 2. ワイエルシュトラスの定理, 5. フェルマーの定理. 支え: F (最大値・最小値の存在), B (単元 1 から受け継いだもの). 証明される授業: 関数の極値と最大値・最小値.

    9. 単調性による最大値・最小値. ff が区間 II で連続で、cc がその内点であり、f′(x)≥0f'(x) \geq 0（cc より小さい内点において）かつ f′(x)≤0f'(x) \leq 0（大きい内点において）ならば、ff は cc で、II における最大値をとる。そして cc が ff のただ一つの臨界点（II における）で、ff がそこで極値をとるならば、その極値は II における狭義の最大値または最小値である。

      使う結果: 12. 導関数の符号による単調性, 16. 零点をもたない導関数. 支え: H (導関数による単調性). 証明される授業: 関数の極値と最大値・最小値.

    10. 下に凸であることと導関数の単調増加. 関数 ff が区間 II で下に凸であるとは、f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y)f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y) がすべての xx、yy（II の元）とすべての tt（[0,1]\icc{0}{1} の元）に対して成り立つことをいう。ff が II で連続で各内点で微分可能ならば、それが下に凸であるための必要十分条件は f′f' が内点で単調増加であることであり、狭義に下に凸であるための必要十分条件は f′f' がそこで狭義単調増加であることである。

      使う結果: 7. ラグランジュの平均値の定理. 支え: G (平均値の定理), B (単元 1 から受け継いだもの), C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: 凹凸と変曲点.

    11. 接線の上にあるグラフ. ff が二点以上を含む区間 II で連続で、各内点で微分可能ならば、それが下に凸であるための必要十分条件は、f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a)f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a) がすべての内点 aa とすべての xx（II の元）に対して成り立つことである。とくに、下に凸で f′(a)=0f'(a) = 0 ならば、aa で II における最小値をとる。

      使う結果: 21. 下に凸であることと導関数の単調増加. 証明される授業: 凹凸と変曲点.

    12. 下に凸であることと 2 階導関数. ff が二点以上を含む区間 II で連続で、各内点で二回微分可能ならば、それが下に凸であるための必要十分条件はそれらの点で f′′(x)≥0f''(x) \geq 0 となることであり、さらに f′′f'' が II に含まれるどの開区間においてもそのすべての点で 0 になることがなければ、狭義に下に凸である。

      使う結果: 12. 導関数の符号による単調性, 13. 導関数が非負のときの狭義単調性, 21. 下に凸であることと導関数の単調増加. 支え: H (導関数による単調性), C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: 凹凸と変曲点.

    13. 変曲点. ff が aa の近くで連続で、aa で微分可能で、f′′f'' が aa で符号を変えるならば、点 aa は変曲点である。ff が二回微分可能であるような変曲点では f′′(a)=0f''(a) = 0 となるが、それだけでは足りないことは、x4x^4（00 において）が示すとおりである。そして f′′(a)=0f''(a) = 0 かつ f′′′(a)≠0f'''(a) \neq 0 ならば、aa は変曲点で、グラフはその接線を横切る。

      使う結果: 5. フェルマーの定理, 18. 高階導関数による判定法, 21. 下に凸であることと導関数の単調増加, 23. 下に凸であることと 2 階導関数. 支え: E (1 点での微分係数の符号), B (単元 1 から受け継いだもの). 証明される授業: 凹凸と変曲点.

    14. イェンセンの不等式. ff が区間 II で連続かつ下に凸で、各内点で微分可能ならば、f(t1x1+⋯+tnxn)≤t1f(x1)+⋯+tnf(xn)f\left(t_1 x_1 + \dots + t_n x_n\right) \leq t_1 f(x_1) + \dots + t_n f(x_n) が成り立つ。ここで xix_i は II の点、ti≥0t_i \geq 0 は和が 11 の重みである。上に凸な対数を用いると、正の数の相乗平均は相加平均を超えない。

      使う結果: 22. 接線の上にあるグラフ, 23. 下に凸であることと 2 階導関数. 支え: C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: 凹凸と変曲点.

    15. 接触円. ff が開区間で微分可能で、点 aa で二回微分可能であり、m=f′(a)m = f'(a) かつ q=f′′(a)≠0q = f''(a) \neq 0 ならば、aa で ff と同じ値、同じ微分係数、同じ 2 階微分係数をもつ円がちょうど一つある。その半径は ρ=(1+m2)32∣q∣\rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}、すなわち曲率 κ\kappa の逆数であり、中心は法線上にあって、q>0q > 0 なら点の上に、q<0q < 0 なら点の下にある。

      支え: C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: 曲率と曲率半径.

