अवकलज के अनुप्रयोग: सारांश और चुनौतियाँ

सारांश

यह पाठ अवकलजों के अनुप्रयोगों वाली इकाई को और, उसके साथ, पाठ्यक्रम को समाप्त करता है। यह एक ही निगमनात्मक शृंखला में वह सब एकत्र करता है जो इकाई के नौ पाठों ने सिद्ध किया: वायरस्ट्रास की प्रमेय, जो बोलत्सानो प्रमेय की तरह पूर्णता अभिगृहीत से प्राप्त होती है, और फ़र्मा प्रमेय, जो किसी बिंदु पर अवकलज के चिह्न से प्राप्त होती है, मिलकर रोल प्रमेय देती हैं; इससे लाग्रांज और कॉशी की माध्यमान प्रमेय निकलती हैं, और उनसे लोपिताल नियम, अवकलज के चिह्न से एकदिष्टता, चरम मानों के परीक्षण, ऊपर की ओर अवतलता, इष्टतमीकरण और न्यूटन-रैफ़सन विधि की त्रुटि का परिबंध। यह समझाता है कि इकाई किस प्रकार पूर्ववर्ती दो इकाइयों पर और बीजगणित और ज्यामिति पर टिकी है, और आगामी पाठ्यक्रम के लिए क्या छोड़ती है: समाकल, अनुक्रम और श्रेणियाँ, और टेलर बहुपद। यह एक समापन मूल्यांकन के साथ समाप्त होता है, जो प्रवेश मूल्यांकन के समांतर है, और दस चुनौतियों के साथ, जो पाठों की समस्याओं से कठिन हैं और जिनमें से प्रत्येक उनमें से कई पाठों के और पूर्ववर्ती इकाइयों के परिणामों को जोड़ती है।

अधिगम उद्देश्य

इकाई की मुख्य प्रमेयों को तार्किक क्रम में प्रस्तुत करना, यह बताते हुए कि प्रत्येक किन पूर्ववर्ती परिणामों पर निर्भर है और किन प्रमाणों में वायरस्ट्रास की प्रमेय, माध्यमान प्रमेय और अवकलज के चिह्न से एकदिष्टता का पुनः उपयोग होता है।
यह भेद करना कि इकाई क्या स्वीकार करती है और क्या सिद्ध करती है, प्रत्येक परिणाम की परिकल्पनाओं को पहचानना और यह दिखाना कि पूर्णता अभिगृहीत कहाँ काम में आता है।
इकाई के परिणामों को सीमाओं और अवकलजों वाली इकाइयों से, बीजगणित और ज्यामिति से और उससे जोड़ना जिसका अध्ययन कलन II करता है।
ऐसी गैर-नैत्यक समस्याएँ हल करना जो चरम मानों के अस्तित्व, माध्यमान प्रमेय, लोपिताल नियम, एकदिष्टता, ऊपर की ओर अवतलता, वक्रता, इष्टतमीकरण और न्यूटन-रैफ़सन विधि को जोड़ती हैं।

इकाई की उपलब्धियाँ

पूर्ववर्ती दो इकाइयों ने एक बिंदु पर काम किया: एक बिंदु पर सीमा, एक बिंदु पर सांतत्य, एक बिंदु पर अवकलज। इस इकाई ने बिंदुशः से वैश्विक की ओर संक्रमण किया, और सेतु पूर्णता अभिगृहीत था। वायरस्ट्रास की प्रमेय, जो बोलत्सानो प्रमेय की तरह सुप्रीमम द्वारा सिद्ध की गई, यह सुनिश्चित करती है कि संवृत और परिबद्ध अंतराल पर संतत फलन अपना उच्चिष्ठ और अपना निम्निष्ठ प्राप्त करता है; फ़र्मा प्रमेय, जो किसी बिंदु पर अवकलज के चिह्न से निकलती है, बताती है कि आंतरिक चरम मान कहाँ हो सकते हैं; और दोनों मिलकर रोल प्रमेय देती हैं, जिससे दोनों माध्यमान प्रमेय निकलती हैं। लाग्रांज की प्रमेय इस प्रकार लिखी जाती है:

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a), \qquad c \in \ioo{a}{b}

यह समता किसी अंतराल के सभी बिंदुओं पर अवकलज के बारे में एक जानकारी को फलन के मानों के बारे में एक जानकारी में बदल देती है, और इकाई का लगभग शेष सब कुछ उसी की एक व्याख्या है: एकदिष्टता, चरम मानों के परीक्षण, ऊपर की ओर अवतलता, लोपिताल नियम, कॉशी वाले रूप के द्वारा, और न्यूटन-रैफ़सन विधि की त्रुटि का परिबंध। प्रमाण युक्ति को दोबारा गढ़ने के बजाय इन प्रमेयों का हवाला देते हैं।

