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Topos Uranos
日本語

和積の公式と三角関数の合成

要約

この課では、正弦と余弦の加法定理から、正弦と余弦の積を和に、逆に和を積に直す公式を導き、後者を弦の中点を用いて単位円上で解釈する。また、どの式 asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x も合成した形 Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi)（ただし R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}、角 φ\varphi は [0,2π)\ico{0}{2\pi} においてただ一つ）に書けることを証明し、そこから値域を二通りの方法で求め（その一つはコーシー・シュワルツの不等式である）、同じ振動数の二つの振動の重ね合わせはまた振動であることを結論する。さらに、うなりを遅い振動と速い振動の積として説明し、和を望遠鏡和にする因子を掛けることによって、等差数列をなす角の正弦の和と余弦の和を閉じた形で求める。

学習目標

  1. 積を和に直す公式と和を積に直す公式を加法定理から導き、後者を単位円上で解釈する。
  2. どの式 asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x も合成した形に書き、その振幅と角の存在と一意性を証明し、それを用いて値域、最大値、最小値を求める。
  3. 同じ振動数の二つの振動の重ね合わせを一つの振動として捉え、うなりをその包絡線によって記述する。
  4. 等差数列をなす角の正弦の和と余弦の和を望遠鏡和によって計算し、これらの変形を式の簡単化と恒等式の証明に応用する。

積から和へ

加法定理の課では、すべての実数 α\alpha と β\beta について、以下の四つの等式が証明された：

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, \qquad \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β,cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, \qquad \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

各組の二つの公式は同じ二つの積を含み、二つ目の積の符号だけが異なる。そうであるならば、それらを足すか引くかすると、一方の積は消え、他方は二倍になる。つまり、正弦または余弦と別の正弦または余弦との積はどれも、正弦または余弦の和の半分または差の半分として表される。これらの公式はプロスタフェレーシス（ギリシャ語で「加法と減法」）の公式と呼ばれ、16 世紀末の天文学者たちは、その中にはティコ・ブラーエもいたが、ジョン・ネイピアが 1614 年に対数表を公刊する前に、正弦表を参照して多桁の数の掛け算を足し算と引き算に帰着させるのにこれらを用いた。

定理積を和に直す公式

すべての実数 α\alpha と β\beta について、積 sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta は sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta) と sin⁡(α−β)\sin(\alpha - \beta) の和の半分である。積 cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta は同じ二つの正弦の差の半分である。積 cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta は cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta) と cos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta) の和の半分であり、積 sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta はそれらの差の半分である。

sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)),cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), \qquad \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)
cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)),sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right), \qquad \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)

各公式は、一つの組の二つの公式を足すか引くかして得られる。図は α=2x\alpha = 2x、β=x\beta = x の場合を示している。太線で描いた積は、細線で描いた振動数 33 と 11 の二つの振動の和の半分または差の半分と一致する。

証明

  1. sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=2sin⁡αcos⁡β→sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{sc}{\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)}

    和の正弦の公式と差の正弦の公式を足すと、項 cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta が消える。22 で割ると第一の公式が得られる。

  2. sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)=2cos⁡αsin⁡β→cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \sin \beta} \rightarrow \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)

    足す代わりに引くと、項 sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta が消える。

  3. cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)=2cos⁡αcos⁡β→cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{cc}{\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right)}

    余弦の公式でも同様にする。足すと正弦の積が消える。

  4. cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)=2sin⁡αsin⁡β→sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \sin \beta} \rightarrow \dato{ss}{\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)}

    差の余弦の公式から和の余弦の公式を引くと、余弦の積が消える。

  5. sin⁡αcos⁡α=12sin⁡(2α),cos⁡2α=12(1+cos⁡(2α)),sin⁡2α=12(1−cos⁡(2α))\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha), \quad \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(2\alpha) \right), \quad \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos(2\alpha) \right)

    β=α\beta = \alpha とし、sin⁡0=0\sin 0 = 0 かつ cos⁡0=1\cos 0 = 1 であることを用いると、正弦の二倍角の公式と、加法定理の課の次数下げの公式が得られる。図では、sin⁡2x\sin^2 x が周期 π\pi で 12\frac{1}{2} のまわりを振動する。

これらの公式により、因数ごとには主な角の値に帰着しない積も計算できる。たとえば α=5π12\alpha = \frac{5\pi}{12}、β=π12\beta = \frac{\pi}{12} とすると、角の和は π2\frac{\pi}{2}、差は π3\frac{\pi}{3} である：

cos⁡5π12cos⁡π12=12(cos⁡π3+cos⁡π2)=12(12+0)=14\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + 0 \right) = \frac{1}{4}

しかし、これらの公式の主な意義は別のところにある。思い描きにくい二つの振動の積は、二つの振動の重ね合わせであり、その振動数は因数の振動数の和と差である。こうして、sin⁡(3x)cos⁡x=12(sin⁡(4x)+sin⁡(2x))\sin(3x) \cos x = \frac{1}{2} \left( \sin(4x) + \sin(2x) \right)。