सीमा और सांतत्य

परिभाषा

एक वास्तविक चर के फलनों की सीमा वाले पाठ में परिभाषा जान-बूझकर बिंदु $a$ को बाहर रखती थी: सीमा यह बताती है कि $a$ के निकट क्या होता है, न कि $a$ पर, और फलन वहाँ परिभाषित न भी हो सकता है। सांतत्य दोनों की तुलना करता है: निकट क्या होता है और बिंदु पर स्वयं क्या होता है।

यह परिभाषा सीमा की परिभाषा से तीन बातों में अलग है। जिस संख्या की ओर मानों को पहुँचना है, वह कोई भी $L$ नहीं, बल्कि $f(a)$ है; इसीलिए $a$ का प्रांत में होना आवश्यक है। प्रत्युत्तर $\abs{x - a} < \delta$, $x = a$ को बाहर नहीं रखता, यद्यपि उसे सम्मिलित करने में कुछ नहीं लगता, क्योंकि $\abs{f(a) - f(a)} = 0$। और यह अपेक्षित नहीं है कि $a$, $A$ का संचय बिंदु हो। निषेध उसी प्रकार प्राप्त होता है जैसे सीमा वाले पाठ में: $f$, $a$ पर असंतत है यदि एक $\varepsilon > 0$ विद्यमान है ऐसा कि प्रत्येक $\delta > 0$ के लिए एक $x$ है जो $A$ में है और जिसके लिए $\abs{x - a} < \delta$ और $\abs{f(x) - f(a)} \geq \varepsilon$।

अतः प्रांत के किसी संचय बिंदु पर सांतत्य तीन बातों से बनता है: कि $f$, $a$ पर परिभाषित हो, कि उसकी $a$ पर सीमा हो, और कि वह सीमा $f(a)$ हो। इनमें से प्रत्येक अलग से विफल हो सकती है, और इसी से असांतत्यों का वर्गीकरण निकलता है। उदाहरण के लिए, वह फलन जिसका मान $1$ है प्रत्येक $x \neq 0$ पर और $0$ है $x = 0$ पर, जो सीमाओं का बीजगणित वाले पाठ में संघटन के प्रत्युदाहरण से है, उसकी सीमा $1$ है, $0$ पर, जो उसके मान से अलग है: वह $0$ पर असंतत है।