अस्तित्व और माध्यमान प्रमेय

वायरस्ट्रास की प्रमेय वाले पाठ ने पहले परिबद्धता प्रमेय सिद्ध की, उन बिंदुओं का सुप्रीमम लेकर जहाँ तक फलन परिबद्ध है और सांतत्य से मिलने वाली स्थानीय परिबद्धता के सहारे उससे आगे बढ़कर; फिर यह कि मानों का सुप्रीमम प्राप्त होता है, क्योंकि यदि वह प्राप्त न होता, तो मानों की उससे दूरी का व्युत्क्रम संतत और अपरिबद्ध होता। प्रत्युदाहरणों से उसने दिखाया कि कोई भी परिकल्पना अनावश्यक नहीं है (एक विवृत अंतराल, एक अपरिबद्ध अंतराल, एक असंतत फलन और परिमेय संख्याएँ, जहाँ पूर्णता का अभाव है), मध्यवर्ती मान प्रमेय से यह निष्कर्ष निकाला कि संवृत और परिबद्ध अंतराल का प्रतिबिंब उसी प्रकार का एक अन्य अंतराल है, और यह कि जो फलन किसी अंतराल के अंत्य बिंदुओं पर समान मान लेता है वह उसके भीतर कोई चरम मान प्राप्त करता है। फ़र्मा, रोल, लाग्रांज और कॉशी के प्रमेय वाले पाठ ने स्थानीय चरम मानों को परिमाणित कथनों के रूप में परिभाषित किया, किसी बिंदु पर अवकलज के चिह्न से सिद्ध किया कि किसी आंतरिक स्थानीय चरम पर अवकलज शून्य होता है, और रोल प्रमेय, लाग्रांज की माध्यमान प्रमेय और कॉशी की माध्यमान प्रमेय को एक के बाद एक जोड़ा, उनकी परिकल्पनाओं की आवश्यकता दिखाते हुए। उसके उपप्रमेय पहले वैश्विक निष्कर्ष थे: किसी अंतराल पर शून्य अवकलज वाला फलन अचर होता है, समान अवकलज वाले दो फलनों का अंतर एक अचर होता है, अवकलज का परिबंध वृद्धियों को परिबद्ध करता है, किसी फलन के दो मूलों के बीच उसके अवकलज का एक मूल होता है, और अवकलज की सीमा, यदि विद्यमान हो, अवकलज ही है। लोपिताल नियम वाले पाठ ने उसे कॉशी की प्रमेय से सिद्ध किया, $\frac{0}{0}$ रूप के लिए और, अधिक सावधानी से, $\frac{\infty}{\infty}$ रूप के लिए, किसी बिंदु के एक पक्ष पर, बिंदु पर और अनंत पर; $0 \cdot \infty$ , $\infty - \infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ और $\infty^0$ रूपों को उन्हीं तक पहुँचाया, दिखाया कि जब अवकलजों के भागफल की कोई सीमा नहीं होती तब नियम निर्णय नहीं करता, चेताया कि वह उन सीमाओं के लिए उपयोगी नहीं है जिनसे अवकलज निकाले गए थे, और उससे किसी बिंदु पर शून्य अवकलजों का उपप्रमेय प्राप्त किया, जो किसी फलन की वृद्धि की तुलना $x - a$ की एक घात से करता है।

एकदिष्टता, चरम मान और आलेख का आकार

एकदिष्टता वाले पाठ ने माध्यमान प्रमेय से सिद्ध किया कि किसी अंतराल पर अऋणात्मक अवकलज वर्धमान फलन देता है, और धनात्मक अवकलज दृढ़तः वर्धमान फलन, और अऋणात्मक अवकलज के साथ दृढ़ एकदिष्टता का अभिलक्षण दिया: अवकलज किसी पूरे अंतराल पर शून्य नहीं होना चाहिए। इस प्रकार अवकलजों वाली इकाई के वचन पूरे हुए, जैसे यह कि किसी अंतराल पर धनात्मक अवकलज इसके लिए पर्याप्त है कि प्रतिलोम विद्यमान हो और अवकलनीय हो। उसने क्रांतिक बिंदुओं को परिभाषित किया, प्रथम अवकलज परीक्षण और डार्बू प्रमेय सिद्ध की, जिसके अनुसार अवकलज सभी मध्यवर्ती मान लेता है भले ही वह संतत न हो, जिससे उसमें कूद वाले असांतत्य नहीं होते, और यह निष्कर्ष निकाला कि किसी अंतराल पर शून्य-रहित अवकलज चिह्न नहीं बदलता। उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ वाले पाठ ने निरपेक्ष और दृढ़ चरम मानों को परिभाषित किया; द्वितीय अवकलज परीक्षण सिद्ध किया और, लोपिताल नियम से तथा टेलर बहुपद के बिना, उच्च कोटि अवकलज परीक्षण, जो शून्येतर अवकलज वाली पहली कोटि के सम या विषम होने से निर्णय करता है; और निरपेक्ष चरम मानों को संवृत और परिबद्ध अंतराल पर अंतराल के अंत्य बिंदुओं और क्रांतिक बिंदुओं के बीच खोजा, और विवृत या अपरिबद्ध अंतराल पर अंत्य बिंदुओं पर सीमाओं से और एकदिष्टता से, जो यह भी देती है कि एकमात्र क्रांतिक बिंदु पर स्थानीय चरम निरपेक्ष होता है। अवतलता और उत्तलता वाले पाठ ने ऊपर की ओर अवतलता को अपनी जीवाओं के सापेक्ष आलेख की स्थिति से परिभाषित किया, इकाई की परिपाटी के साथ (ऊपर की ओर अवतल, अपनी जीवाओं के नीचे), और सिद्ध किया कि अवकलनीय फलन के लिए ऊपर की ओर अवतल होना वर्धमान अवकलज होने के तुल्य है और इसके भी कि आलेख अपनी स्पर्श रेखाओं के ऊपर रहे, और दो बार अवकलनीय फलन के लिए इसके कि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक न हो; उसने नति परिवर्तन बिंदुओं को परिभाषित किया, द्वितीय अवकलज के चिह्न परिवर्तन से या तृतीय अवकलज से उनका निर्णय किया, $x^4$ से दिखाया कि शून्य द्वितीय अवकलज पर्याप्त नहीं है, और येन्सेन असमिका तथा गुणोत्तर और समांतर माध्यों की असमिका प्राप्त की। वक्रता वाले पाठ ने आश्लेषी वृत्त को उस वृत्त के रूप में परिभाषित किया जिसका उस बिंदु पर मान, अवकलज और द्वितीय अवकलज फलन के समान हैं; अस्पष्ट अवकलन से सिद्ध किया कि जब द्वितीय अवकलज शून्य नहीं होता तब वह विद्यमान और अद्वितीय है, त्रिज्या $\rho = \frac{\left(1 + f'(a)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{f''(a)}}$ के साथ और केंद्र अभिलंब पर, उस ओर जिधर आलेख मुड़ता है, और दिखाया कि वह केंद्र निकटवर्ती अभिलंबों के कटान बिंदुओं की सीमा है।

