समष्टि में सदिश और अदिश गुणनफल

सारांश

यह पाठ उन सदिशों को त्रिविमीय समष्टि में ले जाता है जिनका अध्ययन समतल में सदिशों वाले पाठ ने दो निर्देशांकों से किया था। यह धनात्मक अभिविन्यास वाले तीन परस्पर लंब अक्षों का एक निकाय नियत करता है, समष्टि की यूक्लिडीय ज्यामिति के स्वीकृत तथ्यों की घोषणा करता है और पाइथागोरस प्रमेय को दो बार लागू करके दो बिंदुओं के बीच की दूरी प्राप्त करता है। यह सदिशों को वास्तविक संख्याओं के त्रिकों के रूप में परिभाषित करता है, उनके योग, संख्या से गुणन, मानक आधार और निर्देशांकों की अद्वितीयता के साथ; परिमाण और अदिश गुणनफल को परिभाषित करता है, उनके गुण, विविक्तकर द्वारा कॉशी-श्वार्ज़ असमिका और त्रिभुज असमिका सिद्ध करता है, और इनकी सहायता से दो सदिशों के बीच का कोण परिभाषित करता है, जो प्रारंभिक ज्यामिति के कोण के साथ संपाती है। इसके बाद यह लांबिकता, लांबिक प्रक्षेप, दिक् कोज्याओं और अदिश गुणनफल को एक पंक्ति और एक स्तंभ के गुणनफल के रूप में लिखने का अध्ययन करता है, जिससे यह निकलता है कि मात्रक और परस्पर लंब स्तंभों वाले आव्यूह लंबाइयों और कोणों को संरक्षित रखते हैं। अनुप्रयोग हैं: किसी बल द्वारा किया गया कार्य, समष्टि में कोज्या नियम और मीथेन अणु का कोण; प्रश्न घन और समांतर षट्फलक के विकर्णों, दो दिए गए सदिशों पर लंब सदिशों, तीन केबलों के तनावों और सम्मुख किनारों के परस्पर लंब होने वाले चतुष्फलकों से संबंधित हैं।

अधिगम उद्देश्य

समष्टि के कार्तीय निर्देशांक निकाय में बिंदुओं को स्थित करना, उनका अष्टांश पहचानना और दूरियाँ परिकलित करना, सूत्र का औचित्य पाइथागोरस प्रमेय से देते हुए।
समष्टि के सदिशों पर संक्रियाएँ करना, उन्हें मानक आधार में व्यक्त करना और उनकी सहायता से समांतर चतुर्भुजों, समांतर षट्फलकों और चतुष्फलकों के गुण सिद्ध करना।
परिमाण, अदिश गुणनफल, कोण, लांबिक प्रक्षेप और दिक् कोज्याएँ परिकलित करना, और समष्टि में कॉशी-श्वार्ज़ असमिका और त्रिभुज असमिका सिद्ध करना।
अदिश गुणनफल को आव्यूहों के गुणनफल के रूप में लिखना और उसकी सहायता से यह निर्णय करना कि कोई आव्यूह लंबाइयों और कोणों को संरक्षित रखता है या नहीं।
अदिश गुणनफल की सहायता से किसी बल द्वारा किए गए कार्य, संगामी बलों के संतुलन और किसी अणु के कोणों का प्रतिरूपण करना।

समष्टि का निर्देशांक निकाय

पाठ्यक्रम बीजगणित और ज्यामिति I के समतल में सदिश वाले पाठ में, समतल के प्रत्येक बिंदु को संख्याओं के एक युग्म से और प्रत्येक विस्थापन को एक अन्य युग्म से अभिन्न माना गया, और रेखाओं, कोणों तथा दूरियों की ज्यामिति का अनुवाद इन युग्मों के साथ परिकलनों में किया गया। किंतु भौतिक जगत त्रिविमीय है: किसी विमान की स्थिति, किसी अणु में किसी परमाणु की स्थिति या छत से लटके किसी लैंप की स्थिति के लिए तीन संख्याएँ चाहिए। यदि ऐसा है, तो त्रिकों के साथ रचना को दोहराना उचित है। समतल में जो सिद्ध किया गया था उसका अधिकांश बिना बदलाव के विस्तारित होता है, क्योंकि वे उपपत्तियाँ घटकशः चलती थीं या केवल अदिश गुणनफल के बीजीय गुणों का उपयोग करती थीं; ऐसी स्थितियों में यह पाठ समतल वाले पाठ का संदर्भ देता है। जिसमें सावधानी चाहिए वह ज्यामिति है: समष्टि में ऐसी कोई समतल आकृति उपलब्ध नहीं जिसमें सब कुछ समा जाए, और उदाहरण के लिए दो सदिशों के बीच के कोण को परिकलित करने से पहले परिभाषित करना पड़ता है।

