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सम्मिश्र संख्याओं से ज्यामिति

सारांश

यह पाठ सम्मिश्र संख्याओं को समतल के निर्देशांकों के रूप में प्रयुक्त करता है और प्रारंभिक ज्यामिति की धारणाओं को बीजीय संक्रियाओं में बदलता है: दूरी एक अंतर का मापांक है, मध्य बिंदु और केंद्रक औसत हैं, और समतल की गतियाँ संक्षिप्त सूत्र हैं। यह सिद्ध करता है कि R(z)=c+eiφ(z−c)R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c), केंद्र cc और कोण φ\varphi वाला घूर्णन है, कि मूल बिंदु से होकर जाने वाली और कोण α\alpha बनाने वाली रेखा में परावर्तन S(z)=e2iαz‾S(z) = e^{2i\alpha}\conj{z} है, और कि दो परावर्तनों का संघटन एक घूर्णन है। यह एक भागफल द्वारा संरेखता और लंबता का अभिलक्षण करता है, उसी भागफल के काल्पनिक भाग के चिह्न से त्रिभुज के अभिविन्यास को परिभाषित करता है, सिद्ध करता है कि तीन बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं यदि और केवल यदि z1+ωz2+ω2z3=0z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0, जहाँ ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}, और दर्शाता है कि वे बिंदु जिनकी दो स्थिर बिंदुओं से दूरियाँ एक अचर अनुपात रखती हैं, एक वृत्त बनाते हैं, अपोलोनियस का वृत्त। प्रश्न नेपोलियन की प्रमेय पर पहुँचकर पूर्ण होते हैं।

अधिगम उद्देश्य

  1. सम्मिश्र संख्याओं से बिंदुओं, दूरियों, मध्य बिंदुओं और केंद्रकों को निरूपित करना, और स्थानांतरणों, घूर्णनों, केंद्रीय तननों और परावर्तनों को एक सम्मिश्र चर के फलनों के रूप में व्यक्त करना।
  2. किसी बिंदु के परितः घूर्णन और किसी रेखा में परावर्तन के सूत्र सिद्ध करना, और परावर्तनों तथा घूर्णनों के संघटनों का अध्ययन करना।
  3. दो अंतरों के भागफल द्वारा दो रेखाखंडों की संरेखता, लंबता और कोण का निर्णय करना, उसी भागफल के काल्पनिक भाग के चिह्न से त्रिभुज का अभिविन्यास निर्धारित करना और 1 के घनमूल ω\omega से समबाहु त्रिभुज का अभिलक्षण करना।
  4. मापांक से वृत्तों का वर्णन करना, अपोलोनियस के वृत्त की प्रमेय सिद्ध करना और इन साधनों का प्रयोग शास्त्रीय प्रश्नों में करना, जैसे नेपोलियन और वान ऑबेल के प्रश्न।

बिंदु, दूरियाँ और केंद्र

पाठ्यक्रम बीजगणित और ज्यामिति I के सम्मिश्र संख्याओं की संक्रियाओं वाले पाठ से, प्रत्येक सम्मिश्र संख्या z=a+biz = a + bi की पहचान समतल के बिंदु (a,b)(a, b) से की जाती है, और अंतर z−wz - w वह सदिश है जो बिंदु ww से बिंदु zz तक जाता है; पाइथागोरस प्रमेय से, दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी ∣z−w∣\abs{z - w} है। इस पाठ में दृष्टिकोण उलट जाता है: संख्याओं का अध्ययन समतल के माध्यम से नहीं, बल्कि समतल का अध्ययन संख्याओं के माध्यम से किया जाता है। एक आकृति अपने बिंदुओं की सम्मिश्र संख्याओं से वर्णित होती है, और एक ज्यामितीय गुण उनके बीच की एक समता से।

मुख्य साधन सम्मिश्र चरघातांकी फलन और ऑयलर सूत्र वाले पाठ का सम्मिश्र चरघातांकी फलन है। प्रत्येक वास्तविक संख्या φ\varphi के लिए, संख्या eiφe^{i\varphi} त्रिज्या 11 वाले वृत्त का वह बिंदु है जिसका कोणांक φ\varphi है, और वह नीचे दिए गए गुणों को संतुष्ट करती है; अंतिम गुण इस कारण है कि cos⁡(−φ)=cos⁡φ\cos(-\varphi) = \cos \varphi और sin⁡(−φ)=−sin⁡φ\sin(-\varphi) = -\sin \varphi:

eiφ=cos⁡φ+isin⁡φ,∣eiφ∣=1,eiαeiβ=ei(α+β),eiφ‾=e−iφe^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi, \qquad \abs{e^{i\varphi}} = 1, \qquad e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}, \qquad \conj{e^{i\varphi}} = e^{-i\varphi}