इष्टतमीकरण और सन्निकटन

इष्टतमीकरण की समस्याएँ वाले पाठ ने पाँच सोपानों की एक विधि निर्धारित की (चर, फलन, प्रांत, अपने औचित्य सहित निरपेक्ष चरम, और निष्कर्ष), जिसका निर्णायक बिंदु यह सिद्ध करना है कि प्राप्त चरम निरपेक्ष है: यदि प्रांत संवृत और परिबद्ध हो तो वायरस्ट्रास की प्रमेय से, और अन्यथा अवकलज के चिह्न, ऊपर की ओर अवतलता या अंत्य बिंदुओं पर सीमाओं से। उसने सिद्ध किया कि कोई फलन और किसी दृढ़तः वर्धमान फलन के साथ उसका संघटन अपने चरम मान उन्हीं बिंदुओं पर प्राप्त करते हैं, कि किसी दिए गए बिंदु के निकटतम आलेख का बिंदु विद्यमान है और एक अभिलंब पर स्थित है, और न्यूनतम समय से अपवर्तन और परावर्तन के नियम निकाले। न्यूटन-रैफ़सन विधि वाले पाठ ने किसी मूल का सन्निकटन करने के लिए आलेख के स्थान पर उसकी स्पर्श रेखा रखी; पुनरावृत्तियों को प्राकृत संख्याओं पर परिभाषित फलन के रूप में देखा, अनंत पर सीमा की परिभाषा के साथ और अनुक्रमों के सिद्धांत के बिना; ऊपर की ओर अवतलता और पुनरावृत्तियों के महत्तम निम्न परिबंध से सिद्ध किया कि उपयुक्त पक्ष से वे मूल को पार किए बिना उसके निकट आती हैं और उसकी ओर अभिसरित होती हैं, और गलत पक्ष से पहली पुनरावृत्ति उपयुक्त पक्ष पर पहुँचा देती है; माध्यमान प्रमेय से त्रुटि को परिबद्ध किया, विधि की विफलताएँ दिखाईं (शून्य अवकलज, एक चक्र, पलायन करती पुनरावृत्तियाँ) और उसकी तुलना द्विभाजन से की, जो हर द्विभाजन पर एक द्विआधारी अंक प्राप्त करता है, जबकि न्यूटन-रैफ़सन विधि, किसी सरल मूल के निकट, उदाहरणों में सही अंकों की संख्या को दोगुना कर देती है।

क्या स्वीकार किया जाता है, क्या सिद्ध किया जाता है और क्या शेष रहता है

इकाई का लेखा-जोखा इस प्रकार संक्षेप में कहा जा सकता है:

स्वीकार किए जाते हैं: पूर्णता अभिगृहीत, जिसका इकाई सीधे परिबद्धता प्रमेय में, वायरस्ट्रास की प्रमेय में और न्यूटन-रैफ़सन पुनरावृत्तियों के अभिसरण में उपयोग करती है; सीमाओं और अवकलजों वाली इकाइयों की प्रमेय, विशेष रूप से बोलत्सानो प्रमेय, चिह्न का संरक्षण, अवकलज की स्थानीय प्रकृति और किसी बिंदु पर अवकलज का चिह्न; और बीजगणित और ज्यामिति के परिणाम, जैसे त्रिकोणमितीय सूत्र, असमिका $\sin x < x < \tan x$ और घातांकों तथा लघुगणकों के नियम।
वे तथ्य सिद्ध किए जाते हैं जिनकी घोषणा अवकलजों वाली इकाई ने उन्हें सिद्ध कर पाए बिना की थी: कि किसी अंतराल पर धनात्मक अवकलज वर्धमान फलन देता है, कि किसी अंतराल पर शून्य अवकलज वाला फलन अचर होता है और कि अवकल द्वारा सन्निकटन की त्रुटि परिबद्ध की जा सकती है; और स्पर्श रेखा मूलों का सन्निकटन करने, आलेख की तुलना स्वयं उसी से करने और यह मापने का उपकरण बन जाती है कि वह कितना मुड़ता है।
युक्तियों को दोहराने के बजाय तीन उपकरणों का पुनः उपयोग किया जाता है: वायरस्ट्रास की प्रमेय, जो चरम मान देती है; माध्यमान प्रमेय, जो अवकलज के चिह्न को मानों के बारे में जानकारी में बदलती है; और अवकलज के चिह्न से एकदिष्टता, जिस पर चरम मानों के परीक्षण और ऊपर की ओर अवतलता टिके हैं।
कलन II के लिए वह शेष रहता है जो अवकलज से अधिक की माँग करता है: समाकल, चाप की लंबाई, जिसके साथ वक्रता को उस चाल के रूप में पढ़ा जाता है जिससे स्पर्श रेखा घूमती है, एकसमान सांतत्य, अनुक्रम और श्रेणियाँ, और टेलर बहुपद; और कलन III के लिए, अनेक चरों के फलनों के चरम मान और प्राचलिक वक्रों की वक्रता।

निम्नलिखित आरेख तीनों खंडों को एक ही शृंखला में जोड़ता है। स्तंभ की हर गाँठ एक परिभाषा या प्रमेय है, तार्किक क्रम में क्रमांकित, और एक चाप द्वारा उन पूर्ववर्ती कड़ियों से जुड़ी है जिनका उसका प्रमाण प्रयोग करता है; उसके चारों ओर आधार तैरते हैं, अर्थात् वे सिद्धांत और उपकरण जिन पर शृंखला बार-बार लौटती है, और प्रत्येक एक ठोस रेखा द्वारा उन कड़ियों से जुड़ा है जो उस पर टिकी हैं और एक बिंदुदार रेखा द्वारा उस कड़ी से जहाँ वह स्थापित होता है, सिवाय उनके जो पूर्ववर्ती इकाइयों से या बीजगणित और ज्यामिति से आते हैं, जिन्हें वलयों के रूप में खींचा गया है। किसी आधार पर क्लिक करने से वे सभी कड़ियाँ उभर आती हैं जो उसका प्रयोग करती हैं, और हर कड़ी उस पाठ की ओर ले जाती है जहाँ वह सिद्ध की गई है।

