微分積分学 I：最終総括

コースが目指したこと

三つの古い問題が微分積分学を生んだ。動く物体のある瞬間における速さ、曲線の接線の傾き、曲線で囲まれた図形の面積である。このコースは導関数に通じる最初の二つを取り上げ、一つの全体的な目的をもって生まれた。それは、一変数の実関数の微分法を極限の定義と完備性公理の上に基礎づけ、そこから、完全な証明によって、関数の変化、形、極値と最大値・最小値について導関数が教えてくれることを導くことである。学習計画の課は、この目的を七つの全体的な学習目標に展開した。図がそれらを引用するときの番号とともに、目の前に置いておくとよい。

1. 明示的な演繹的推論によって証明する。定義を量化子を含む言明として書いてその否定をつくり、ε と δ によって論証し、存在定理を完備性公理から導き、仮定が余分でないことを反例で示し、導いたことと認めたことを区別する。
2. 有限の極限、片側極限、無限遠における極限、無限大の極限を定義して計算し、ロピタルの定理も用いて不定形を解消し、それらによって関数の漸近線とグラフを求める。
3. 関数の連続性を判定し、その不連続点を分類し、完備性公理に基づくボルツァーノの定理、中間値の定理、ワイエルシュトラスの定理を適用する。
4. 導関数を定義し、一次近似とカラテオドリの分解によって特徴づけ、その公式を証明し、それらを用いてあらゆる種類の関数を微分する。その際、各導関数の定義域を明確にする。
5. フェルマーの定理、ロルの定理、ラグランジュの平均値の定理、コーシーの平均値の定理を証明して適用し、それらによってグラフの単調性、極値、凹凸、変曲点、曲率を調べる。
6. 微分、二分法、ニュートン・ラフソン法によって値と解の近似値を求め、各近似の誤差を見積もり、方法がうまくいかないときを見分ける。
7. 変化率、関連する変化率、最適化問題を導関数によってモデル化し、立式、計算、証明を書いて伝える。

コースの各課は、さらに、それぞれ固有の個別目標を掲げた。課は、各個別目標がどの全体目標に役立つかを述べていない。この対応は外からの読み取りであり、このサイトのほかのコースと同じ方法で行ったものである。各個別目標は一つの主たる全体目標に割り当てられ、ほかの全体目標にも触れる場合には、それらに副次的な目標として割り当てられる。各個別目標は主たる目標では一つとして、各副次的な目標では半分として数えられ、課は、最も大きな重みを集める全体目標に主たる目標として、何らかの重みを受けるその他の目標に副次的な目標として結びつけられる。二つの目標が同点のときは、番号の小さいほうに決める。単元の道筋を述べるだけの導入の目標は、どの目標にも割り当てない。まとめの課は、このサイトのすべての数学のコースに共通する基準に従う。その主たる目標は目標 1 である。その中心部が単元の演繹の鎖を再構成するからである。最後に、最適化問題の課は目標 7 を主たる目標とする。規則に従えばわずかな差で目標 5 になるが、その課が掲げる主題は立式、すなわち問題を数学の言葉に移し、定義域を定め、求めた値が最大値・最小値であることを正当化することだからである。そうだとすれば、コース全体は一本の背骨の形をとる。頭部は全体的な目的であり、柱は単元の順序で、各単元がそれぞれの段をもつ。各課はその段の節点であり、その主たる目標に結びつけられる。そして七つの目標は、それらを養う課に担われて、柱のまわりに浮かぶ。