समष्टि की यूक्लिडीय ज्यामिति के स्वीकृत तथ्य

समष्टि की वैश्लेषिक ज्यामिति ठोस ज्यामिति का अनुवाद करती है, जिसे यूक्लिड ने एलिमेंट्स की पुस्तकों XI से XIII तक में प्रस्तुत किया। उसकी अभिगृहीतीय रचना इस पाठ्यक्रम की सीमा से बाहर है, जैसा समतल की रचना के साथ रेखा का समीकरण वाले पाठ में हुआ था, जहाँ समतल ज्यामिति के स्वीकृत तथ्य एक सूची में एकत्र किए गए। इसी प्रकार, समष्टि के जिन तथ्यों का यह इकाई उपयोग करती है वे बिना उपपत्ति के स्वीकार किए जाते हैं और नीचे की सूची में एकत्र किए जाते हैं; जब भी इकाई का कोई पाठ इनमें से किसी का सहारा लेता है, वह इसी सूची का संदर्भ देता है।

समतल। तीन असंरेख बिंदुओं से होकर एक और केवल एक समतल जाता है, और यदि किसी रेखा के दो बिंदु किसी समतल में हों, तो पूरी रेखा उस समतल में होती है। समष्टि के प्रत्येक समतल में रेखा का समीकरण वाले पाठ में स्वीकृत समतल ज्यामिति के तथ्य लागू होते हैं; विशेष रूप से, पाइथागोरस प्रमेय और उसका विलोम, और उस समतल में अक्षों का निकाय चुनने की स्वतंत्रता।
लंब रेखाएँ और समतल। प्रत्येक बिंदु से होकर किसी दी गई रेखा पर लंब एक और केवल एक समतल जाता है, और वह समतल रेखा को एक अद्वितीय बिंदु पर काटता है। किसी समतल पर लंब रेखा उस समतल की उन सभी रेखाओं पर लंब होती है जो उस बिंदु से होकर जाती हैं जहाँ वह समतल को काटती है।
अक्ष। तीन रेखाएँ जो एक बिंदु $O$ से होकर जाती हैं और परस्पर लंब हैं, प्रत्येक पर एक धनात्मक दिशा और लंबाई की एक ही मात्रक के साथ, अक्षों का एक निकाय बनाती हैं। दूरियाँ, कोण और आकृतियाँ इस चुनाव पर निर्भर नहीं करतीं।
निर्देशांक। अक्षों का निकाय नियत होने पर, तीनों अक्षों पर लंब और किसी बिंदु $P$ से होकर खींचे गए समतल उन्हें क्रमशः उन बिंदुओं पर काटते हैं जिनके निर्देशांक $x$ , $y$ और $z$ हैं, और विलोमतः, संख्याओं के प्रत्येक त्रिक के लिए ये तीन समतल एक अद्वितीय बिंदु पर काटते हैं। जिन बिंदुओं का तीसरा निर्देशांक $c$ के बराबर है वे $z$ -अक्ष पर लंब एक समतल बनाते हैं, जिसमें पहले दो निर्देशांक उसी मात्रक के साथ समतल के कार्तीय निर्देशांक हैं; जिन बिंदुओं के पहले दो निर्देशांक नियत हैं वे $z$ -अक्ष के समांतर और उस समतल पर लंब एक रेखा बनाते हैं, जिस पर तीसरा निर्देशांक उसी मात्रक से स्थिति मापता है। अक्षों को आपस में बदलने पर भी यही बात लागू होती है।

चौथा तथ्य पहले तीन का परिणाम है, जिसे ठोस ज्यामिति समांतर रेखाओं और समांतर समतलों के गुणों से सिद्ध करती है; इसे अलग से कहा गया है क्योंकि इसी रूप में इसका उपयोग होगा।

समष्टि का कार्तीय निर्देशांक निकाय अक्षों का एक निकाय है, जिनके नाम $x$ -अक्ष, $y$ -अक्ष और $z$ -अक्ष हैं, और जो मूल बिंदु $O$ पर काटते हैं। प्रत्येक बिंदु $P$ को उसके निर्देशांकों के त्रिक $P = (x, y, z)$ से अभिन्न माना जाता है, और इन निर्देशांकों को भुज, कोटि और ऊर्ध्व निर्देशांक कहते हैं। तीन निर्देशांक तल हैं: $xy$ तल, जिसका समीकरण $z = 0$ है; $yz$ तल, जिसका समीकरण $x = 0$ है; और $xz$ तल, जिसका समीकरण $y = 0$ है।