शृंखला के आधार

Aपूर्णता अभिगृहीत. बीजगणित और ज्यामिति I से यह स्वीकार किया जाता है कि वास्तविक संख्याएँ एक पूर्ण क्रमित क्षेत्र बनाती हैं: वास्तविक संख्याओं के हर अरिक्त, ऊपर से परिबद्ध समुच्चय का सुप्रीमम होता है, और हर अरिक्त, नीचे से परिबद्ध समुच्चय का महत्तम निम्न परिबंध होता है। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Bइकाई 1 की विरासत. सीमाओं और सांतत्य वाली इकाई में सिद्ध परिणाम: सीमाओं का बीजगणित; एकपक्षीय सीमाएँ, अनंत पर सीमाएँ और अनंत सीमाएँ; असमिकाओं का संरक्षण; संक्रियाओं और संघटन का सांतत्य; सीमाओं के लिए और संतत फलनों के लिए स्थानीय परिबद्धता और चिह्न का संरक्षण; और महत्वपूर्ण सीमाएँ। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Cइकाई 2 की विरासत. अवकलजों वाली इकाई में सिद्ध परिणाम: अवकलज की परिभाषा और एकपक्षीय अवकलज, यह कि अवकलनीयता से सांतत्य निकलता है, अवकलज की स्थानीय प्रकृति, अवकलन के नियम और शृंखला नियम, प्रारंभिक फलनों के अवकलज, प्रतिलोम फलन का अवकलज और अस्पष्ट अवकलन, और उच्च कोटि के अवकलज। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Dमध्यवर्ती मान. अवकलजों वाली इकाई में सुप्रीमम द्वारा सिद्ध: यदि $f$ , $\icc{a}{b}$ पर संतत है और $f(a)$ तथा $f(b)$ के चिह्न विपरीत हैं, तो $f$ , $\ioo{a}{b}$ के किसी बिंदु पर शून्य होता है, जो बोलत्सानो प्रमेय है; और किसी संतत फलन के अंतर्गत किसी अंतराल का प्रतिबिंब एक अंतराल होता है। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Eकिसी बिंदु पर अवकलज का चिह्न. अवकलजों वाली इकाई में सिद्ध: यदि $f$ किसी विवृत अंतराल पर परिभाषित है और $f'(a) > 0$ , तो कोई $\delta > 0$ विद्यमान है ऐसा कि $f(x) < f(a)$ जब $a - \delta < x < a$ , और $f(x) > f(a)$ जब $a < x < a + \delta$ ; इससे यह नहीं निकलता कि $f$ , $a$ के निकट वर्धमान है। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Fप्राप्त चरम मान. संवृत और परिबद्ध अंतराल पर संतत फलन उस पर अपना उच्चिष्ठ और अपना निम्निष्ठ प्राप्त करता है: वह उपकरण जो चरम मानों को और आगे की प्रमेयों के मध्यवर्ती बिंदुओं को अस्तित्व देता है। स्थापित होता है: 2. वायरस्ट्रास की प्रमेय.
Gमाध्यमान. यदि $f$ , $\icc{a}{b}$ पर संतत है और $\ioo{a}{b}$ के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है, तो कोई $c$ , $\ioo{a}{b}$ में, विद्यमान है जिसके लिए $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ : सभी बिंदुओं पर अवकलज के बारे में एक जानकारी मानों के बारे में एक जानकारी में बदल जाती है। स्थापित होता है: 7. लाग्रांज की माध्यमान प्रमेय.
Hअवकलज द्वारा एकदिष्टता. किसी अंतराल पर अऋणात्मक अवकलज वर्धमान फलन देता है, और धनात्मक अवकलज दृढ़तः वर्धमान फलन: वह उपकरण जिससे चरम मानों और ऊपर की ओर अवतलता का निर्णय किया जाता है। स्थापित होता है: 12. अवकलज के चिह्न से एकदिष्टता.

