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योगों का गुणनफलों में रूपांतरण और हरात्मक रूप

सारांश

यह पाठ योग और अंतर की ज्या और कोज्या के सूत्रों से वे सूत्र निगमित करता है जो ज्याओं और कोज्याओं के गुणनफलों को योगों में और, विलोमतः, योगों को गुणनफलों में बदलते हैं, और बाद वाले सूत्रों की व्याख्या मात्रक वृत्त में एक जीवा के मध्य बिंदु द्वारा करता है। यह सिद्ध करता है कि प्रत्येक व्यंजक asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x हरात्मक रूप Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi) में लिखा जा सकता है, जहाँ R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2} है और एक कोण φ\varphi है जो [0,2π)\ico{0}{2\pi} में अद्वितीय है; इससे यह उसका परिसर दो मार्गों से प्राप्त करता है, जिनमें से एक कॉशी-श्वार्ज़ असमिका है, और यह निष्कर्ष निकालता है कि समान आवृत्ति वाले दो दोलनों का अध्यारोपण एक अन्य दोलन है। यह विस्पंदों को एक धीमे दोलन और एक तीव्र दोलन के गुणनफल के रूप में समझाता है और, एक ऐसे गुणनखंड से गुणा करके जो योग को दूरदर्शी बना देता है, समांतर श्रेढ़ी में स्थित कोणों की ज्याओं और कोज्याओं के योगों को संवृत रूप में परिकलित करता है।

अधिगम उद्देश्य

  1. योग और अंतर के सूत्रों से गुणनफल से योग और योग से गुणनफल के सूत्र निगमित करना, और बाद वाले सूत्रों की व्याख्या मात्रक वृत्त में करना।
  2. प्रत्येक व्यंजक asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x को हरात्मक रूप में लिखना, उसके आयाम और उसके कोण के अस्तित्व और अद्वितीयता को सिद्ध करना, और उसका उपयोग परिसर, उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ ज्ञात करने में करना।
  3. समान आवृत्ति वाले दो दोलनों के अध्यारोपण को एक दोलन के रूप में पहचानना, और विस्पंदों का वर्णन उनके अन्वालोप द्वारा करना।
  4. दूरदर्शी योगों द्वारा समांतर श्रेढ़ी में ज्याओं और कोज्याओं के योग परिकलित करना, और इन रूपांतरणों को व्यंजकों के सरलीकरण और सर्वसमिकाओं की उपपत्ति में लागू करना।

गुणनफलों से योगों तक

योग और अंतर के सूत्रों वाले पाठ में, सभी वास्तविक संख्याओं α\alpha और β\beta के लिए, निम्नलिखित चार समताएँ सिद्ध की गई थीं:

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, \qquad \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β,cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, \qquad \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

प्रत्येक युग्म के दोनों सूत्रों में वही दो गुणनफल हैं, और वे केवल दूसरे गुणनफल के चिह्न में अलग हैं। यदि ऐसा है, तो उन्हें जोड़ने या घटाने पर एक गुणनफल कट जाता है और दूसरा दोगुना रह जाता है: एक ज्या या कोज्या का दूसरी ज्या या कोज्या से प्रत्येक गुणनफल ज्याओं या कोज्याओं के योग के आधे या अंतर के आधे के रूप में व्यक्त होता है। ये सूत्र, जिन्हें प्रोस्थाफेरेसिस (यूनानी से, “योग और व्यवकलन”) के सूत्र कहा जाता है, सोलहवीं शताब्दी के अंत के खगोलविदों के, जिनमें टाइको ब्राहे भी थे, काम आए, ताकि ज्याओं की सारणियाँ देखकर बहुत अंकों वाली संख्याओं के गुणन को योगों और व्यवकलनों में बदला जा सके, इससे पहले कि जॉन नेपियर 1614 में अपनी लघुगणक सारणियाँ प्रकाशित करते।