निर्देशांक तल प्रत्येक निर्देशांक के चिह्न के अनुसार समष्टि को आठ प्रदेशों में बाँटते हैं, जिन्हें अष्टांश कहते हैं; प्रथम अष्टांश उन बिंदुओं का है जिनके तीनों निर्देशांक धनात्मक हैं, और शेष अष्टांशों के नाम उनके चिह्नों के त्रिक से रखे जाते हैं, उदाहरण के लिए अष्टांश $(+, -, +)$ । समतल में, दो परस्पर लंब अक्षों को दो सारतः अलग-अलग तरीकों से रखा जा सकता है: दूसरा अक्ष पहले अक्ष को चौथाई चक्कर वामावर्त घुमाकर, या दक्षिणावर्त घुमाकर प्राप्त होता है। समष्टि में तीनों अक्षों के साथ भी यही होता है, और इस अंतर का एक नाम है।

समष्टि के किसी निर्देशांक निकाय का धनात्मक अभिविन्यास होता है जब, $z$ -अक्ष के धनात्मक भाग से देखने पर, वह चौथाई चक्कर जो धनात्मक $x$ -अर्धाक्ष को धनात्मक $y$ -अर्धाक्ष पर ले जाता है, वामावर्त दिखाई देता है। तुल्य रूप से, दाहिने हाथ का नियम लागू होता है: यदि दाहिने हाथ की उँगलियाँ धनात्मक $x$ -अर्धाक्ष से धनात्मक $y$ -अर्धाक्ष की ओर मुड़ें, तो अँगूठा धनात्मक $z$ -अर्धाक्ष की ओर संकेत करता है।

यदि किसी एक अक्ष की दिशा उलट दी जाए, तो अभिविन्यास बदल जाता है; यदि दो की उलटी जाए, तो संरक्षित रहता है। अक्षों को चक्रीय रूप से बदलने पर, $x$ , $y$ , $z$ से $y$ , $z$ , $x$ तक, अभिविन्यास भी नहीं बदलता, जिससे धनात्मक निकाय में, धनात्मक $x$ -अर्धाक्ष से देखने पर, $y$ से $z$ तक का घूर्णन भी वामावर्त होता है। आगे से सभी निकायों का अभिविन्यास धनात्मक है। आकृतियाँ उन्हें तिर्यक प्रक्षेप में खींचती हैं: $y$ -अक्ष दाईं ओर, $z$ -अक्ष ऊपर की ओर और $x$ -अक्ष देखने वाले की ओर, तिरछा खींचा हुआ और लंबाइयाँ आधी की हुई। अभिविन्यास इस पाठ में कोई भूमिका नहीं निभाता; यह ठीक बाद वाले पाठ में, अर्थात सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल वाले पाठ में, आवश्यक होगा।

उदाहरणसमष्टि में एक बिंदु स्थित करना

अक्षों के अनुदिश चलते हुए बिंदु $P = (3, 4, 2)$ को स्थित कीजिए, उसका अष्टांश बताइए और बिंदु $P_1 = (3, 4, -2)$ को स्थित कीजिए।

प्रमाण

$O = \left( 0, 0, 0 \right)$
हम धनात्मक अभिविन्यास वाले तीन अक्ष खींचते हैं: ऊपर से देखने पर, धनात्मक $x$ -अर्धाक्ष से धनात्मक $y$ -अर्धाक्ष तक का चौथाई चक्कर वामावर्त है।
$A = \left( \resaltar{3}, 0, 0 \right)$
हम $3$ मात्रक आगे बढ़ते हैं, $x$ -अक्ष के अनुदिश।
$B = \left( 3, \resaltar{4}, 0 \right)$
$A$ से, हम $4$ मात्रक आगे बढ़ते हैं, $y$ -अक्ष की दिशा में, $xy$ तल से बाहर निकले बिना।
$P = \left( 3, 4, \resaltar{2} \right)$
$B$ से, हम $2$ मात्रक ऊपर चढ़ते हैं, $z$ -अक्ष की दिशा में। तीनों निर्देशांक धनात्मक हैं: $P$ प्रथम अष्टांश में है, और यह $O$ का सम्मुख शीर्ष है उस घनाभ का जिसके किनारे $3$ , $4$ और $2$ हैं।
$P_1 = \left( 3, 4, \resaltar{-2} \right)$
यदि $B$ से $2$ मात्रक नीचे उतरें तो $P_1$ पर पहुँचते हैं, जो अष्टांश $(+, +, -)$ में है। $xy$ तल रेखाखंड $P P_1$ को उसके मध्य-बिंदु $B$ पर लंबवत काटता है: $P_1$ , $P$ का उस तल के सापेक्ष सममित बिंदु है।

दो बिंदुओं के बीच की दूरी

समतल में, दो बिंदुओं के बीच की दूरी एक ऐसे त्रिभुज पर, जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ अक्षों के समांतर हैं, पाइथागोरस प्रमेय को एक बार लागू करके प्राप्त हुई थी। समष्टि में इसे दो बार लागू करना पड़ता है: पहले एक क्षैतिज समतल में और फिर एक ऊर्ध्वाधर समतल में।