खंड 1 अस्तित्व और माध्यमान प्रमेय
- सुप्रीमम द्वारा सिद्ध करना कि संवृत और परिबद्ध अंतराल पर संतत फलन परिबद्ध है और अपना उच्चिष्ठ और अपना निम्निष्ठ प्राप्त करता है, और दिखाना कि कोई भी परिकल्पना अनावश्यक नहीं है।
- फ़र्मा प्रमेय से आंतरिक स्थानीय चरम मानों का स्थान निर्धारित करना और उससे तथा वायरस्ट्रास की प्रमेय से रोल, लाग्रांज और कॉशी की प्रमेय निकालना।
- माध्यमान प्रमेय से यह प्राप्त करना कि शून्य अवकलज अचर फलन देता है, वृद्धियों को परिबद्ध करना और मूलों की गिनती करना।
- कॉशी की प्रमेय से लोपिताल नियम सिद्ध करना, अन्य अनिर्धार्य रूपों को उस तक पहुँचाना और उसका उपयोग उन सीमाओं के लिए न करना जिनसे अवकलज निकाले गए थे।
1. परिबद्धता प्रमेय. यदि $f$ किसी संवृत और परिबद्ध अंतराल $\icc{a}{b}$ पर संतत है, तो कोई संख्या $K$ विद्यमान है ऐसी कि $\abs{f(x)} \leq K$ , प्रत्येक $x$ के लिए जो $\icc{a}{b}$ में है।
  आधार: A (पूर्णता अभिगृहीत), B (इकाई 1 की विरासत). सिद्ध किया गया: वायरस्ट्रास का चरम मान प्रमेय.
2. वायरस्ट्रास की प्रमेय. यदि $f$ किसी संवृत और परिबद्ध अंतराल $\icc{a}{b}$ पर संतत है, तो $x_1$ और $x_2$ , $\icc{a}{b}$ में, विद्यमान हैं ऐसे कि $f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2)$ , प्रत्येक $x$ के लिए जो $\icc{a}{b}$ में है; परिकल्पनाओं में से कोई भी छोड़ी नहीं जा सकती।
  उपयोग करती है: 1. परिबद्धता प्रमेय. आधार: A (पूर्णता अभिगृहीत), B (इकाई 1 की विरासत). सिद्ध किया गया: वायरस्ट्रास का चरम मान प्रमेय.
3. संवृत और परिबद्ध अंतराल का प्रतिबिंब. यदि $f$ , $\icc{a}{b}$ पर संतत है, और $m$ तथा $M$ उस पर उसके निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ मान हैं, तो $\icc{a}{b}$ का प्रतिबिंब अंतराल $\icc{m}{M}$ है।
  उपयोग करती है: 2. वायरस्ट्रास की प्रमेय. आधार: F (प्राप्त चरम मान), D (मध्यवर्ती मान). सिद्ध किया गया: वायरस्ट्रास का चरम मान प्रमेय.
4. अंतः बिंदु पर चरम मान. यदि $f$ , $\icc{a}{b}$ पर संतत है, जहाँ $a < b$ और $f(a) = f(b)$ , तो वह $\ioo{a}{b}$ के किसी बिंदु पर अपना उच्चिष्ठ या अपना निम्निष्ठ प्राप्त करता है।
  उपयोग करती है: 2. वायरस्ट्रास की प्रमेय. आधार: F (प्राप्त चरम मान). सिद्ध किया गया: वायरस्ट्रास का चरम मान प्रमेय.
5. फ़र्मा प्रमेय. यदि $f$ , जो $A$ पर परिभाषित है, किसी बिंदु $a$ पर, जो $A$ का आंतरिक बिंदु है, स्थानीय चरम प्राप्त करता है, अर्थात् यदि कोई $\delta > 0$ विद्यमान है ऐसा कि $f(x) \leq f(a)$ , उन सभी $x$ के लिए जो $A$ में हैं और जिनके लिए $\abs{x - a} < \delta$ , या उन सभी के लिए $f(a) \leq f(x)$ , और $f$ , $a$ पर अवकलनीय है, तो $f'(a) = 0$ ।
  आधार: E (किसी बिंदु पर अवकलज का चिह्न), C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: फ़र्मा, रोल, लाग्रांज और कॉशी के प्रमेय.
6. रोल प्रमेय. यदि $f$ , $\icc{a}{b}$ पर संतत है, जहाँ $a < b$ , $\ioo{a}{b}$ के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है और $f(a) = f(b)$ , तो कोई $c$ , $\ioo{a}{b}$ में, विद्यमान है जिसके लिए $f'(c) = 0$ ।
  उपयोग करती है: 4. अंतः बिंदु पर चरम मान, 5. फ़र्मा प्रमेय. आधार: F (प्राप्त चरम मान), C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: फ़र्मा, रोल, लाग्रांज और कॉशी के प्रमेय.
7. लाग्रांज की माध्यमान प्रमेय. यदि $f$ , $\icc{a}{b}$ पर संतत है, जहाँ $a < b$ , और $\ioo{a}{b}$ के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है, तो कोई $c$ , $\ioo{a}{b}$ में, विद्यमान है जिसके लिए $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ : कोई स्पर्श रेखा जीवा के समांतर होती है।
  उपयोग करती है: 6. रोल प्रमेय. आधार: B (इकाई 1 की विरासत), C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: फ़र्मा, रोल, लाग्रांज और कॉशी के प्रमेय.
8. कॉशी की माध्यमान प्रमेय. यदि $f$ और $g$ , $\icc{a}{b}$ पर संतत हैं, जहाँ $a < b$ , और $\ioo{a}{b}$ के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय हैं, तो कोई $c$ , $\ioo{a}{b}$ में, विद्यमान है जिसके लिए $\left(f(b) - f(a)\right) g'(c) = \left(g(b) - g(a)\right) f'(c)$ ; यदि इसके अतिरिक्त $g'$ , $\ioo{a}{b}$ पर शून्य नहीं होता, तो $g(b) \neq g(a)$ और $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$ ।
  उपयोग करती है: 6. रोल प्रमेय. आधार: B (इकाई 1 की विरासत), C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: फ़र्मा, रोल, लाग्रांज और कॉशी के प्रमेय.
9. माध्यमान के परिणाम. मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर संतत है और प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर अवकलनीय है। यदि $f'$ उन पर शून्य होता है, तो $f$ अचर है; समान अवकलज वाले दो फलनों का अंतर एक अचर होता है; यदि उन पर $\abs{f'(x)} \leq K$ , तो $\abs{f(x) - f(y)} \leq K \abs{x - y}$ , सभी $x$ , $y$ के लिए जो $I$ में हैं; और यदि $f$ , $I$ पर अवकलनीय है और उसमें उसके $n \geq 2$ अलग-अलग मूल हैं, तो $f'$ के कम से कम $n - 1$ मूल हैं।