  3. 第 3 区間 最適化と近似

    • 幾何的または物理的な問題を、正確に定めた定義域における関数の最大値または最小値の探索に翻訳し、求めた値が最大値または最小値であることを正当化する。
    • 与えられた点に最も近いグラフ上の点を求め、最小時間から反射の法則と屈折の法則を導く。
    • ニュートン・ラフソン法で根を近似し、凹凸によってその収束を保証し、平均値の定理によって誤差を抑える。

    1. 点とグラフの距離. ff が、二点以上を含み端点があればそれを含む区間で連続ならば、そのグラフのある点は点 P=(x1,y1)P = (x_1, y_1) から最小の距離にある。その点の横座標 cc が内点で、ff がそこで微分可能ならば、PP は法線上にある。すなわち (x1−c)+f′(c)(y1−f(c))=0(x_1 - c) + f'(c)\left(y_1 - f(c)\right) = 0 である。

      使う結果: 2. ワイエルシュトラスの定理, 5. フェルマーの定理. 支え: F (最大値・最小値の存在), B (単元 1 から受け継いだもの), C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: 最適化問題.

    2. スネルの法則. 所要時間 T(x)=a2+x2v1+b2+(d−x)2v2T(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}（(0,a)(0, a) から (x,0)(x, 0) まで速さ v1v_1 で進み、そこから (d,−b)(d, -b) まで速さ v2v_2 で進む道筋の）は、ただ一つの点で狭義の最小値をとり、そこで sin⁡θ1v1=sin⁡θ2v2\frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2} となる。ここから、直線に触れる二点間の最短の道筋は、その直線への垂線と等しい角をなす。これが反射の法則である。

      使う結果: 22. 接線の上にあるグラフ, 23. 下に凸であることと 2 階導関数. 支え: D (中間値の定理), C (単元 2 から受け継いだもの). 証明される授業: 最適化問題.

    3. ニュートン・ラフソン法の収束. ff が開区間 II で微分可能かつ下に凸で、f′(x)≠0f'(x) \neq 0（すべての II において）であり、f(r)=0f(r) = 0 ならば、反復値 xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} は、x0x_0（II の点で f(x0)≥0f(x_0) \geq 0 を満たすもの）から出発すると、rr に単調に、それを越えずに近づき、rr に収束する。x0x_0（f(x0)<0f(x_0) < 0 を満たすもの）から出発すると、x1x_1 が II にあれば、最初の反復で適切な側に移る。

      使う結果: 16. 零点をもたない導関数, 21. 下に凸であることと導関数の単調増加, 22. 接線の上にあるグラフ. 支え: A (完備性公理), B (単元 1 から受け継いだもの). 証明される授業: ニュートン・ラフソン法.

    4. 誤差の上界. ff が区間 JJ で連続で各内点で微分可能であり、それらの点で ∣f′(x)∣≥m>0\abs{f'(x)} \geq m > 0、さらに f(r)=0f(r) = 0 がある rr（JJ の元）に対して成り立つならば、∣x−r∣≤∣f(x)∣m\abs{x - r} \leq \frac{\abs{f(x)}}{m} がすべての xx（JJ の元）に対して成り立つ。

      使う結果: 7. ラグランジュの平均値の定理. 支え: G (平均値の定理). 証明される授業: ニュートン・ラフソン法.

微分積分学 II へ. 鎖はコースの終わるところで止まる。微分積分学 IIでは、導関数が等しい二つの関数は定数だけ異なるという系が原始関数の基礎となり、積分は微分積分学の基本定理において導関数と結びつく。それ自体が積分である弧長によって、曲率は接線の回る速さとして読まれる。数列は（ニュートン・ラフソン法の反復値がその最初の例であった）、級数とともに、自然数で定義された関数に独自の理論を与える。そしてテイラー多項式は、その剰余項がロルの定理とコーシーの定理で抑えられ、高階導関数によって接線を延長し、高階導関数による判定法を一般化し、2 階導関数についての仮定のもとで、この単元が例で観察しただけのニュートン・ラフソン法の 2 次収束を証明する。