प्रमेयदो बिंदुओं के बीच की दूरी

बिंदुओं $P = (x_1, y_1, z_1)$ और $Q = (x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी नीचे दी गई है।

\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}

एक सहायक बिंदु $R$ लिया जाता है, जो $P$ की ऊँचाई पर और $Q$ से होकर जाने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा पर है। आकृति $P = (1, 2, 1)$ और $Q = (3, 5, 7)$ का उपयोग करती है।

प्रमाण

$R = \left( x_2, y_2, \resaltar{z_1} \right)$
मान लीजिए $R$ वह बिंदु है जिसके पहले दो निर्देशांक $Q$ के हैं और ऊर्ध्व निर्देशांक $P$ का। बिंदु $P$ और $R$ उस समतल में हैं जिसका ऊर्ध्व निर्देशांक $z_1$ है, और $R$ तथा $Q$ उस रेखा पर हैं जो $z$ -अक्ष के समांतर है और उन बिंदुओं से बनी है जिनके पहले दो निर्देशांक $x_2$ और $y_2$ हैं।
${\operatorname{d}(P, R)}^2 = \dato{pr}{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2}$
निर्देशांकों वाले तथ्य से, जिस समतल का ऊर्ध्व निर्देशांक $z_1$ है उसमें पहले दो निर्देशांक कार्तीय हैं, और रेखा का समीकरण वाले पाठ का समतल में दूरी का सूत्र $PR$ की लंबाई देता है। आकृति में, $4 + 9 = 13$ ।
$\operatorname{d}(R, Q) = \dato{rq}{\abs{z_2 - z_1}}$
उस ऊर्ध्वाधर रेखा पर जिसमें $R$ और $Q$ हैं, ऊर्ध्व निर्देशांक स्थिति मापता है: $RQ$ की लंबाई ऊर्ध्व निर्देशांकों के अंतर का निरपेक्ष मान है। आकृति में, $7 - 1 = 6$ ।
${\operatorname{d}(P, Q)}^2 = \resaltar{{\operatorname{d}(P, R)}^2} + \resaltar{{\operatorname{d}(R, Q)}^2}$
रेखा $RQ$ उस समतल पर लंब है जिसका ऊर्ध्व निर्देशांक $z_1$ है, और दूसरे स्वीकृत तथ्य से, रेखा $PR$ पर भी, जो उस समतल में है और $R$ से होकर जाती है। त्रिभुज $PRQ$ , $R$ पर समकोण है और, पहले तथ्य से, उसे समाविष्ट करने वाले समतल में पाइथागोरस प्रमेय लागू होती है।
$\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\resaltar{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2} + \resaltar{\left( z_2 - z_1 \right)^2}}, \qquad \sqrt{13 + 36} = 7$
हम प्रतिस्थापित करते हैं और वर्गमूल लेते हैं। यदि $P = R$ या $R = Q$ , तो त्रिभुज नहीं बनता, पर सूत्र दो दूरियों में से केवल एक के सूत्र में बदल जाता है और सही बना रहता है। आकृति में, दूरी $7$ है।

विशेष रूप से, $P = (x, y, z)$ की मूल बिंदु से दूरी $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ है, उस घनाभ के विकर्ण की लंबाई जिसके किनारे $\abs{x}$ , $\abs{y}$ और $\abs{z}$ हैं। उदाहरण के लिए, किनारे $a$ वाले घन का विकर्ण $\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a \sqrt{3}$ है।

इस पाठ के शेष भाग में

समष्टि में सदिश
त्रिक, तीर और संक्रियाएँ
रैखिक संयोजन और मानक आधार
परिमाण और अदिश गुणनफल
परिमाण
अदिश गुणनफल
कॉशी-श्वार्ज़ असमिका और त्रिभुज असमिका
दो सदिशों के बीच का कोण
लांबिकता
लांबिक प्रक्षेप
दिक् कोज्याएँ
अदिश गुणनफल और आव्यूह
अनुप्रयोग
किसी बल द्वारा किया गया कार्य
समष्टि में कोज्या नियम
मीथेन अणु का कोण
हल किए गए प्रश्न
घन के दो विकर्णों के बीच का कोण
समांतर षट्फलक के विकर्ण
दो दिए गए सदिशों के लांबिक मात्रक सदिश
तीन केबलों के तनाव
परस्पर लंब सम्मुख किनारों वाले चतुष्फलक
प्रस्तावित प्रश्न
सबसे दूर का अर्धाक्ष
माध्यों के बीच एक असमिका
पार्श्व हवा में एक विमान
निर्देशांकों के बिना चतुष्फलकीय कोण
प्रसामान्य लांबिक आधार में प्रसार

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