  उपयोग करती है: 6. रोल प्रमेय, 7. लाग्रांज की माध्यमान प्रमेय. आधार: G (माध्यमान), C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: फ़र्मा, रोल, लाग्रांज और कॉशी के प्रमेय.
10. लोपिताल नियम. यदि $f$ और $g$ , $\ioo{a}{b}$ पर अवकलनीय हैं, जहाँ उस पर $g'(x) \neq 0$ , यदि $f(x)$ और $g(x)$ , $0$ की ओर अग्रसर होते हैं, या $g(x)$ , $\infty$ या $-\infty$ की ओर अग्रसर होता है, जब $x \to a^+$ , और यदि $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ , $L$ की ओर, जो वास्तविक हो, या $\infty$ या $-\infty$ की ओर अग्रसर होता है, तो $\frac{f(x)}{g(x)}$ , $L$ की ओर अग्रसर होता है; यही बात बाईं ओर से, किसी बिंदु के दोनों पक्षों पर और अनंत पर भी लागू होती है।
  उपयोग करती है: 8. कॉशी की माध्यमान प्रमेय. आधार: B (इकाई 1 की विरासत), C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: लोपिताल नियम.
11. किसी बिंदु पर शून्य अवकलज. मान लीजिए $n \geq 2$ एक प्राकृत संख्या है, $I$ एक विवृत अंतराल, $a$ , $I$ का एक बिंदु और $f$ एक फलन, जो $n - 1$ बार अवकलनीय है ( $I$ पर) और $n$ बार अवकलनीय है ( $a$ पर), जहाँ $f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0$ । तब $\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^n}$ , $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ की ओर अग्रसर होता है जब $x \to a$ ।
  उपयोग करती है: 10. लोपिताल नियम. आधार: C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: लोपिताल नियम.
खंड 2 एकदिष्टता, चरम मान और आलेख का आकार
- अवकलज के चिह्न से एकदिष्टता का निर्णय करना, दृढ़ एकदिष्टता का अभिलक्षण देना और डार्बू प्रमेय सिद्ध करना।
- प्रथम और द्वितीय अवकलज के परीक्षणों और उच्च कोटि अवकलज परीक्षण से क्रांतिक बिंदुओं का वर्गीकरण करना, और संवृत, विवृत या अपरिबद्ध अंतरालों पर निरपेक्ष चरम मान ज्ञात करना।
- जीवाओं, वर्धमान अवकलज, स्पर्श रेखाओं और द्वितीय अवकलज द्वारा ऊपर की ओर अवतलता का अभिलक्षण देना, और नति परिवर्तन बिंदुओं को पहचानना।
- आश्लेषी वृत्त द्वारा किसी आलेख की वक्रता मापना।
1. अवकलज के चिह्न से एकदिष्टता. मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर संतत है और प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर अवकलनीय है। यदि उन पर $f'(x) \geq 0$ , तो $f$ , $I$ पर वर्धमान है, और यदि $f'(x) > 0$ , तो दृढ़तः वर्धमान; $f'(x) \leq 0$ या $f'(x) < 0$ के साथ, ह्रासमान या दृढ़तः ह्रासमान। विलोमतः, यदि $f$ , $I$ पर वर्धमान है और किसी आंतरिक बिंदु $a$ पर अवकलनीय है, तो $f'(a) \geq 0$ ।
  उपयोग करती है: 7. लाग्रांज की माध्यमान प्रमेय. आधार: E (किसी बिंदु पर अवकलज का चिह्न), G (माध्यमान), C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: एकदिष्टता और प्रथम अवकलज परीक्षण.
2. अऋणात्मक अवकलज के साथ दृढ़ एकदिष्टता. यदि $f$ किसी अंतराल $I$ पर संतत है और प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर $f'(x) \geq 0$ , तो $f$ , $I$ पर दृढ़तः वर्धमान है यदि और केवल यदि $f'$ किसी भी अंतराल $\ioo{p}{q}$ के सभी बिंदुओं पर शून्य नहीं होता जो $I$ में समाहित है; विशेष रूप से, यदि वह केवल परिमित संख्या में बिंदुओं पर शून्य होता है।
  उपयोग करती है: 9. माध्यमान के परिणाम, 12. अवकलज के चिह्न से एकदिष्टता. आधार: H (अवकलज द्वारा एकदिष्टता), C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: एकदिष्टता और प्रथम अवकलज परीक्षण.
3. प्रथम अवकलज परीक्षण. यदि $f$ , $\ioo{a - r}{a + r}$ पर संतत है और $a$ को छोड़कर प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है, जहाँ $f'(x) \geq 0$ , $a$ के बाईं ओर और $f'(x) \leq 0$ दाईं ओर, तो वह $a$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ प्राप्त करता है, जो दृढ़ होता है यदि असमिकाएँ दृढ़ हों; असमिकाएँ उलटने पर, स्थानीय निम्निष्ठ; और यदि $f'(x)$ दोनों पक्षों पर धनात्मक हो, या दोनों पक्षों पर ऋणात्मक, तो $a$ पर कोई चरम नहीं होता।
  उपयोग करती है: 12. अवकलज के चिह्न से एकदिष्टता. आधार: H (अवकलज द्वारा एकदिष्टता). सिद्ध किया गया: एकदिष्टता और प्रथम अवकलज परीक्षण.
4. डार्बू प्रमेय. यदि $f$ किसी विवृत अंतराल $I$ पर अवकलनीय है और $a < b$ ऐसे बिंदु हैं जो $I$ में हैं, तो $f'$ , $\ioo{a}{b}$ में हर वह मान लेता है जो दृढ़तः $f'(a)$ और $f'(b)$ के बीच स्थित है; फलस्वरूप, $f'$ के $I$ पर न तो हटाने योग्य असांतत्य होते हैं न कूद वाले।
  उपयोग करती है: 2. वायरस्ट्रास की प्रमेय, 5. फ़र्मा प्रमेय. आधार: E (किसी बिंदु पर अवकलज का चिह्न), F (प्राप्त चरम मान), B (इकाई 1 की विरासत), C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: एकदिष्टता और प्रथम अवकलज परीक्षण.
