आव्यूहों के रूप में सम्मिश्र संख्याएँ

किसी सम्मिश्र संख्या से गुणन का आव्यूह

बीजगणित और ज्यामिति I पाठ्यक्रम के सम्मिश्र संख्याओं वाले पाठ में प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $x + yi$ को समतल के बिंदु $(x, y)$ के साथ एकरूप माना गया, और सिद्ध किया गया कि $i$ से गुणा करना प्रत्येक बिंदु को मूल बिंदु के परितः चौथाई चक्कर घुमाता है। यदि ऐसा है, तो किसी नियत सम्मिश्र संख्या $z$ से गुणा करना समतल का एक रूपांतरण है, जो प्रत्येक बिंदु $w$ को बिंदु $zw$ सौंपता है। समतल के रूपांतरणों के रूप में आव्यूह वाले पाठ में सिद्ध किया गया कि एक रैखिक रूपांतरण एक आव्यूह से निर्धारित होता है, जिसके स्तंभ सदिशों $(1, 0)$ और $(0, 1)$ के प्रतिबिंब हैं। इससे वह प्रश्न निकलता है जो इस पाठ को दिशा देता है: $z$ से गुणन का आव्यूह कौन-सा है, और प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को उस आव्यूह से निरूपित करने से क्या मिलता है?

प्राप्त आव्यूह का रूप बहुत विशिष्ट है: उसके विकर्ण की दोनों प्रविष्टियाँ समान हैं, और बाकी दो परस्पर योज्य प्रतिलोम हैं। सम्मिश्र संख्या का आव्यूह $z = a + bi$ (जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक हैं) $z$ से गुणन के आव्यूह को कहते हैं:

$M(z)$ का पहला स्तंभ स्वयं $z$ है, और दूसरा $iz$ है। सम्मिश्र संख्या के दोनों भागों को अलग करने पर आव्यूह दो नियत आव्यूहों के एक रैखिक संयोजन में विघटित हो जाता है: तत्समक आव्यूह $I$, जो संख्या $1$ का आव्यूह है, और आव्यूह $J$, जो संख्या $i$ का आव्यूह है।

विशेष रूप से, वास्तविक संख्याएँ तत्समक के गुणजों $M(a) = aI$ के संगत हैं, जो मूल बिंदु पर केंद्र वाले केंद्रीय तनन हैं, और विशुद्ध काल्पनिक संख्याएँ $bi$, $J$ के गुणजों के संगत हैं। संगतता सारणी की पहली प्रविष्टियाँ नीचे दी गई हैं।