महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य

महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य

विभाज्यता और शेषफल सहित विभाजन वाले पाठ में दो प्राकृत संख्याओं के बीच संबंध $d \mid a$ का अध्ययन किया गया। जब दो संख्याओं पर एक साथ विचार किया जाता है, तो उनके उभयनिष्ठ भाजक और उनके उभयनिष्ठ गुणज रुचिकर होते हैं। प्राकृत संख्याओं के प्रत्येक युग्म $a$ और $b$ का कम से कम एक उभयनिष्ठ भाजक होता है, संख्या $1$, और ऐसे भाजक अधिक से अधिक परिमित संख्या में होते हैं, क्योंकि $a$ का कोई भी भाजक $a$ से बड़ा नहीं होता; इसके अतिरिक्त, उनके अनंत उभयनिष्ठ गुणज होते हैं, जिनमें गुणनफल $ab$ भी है। यदि ऐसा है, तो निम्नलिखित परिभाषा सार्थक है।

परिभाषा (महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य)। दो प्राकृत संख्याओं $a$ और $b$ का महत्तम समापवर्तक, जिसे $\operatorname{HCF}(a, b)$ लिखा जाता है, वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या है जो दोनों को विभाजित करती है। लघुत्तम समापवर्त्य, जिसे $\operatorname{LCM}(a, b)$ लिखा जाता है, वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो दोनों का गुणज है।

दूसरा प्राकृत संख्याओं के एक अरिक्त समुच्चय का सबसे छोटा अवयव है, जिसका अस्तित्व सुक्रम सिद्धांत से है। पहला उभयनिष्ठ भाजकों के समुच्चय का सबसे बड़ा अवयव है, जो अरिक्त है और $a$ से परिबद्ध है; कि ऊपर से परिबद्ध प्राकृत संख्याओं के प्रत्येक अरिक्त समुच्चय में सबसे बड़ा अवयव होता है, यह भी सुक्रम से निकलता है: उसके उपरि परिबंधों का समुच्चय अरिक्त है और उसमें सबसे छोटा अवयव $M$ है, और $M$ उस समुच्चय का अवयव है, क्योंकि अन्यथा प्रत्येक अवयव $M$ से छोटा होता और, चूँकि $M - 1$ और $M$ के बीच कोई प्राकृत संख्या नहीं है, $M - 1$ से बड़ा नहीं होता, जो तब $M$ से छोटा एक उपरि परिबंध होता (यदि $M = 1$, तो समुच्चय $\{1\}$ है और उसमें $M$ है)। उदाहरण के लिए, $12$ और $18$ के उभयनिष्ठ भाजक $1$, $2$, $3$ और $6$ हैं, और उनके उभयनिष्ठ गुणज $36$, $72$, $108$ इत्यादि हैं:

परिभाषा से तुरंत कुछ विशेष स्थितियाँ निकलती हैं: $\operatorname{HCF}(a, 1) = 1$ और $\operatorname{LCM}(a, 1) = a$; $\operatorname{HCF}(a, a) = \operatorname{LCM}(a, a) = a$; और, यदि $a$, $b$ को विभाजित करता है, तो $\operatorname{HCF}(a, b) = a$ और $\operatorname{LCM}(a, b) = b$। इसके अतिरिक्त, दोनों संक्रियाएँ सममित हैं: संख्याओं का क्रम परिणाम को नहीं बदलता।

अभाज्य गुणनखंडन द्वारा गणना

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार, $1$ से बड़ी प्रत्येक प्राकृत संख्या का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है। $a$ और $b$ को एक ही अभाज्य संख्याओं $p_1, \ldots, p_k$ के रूप में लिखना सुविधाजनक है, और जो अभाज्य संख्याएँ उनमें से केवल एक में आती हैं उनके लिए शून्य घातांक स्वीकार किए जाते हैं:

एक प्राकृत संख्या $d$, $a$ को ठीक तब विभाजित करती है जब उसके गुणनखंडन में $a$ की अभाज्य संख्याओं के अलावा कोई अभाज्य संख्या न आए, और प्रत्येक का घातांक उस घातांक से बड़ा न हो जो उसका $a$ में है। इससे यह निकलता है कि $d$ एक साथ $a$ और $b$ को तब विभाजित करती है जब $d$ में प्रत्येक अभाज्य संख्या का घातांक दोनों घातांकों में से किसी से भी बड़ा न हो; अतः सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए दोनों घातांकों में से छोटा लेकर प्राप्त होता है। इसी प्रकार, $m$ उभयनिष्ठ गुणज है जब $m$ में प्रत्येक अभाज्य संख्या का घातांक दोनों घातांकों तक पहुँचता है, और सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए दोनों घातांकों में से बड़ा लेता है। उदाहरण के लिए:

यह विधि स्पष्ट है, परंतु यह गुणनखंडन कर पाने पर निर्भर है, और बड़ी संख्याओं का गुणनखंडन बहुत श्रमसाध्य है: इसे करने की कोई तीव्र विधि ज्ञात नहीं है। अगले अनुभाग की कलन-विधि गुणनखंडन के बिना, केवल भाग देकर, महत्तम समापवर्तक ज्ञात करती है।