5. शून्य-रहित अवकलज. यदि $f$ किसी अंतराल $I$ पर, जिसमें एक से अधिक बिंदु हों, संतत है और प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर अवकलनीय है, जहाँ प्रत्येक पर $f'(x) \neq 0$ , तो $f'$ का उन सभी पर एक ही चिह्न होता है और $f$ , $I$ पर दृढ़तः एकदिष्ट है।
  उपयोग करती है: 12. अवकलज के चिह्न से एकदिष्टता, 15. डार्बू प्रमेय. आधार: H (अवकलज द्वारा एकदिष्टता). सिद्ध किया गया: एकदिष्टता और प्रथम अवकलज परीक्षण.
6. द्वितीय अवकलज परीक्षण. यदि $f$ किसी विवृत अंतराल $I$ पर अवकलनीय है और किसी बिंदु $a$ पर, जो $I$ में है, दो बार अवकलनीय है, जहाँ $f'(a) = 0$ , तो वह $a$ पर दृढ़ स्थानीय निम्निष्ठ प्राप्त करता है यदि $f''(a) > 0$ , और दृढ़ स्थानीय उच्चिष्ठ यदि $f''(a) < 0$ ।
  उपयोग करती है: 14. प्रथम अवकलज परीक्षण. आधार: E (किसी बिंदु पर अवकलज का चिह्न), C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: किसी फलन के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ.
7. उच्च कोटि अवकलज परीक्षण. यदि $f$ , $n - 1$ बार अवकलनीय है (किसी विवृत अंतराल $I$ पर) और $n$ बार अवकलनीय है (किसी बिंदु $a$ पर, जो $I$ में है), जहाँ $n \geq 2$ , $f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0$ और $f^{(n)}(a) \neq 0$ , तो, यदि $n$ सम है, $f$ , $a$ पर दृढ़ स्थानीय निम्निष्ठ प्राप्त करता है यदि $f^{(n)}(a) > 0$ , और दृढ़ स्थानीय उच्चिष्ठ यदि $f^{(n)}(a) < 0$ ; और यदि $n$ विषम है, तो वह $a$ पर कोई स्थानीय चरम प्राप्त नहीं करता।
  उपयोग करती है: 11. किसी बिंदु पर शून्य अवकलज. आधार: B (इकाई 1 की विरासत). सिद्ध किया गया: किसी फलन के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ.
8. अंतराल पर निरपेक्ष चरम. यदि $f$ , $\icc{a}{b}$ पर संतत है, तो वह अपने निरपेक्ष उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ प्राप्त करता है, और प्रत्येक बिंदु जहाँ वह उन्हें प्राप्त करता है $a$ , $b$ या $\ioo{a}{b}$ का कोई क्रांतिक बिंदु है; यदि वह किसी विवृत अंतराल पर, परिबद्ध हो या नहीं, संतत है, और उसका कोई मान दोनों अंत्य बिंदुओं पर उसकी सीमाओं से अधिक है, तो वह अपना निरपेक्ष उच्चिष्ठ प्राप्त करता है, क्रांतिक बिंदुओं पर।
  उपयोग करती है: 2. वायरस्ट्रास की प्रमेय, 5. फ़र्मा प्रमेय. आधार: F (प्राप्त चरम मान), B (इकाई 1 की विरासत). सिद्ध किया गया: किसी फलन के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ.
9. एकदिष्टता द्वारा निरपेक्ष चरम. यदि $f$ किसी अंतराल $I$ पर संतत है, $c$ एक आंतरिक बिंदु है, $f'(x) \geq 0$ उन आंतरिक बिंदुओं पर जो $c$ से छोटे हैं और $f'(x) \leq 0$ उन पर जो बड़े हैं, तो $f$ , $c$ पर अपना निरपेक्ष उच्चिष्ठ ( $I$ में) प्राप्त करता है; और यदि $c$ , $f$ का $I$ में एकमात्र क्रांतिक बिंदु है और $f$ उस पर स्थानीय चरम प्राप्त करता है, तो वह चरम $I$ में निरपेक्ष और दृढ़ है।
  उपयोग करती है: 12. अवकलज के चिह्न से एकदिष्टता, 16. शून्य-रहित अवकलज. आधार: H (अवकलज द्वारा एकदिष्टता). सिद्ध किया गया: किसी फलन के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ.
10. ऊपर की ओर अवतलता और वर्धमान अवकलज. कोई फलन $f$ किसी अंतराल $I$ पर ऊपर की ओर अवतल है यदि $f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)$ , सभी $x$ , $y$ के लिए जो $I$ में हैं और प्रत्येक $t$ के लिए जो $\icc{0}{1}$ में है। यदि $f$ , $I$ पर संतत है और प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर अवकलनीय है, तो वह ऊपर की ओर अवतल है यदि और केवल यदि $f'$ आंतरिक बिंदुओं पर वर्धमान है, और ऊपर की ओर दृढ़तः अवतल यदि और केवल यदि $f'$ उन पर दृढ़तः वर्धमान है।
  उपयोग करती है: 7. लाग्रांज की माध्यमान प्रमेय. आधार: G (माध्यमान), B (इकाई 1 की विरासत), C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: अवतलता, उत्तलता और नति परिवर्तन बिंदु.
11. अपनी स्पर्श रेखाओं के ऊपर आलेख. यदि $f$ किसी अंतराल $I$ पर, जिसमें एक से अधिक बिंदु हों, संतत है और प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर अवकलनीय है, तो वह ऊपर की ओर अवतल है यदि और केवल यदि $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$ , प्रत्येक आंतरिक बिंदु $a$ और प्रत्येक $x$ के लिए जो $I$ में है; विशेष रूप से, यदि वह ऊपर की ओर अवतल है और $f'(a) = 0$ , तो वह $a$ पर अपना निरपेक्ष निम्निष्ठ ( $I$ में) प्राप्त करता है।
  उपयोग करती है: 21. ऊपर की ओर अवतलता और वर्धमान अवकलज. सिद्ध किया गया: अवतलता, उत्तलता और नति परिवर्तन बिंदु.
12. ऊपर की ओर अवतलता और द्वितीय कोटि का अवकलज. यदि $f$ किसी अंतराल $I$ पर, जिसमें एक से अधिक बिंदु हों, संतत है और प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर दो बार अवकलनीय है, तो वह ऊपर की ओर अवतल है यदि और केवल यदि उन पर $f''(x) \geq 0$ , और ऊपर की ओर दृढ़तः अवतल है यदि इसके अतिरिक्त $f''$ किसी भी विवृत अंतराल के सभी बिंदुओं पर शून्य नहीं होता जो $I$ में समाहित है।