सम्मिश्र संख्याओं का ध्रुवीय रूप वाले पाठ के अनुसार, प्रत्येक शून्येतर सम्मिश्र संख्या z=reiθz = re^{i\theta} के रूप में लिखी जाती है, जहाँ r=∣z∣r = \abs{z} और θ\theta, zz का एक कोणांक है; दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणा करने पर मापांकों का गुणा होता है और कोणांक जुड़ते हैं, और उनका भाग करने पर मापांकों का भाग होता है और कोणांक घटते हैं। विशेष रूप से, zz को eiφe^{i\varphi} से गुणा करने पर उसका मापांक संरक्षित रहता है और उसका कोणांक φ\varphi बढ़ जाता है: यह बिंदु zz को मूल बिंदु के परितः कोण φ\varphi से घुमाता है, वामावर्त दिशा में यदि φ>0\varphi > 0। i=eiπ2i = e^{\frac{i\pi}{2}} से गुणा, जिसका अध्ययन पाठ्यक्रम I के सम्मिश्र संख्याओं वाले पाठ में चौथाई चक्कर के घूर्णन के रूप में किया गया था, स्थिति φ=π2\varphi = \frac{\pi}{2} है।

रेखाखंड के बिंदुओं का वर्णन भी सम्मिश्र संख्याओं से किया जाता है। पाठ्यक्रम I के सदिश और रेखा के प्राचलिक समीकरण वाले पाठ के अनुसार, z1z_1 और z2z_2 से होकर जाने वाली रेखा के बिंदु z1+t(z2−z1)z_1 + t(z_2 - z_1) के रूप के बिंदु हैं, जहाँ tt वास्तविक है, और उन्हें मिलाने वाले रेखाखंड के बिंदु 0≤t≤10 \leq t \leq 1 के संगत हैं।

उपप्रमेयसम्मिश्र संख्याओं में मध्य बिंदु और केंद्रक

सिरों z1z_1 और z2z_2 वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु योग का आधा m=z1+z22m = \frac{z_1 + z_2}{2} है। शीर्षों z1z_1, z2z_2 और z3z_3 वाले त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ बिंदु g=z1+z2+z33g = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} से होकर जाती हैं, जिसे केंद्रक कहते हैं, और जो प्रत्येक माध्यिका पर शीर्ष से सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु तक जाने वाले मार्ग के दो-तिहाई पर स्थित है। यह प्रमेयिका सदिशों द्वारा पाठ्यक्रम I के सदिश और रेखा के प्राचलिक समीकरण वाले पाठ के माध्यिकाओं वाले हल किए गए प्रश्न में सिद्ध की गई थी; नीचे दी गई उपपत्ति उसे सम्मिश्र संख्याओं की भाषा में व्यक्त करती है। आकृति उसका अनुसरण शीर्षों z1=−2−iz_1 = -2 - i, z2=3−iz_2 = 3 - i और z3=2iz_3 = 2i के साथ करती है।

प्रमाण

  1. m=z1+12(z2−z1)=z1+z22\dato{m}{m = z_1 + \resaltar{\frac{1}{2}}(z_2 - z_1) = \resaltar{\frac{z_1 + z_2}{2}}}

    t=12t = \frac{1}{2} के संगत रेखाखंड का बिंदु सिरों के योग का आधा है।

  2. m−z1=z2−z12=z2−m→∣m−z1∣=∣z2−m∣m - z_1 = \resaltar{\frac{z_2 - z_1}{2}} = z_2 - m \rightarrow \resaltar{\abs{m - z_1} = \abs{z_2 - m}}

    यह दोनों सिरों से समान दूरी पर है, क्योंकि इसे उनसे मिलाने वाले दोनों सदिश बराबर हैं: यह मध्य बिंदु है।

  3. z3+23(z1+z22−z3)=z1+z2+z33z_3 + \resaltar{\frac{2}{3}} \left( \frac{z_1 + z_2}{2} - z_3 \right) = \dato{g}{\resaltar{\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}}}

    z3z_3 को सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु से मिलाने वाली माध्यिका पर, t=23t = \frac{2}{3} के संगत बिंदु यह है।

  4. z1+23(z2+z32−z1)=g=z2+23(z1+z32−z2)z_1 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_2 + z_3}{2} - z_1 \right) = \resaltar{g} = z_2 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_1 + z_3}{2} - z_2 \right)

    प्राप्त व्यंजक तीनों शीर्षों में सममित है; यदि ऐसा है, तो अन्य दो माध्यिकाओं में से किसी के साथ वही परिकलन वही बिंदु देता है, और तीनों gg से होकर जाती हैं। आकृति के शीर्षों के साथ, g=13g = \frac{1}{3}।

इस प्रकार, मध्य बिंदु दो सम्मिश्र संख्याओं का औसत है, और केंद्रक तीन का।