प्रमेयगुणनफल से योग

सभी वास्तविक संख्याओं α\alpha और β\beta के लिए, गुणनफल sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta, sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta) और sin⁡(α−β)\sin(\alpha - \beta) के योग का आधा है; गुणनफल cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta उन्हीं ज्याओं के अंतर का आधा है; गुणनफल cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta, cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta) और cos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta) के योग का आधा है, और गुणनफल sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta उनके अंतर का आधा है।

sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)),cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), \qquad \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)
cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)),sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right), \qquad \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)

प्रत्येक सूत्र एक युग्म के दोनों सूत्रों को जोड़ने या घटाने से प्राप्त होता है। आकृति इन्हें α=2x\alpha = 2x और β=x\beta = x के साथ दर्शाती है: मोटी रेखा में दिखाया गया गुणनफल आवृत्तियों 33 और 11 वाले दो दोलनों (पतली रेखा में) के योग के आधे या अंतर के आधे से संपाती है।

प्रमाण

  1. sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=2sin⁡αcos⁡β→sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{sc}{\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)}

    हम योग की ज्या और अंतर की ज्या के सूत्रों को जोड़ते हैं: पद cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta कट जाते हैं। 22 से भाग देने पर पहला सूत्र प्राप्त होता है।

  2. sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)=2cos⁡αsin⁡β→cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \sin \beta} \rightarrow \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)

    यदि उन्हें जोड़ने के स्थान पर घटाएँ, तो पद sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta कट जाते हैं।

  3. cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)=2cos⁡αcos⁡β→cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{cc}{\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right)}

    कोज्या के सूत्रों के साथ भी इसी प्रकार किया जाता है। उन्हें जोड़ने पर ज्याओं के गुणनफल कट जाते हैं।

  4. cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)=2sin⁡αsin⁡β→sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \sin \beta} \rightarrow \dato{ss}{\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)}

    अंतर की कोज्या के सूत्र में से योग की कोज्या का सूत्र घटाने पर कोज्याओं के गुणनफल कट जाते हैं।

  5. sin⁡αcos⁡α=12sin⁡(2α),cos⁡2α=12(1+cos⁡(2α)),sin⁡2α=12(1−cos⁡(2α))\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha), \quad \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(2\alpha) \right), \quad \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos(2\alpha) \right)

    β=α\beta = \alpha लेने पर, और चूँकि sin⁡0=0\sin 0 = 0 और cos⁡0=1\cos 0 = 1 हैं, ज्या का द्विगुण कोण सूत्र और योग और अंतर के सूत्रों वाले पाठ के घात-न्यूनीकरण सूत्र पुनः प्राप्त होते हैं। आकृति में, sin⁡2x\sin^2 x, आवर्तकाल π\pi के साथ 12\frac{1}{2} के आसपास दोलन करता है।

ये सूत्र ऐसे गुणनफलों को परिकलित करने देते हैं जो एक-एक गुणनखंड लेकर विशिष्ट मानों में नहीं बदलते। उदाहरण के लिए, α=5π12\alpha = \frac{5\pi}{12} और β=π12\beta = \frac{\pi}{12} के साथ, कोणों का योग π2\frac{\pi}{2} है और उनका अंतर π3\frac{\pi}{3} है:

cos⁡5π12cos⁡π12=12(cos⁡π3+cos⁡π2)=12(12+0)=14\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + 0 \right) = \frac{1}{4}

किंतु इन सूत्रों का मुख्य महत्त्व कुछ और है: दो दोलनों का गुणनफल, जिसकी कल्पना करना कठिन है, ऐसे दो दोलनों का अध्यारोपण है जिनकी आवृत्तियाँ गुणनखंडों की आवृत्तियों का योग और अंतर हैं। इस प्रकार, sin⁡(3x)cos⁡x=12(sin⁡(4x)+sin⁡(2x))\sin(3x) \cos x = \frac{1}{2} \left( \sin(4x) + \sin(2x) \right)।