सीमाओं का बीजगणित

उपपत्तियों की योजना

एक वास्तविक चर के फलनों की सीमा वाले पाठ में परिभाषा से सिद्ध किया गया कि $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$, और काम यह था कि $\abs{x^2 - 9}$ को $\abs{x - 3}$ के किसी गुणज से परिबद्ध किया जाए। इस पाठ के सभी नियमों का रूप यही है: यह सिद्ध करने के लिए कि कोई फलन $F$, $K$ की ओर अग्रसर होता है, दूरी $\abs{F(x) - K}$ को ऐसी दूरियों के किसी गुणज से परिबद्ध किया जाता है जिनके बारे में पहले से ज्ञात है कि वे छोटी हो जाती हैं। यदि ऐसा है, तो एक ही बार, एप्सिलॉन और डेल्टा से, यह सिद्ध कर लेना उचित है कि ऐसा परिबंध पर्याप्त है; उसके बाद प्रत्येक नियम उपयुक्त असमिका खोजने तक सिमट जाता है, और एप्सिलॉन और डेल्टा वाली कोई युक्ति दोहराई नहीं जाती।

पूरे पाठ में, $f$ और $g$ एक ही समुच्चय $A$ पर परिभाषित वास्तविक फलन हैं, बिंदु $a$, $A$ का संचय बिंदु है, और जब कहा जाता है कि $f(x)$ “$a$ के निकट” कोई बात पूरी करता है, तो अर्थ यह है कि एक $r > 0$ विद्यमान है जिसके लिए प्रत्येक $x$ जो $A$ में है और जिसके लिए $0 < \abs{x - a} < r$, उस बात को पूरा करता है। पिछले पाठ से परिभाषा, सीमा की अद्वितीयता, अचर फलन और तत्समक फलन की सीमाएँ, वह प्रमेयिका जिसके अनुसार सीमा केवल बिंदु के निकट के मानों पर निर्भर करती है, और चिह्न के संरक्षण के साथ स्थानीय परिबद्धता का उपयोग किया जाता है।