  उपयोग करती है: 12. अवकलज के चिह्न से एकदिष्टता, 13. अऋणात्मक अवकलज के साथ दृढ़ एकदिष्टता, 21. ऊपर की ओर अवतलता और वर्धमान अवकलज. आधार: H (अवकलज द्वारा एकदिष्टता), C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: अवतलता, उत्तलता और नति परिवर्तन बिंदु.
13. नति परिवर्तन बिंदु. यदि $f$ , $a$ के निकट संतत है, $a$ पर अवकलनीय है और $f''$ , $a$ पर चिह्न बदलता है, तो बिंदु $a$ नति परिवर्तन बिंदु है; किसी नति परिवर्तन बिंदु पर जहाँ $f$ दो बार अवकलनीय है, $f''(a) = 0$ , परंतु यह पर्याप्त नहीं है, जैसा कि $x^4$ , $0$ पर, दिखाता है; और यदि $f''(a) = 0$ और $f'''(a) \neq 0$ , तो $a$ एक नति परिवर्तन बिंदु है और आलेख अपनी स्पर्श रेखा को पार करता है।
  उपयोग करती है: 5. फ़र्मा प्रमेय, 18. उच्च कोटि अवकलज परीक्षण, 21. ऊपर की ओर अवतलता और वर्धमान अवकलज, 23. ऊपर की ओर अवतलता और द्वितीय कोटि का अवकलज. आधार: E (किसी बिंदु पर अवकलज का चिह्न), B (इकाई 1 की विरासत). सिद्ध किया गया: अवतलता, उत्तलता और नति परिवर्तन बिंदु.
14. येन्सेन असमिका. यदि $f$ किसी अंतराल $I$ पर संतत और ऊपर की ओर अवतल है और प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर अवकलनीय है, तो $f\left(t_1 x_1 + \dots + t_n x_n\right) \leq t_1 f(x_1) + \dots + t_n f(x_n)$ , उन बिंदुओं $x_i$ के लिए जो $I$ में हैं और उन भारों $t_i \geq 0$ के लिए जिनका योग $1$ है; लघुगणक के साथ, जो नीचे की ओर अवतल है, धनात्मक संख्याओं का गुणोत्तर माध्य समांतर माध्य से अधिक नहीं होता।
  उपयोग करती है: 22. अपनी स्पर्श रेखाओं के ऊपर आलेख, 23. ऊपर की ओर अवतलता और द्वितीय कोटि का अवकलज. आधार: C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: अवतलता, उत्तलता और नति परिवर्तन बिंदु.
15. आश्लेषी वृत्त. यदि $f$ किसी विवृत अंतराल पर अवकलनीय है और किसी बिंदु $a$ पर दो बार अवकलनीय है, जहाँ $m = f'(a)$ और $q = f''(a) \neq 0$ , तो ठीक एक वृत्त है जिसका $a$ पर मान, अवकलज और द्वितीय अवकलज $f$ के समान हैं; उसकी त्रिज्या $\rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}$ है, जो वक्रता $\kappa$ का व्युत्क्रम है, और उसका केंद्र अभिलंब पर है, बिंदु के ऊपर यदि $q > 0$ और उसके नीचे यदि $q < 0$ ।
  आधार: C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: वक्रता और वक्रता त्रिज्या.
खंड 3 इष्टतमीकरण और सन्निकटन
- किसी ज्यामितीय या भौतिक समस्या को, सटीक रूप से निर्धारित प्रांत में, किसी फलन के निरपेक्ष चरम की खोज में बदलना, और यह सिद्ध करना कि प्राप्त चरम निरपेक्ष है।
- किसी दिए गए बिंदु के निकटतम आलेख का बिंदु ज्ञात करना और न्यूनतम समय से परावर्तन और अपवर्तन के नियम निकालना।
- न्यूटन-रैफ़सन विधि से मूलों का सन्निकटन करना, ऊपर की ओर अवतलता से उसका अभिसरण सुनिश्चित करना और माध्यमान प्रमेय से त्रुटि को परिबद्ध करना।
1. किसी बिंदु से आलेख की दूरी. यदि $f$ किसी ऐसे अंतराल पर संतत है जिसमें एक से अधिक बिंदु हों और जो अपने अंत्य बिंदुओं को, यदि वे हों, समाविष्ट करता हो, तो उसके आलेख का कोई बिंदु किसी बिंदु $P = (x_1, y_1)$ से न्यूनतम दूरी पर होता है; यदि उस बिंदु का भुज $c$ आंतरिक है और $f$ उस पर अवकलनीय है, तो $P$ अभिलंब पर है: $(x_1 - c) + f'(c)\left(y_1 - f(c)\right) = 0$ ।
  उपयोग करती है: 2. वायरस्ट्रास की प्रमेय, 5. फ़र्मा प्रमेय. आधार: F (प्राप्त चरम मान), B (इकाई 1 की विरासत), C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: इष्टतमीकरण की समस्याएँ.
2. स्नेल का नियम. अवधि $T(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}$ , उस पथ की जो $(0, a)$ से $(x, 0)$ तक चाल $v_1$ से और वहाँ से $(d, -b)$ तक चाल $v_2$ से जाता है, एक ही बिंदु पर अपना दृढ़ निरपेक्ष निम्निष्ठ प्राप्त करती है, जहाँ $\frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2}$ ; इससे, दो बिंदुओं के बीच का वह सबसे छोटा पथ जो किसी रेखा को छूता है उस रेखा पर लंब के साथ समान कोण बनाता है, जो परावर्तन का नियम है।
  उपयोग करती है: 22. अपनी स्पर्श रेखाओं के ऊपर आलेख, 23. ऊपर की ओर अवतलता और द्वितीय कोटि का अवकलज. आधार: D (मध्यवर्ती मान), C (इकाई 2 की विरासत). सिद्ध किया गया: इष्टतमीकरण की समस्याएँ.
3. न्यूटन-रैफ़सन विधि का अभिसरण. यदि $f$ किसी विवृत अंतराल $I$ पर अवकलनीय और ऊपर की ओर अवतल है, जहाँ $f'(x) \neq 0$ , पूरे $I$ में, और $f(r) = 0$ , तो पुनरावृत्तियाँ $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ , किसी $x_0$ से आरंभ करके जो $I$ में है और जिसके लिए $f(x_0) \geq 0$ , एकदिष्ट रूप से $r$ के निकट आती हैं, उसे पार किए बिना, और $r$ की ओर अभिसरित होती हैं; किसी $x_0$ से आरंभ करके जिसके लिए $f(x_0) < 0$ , यदि $x_1$ , $I$ में है, तो पहली पुनरावृत्ति उपयुक्त पक्ष पर ले जाती है।
  उपयोग करती है: 16. शून्य-रहित अवकलज, 21. ऊपर की ओर अवतलता और वर्धमान अवकलज, 22. अपनी स्पर्श रेखाओं के ऊपर आलेख. आधार: A (पूर्णता अभिगृहीत), B (इकाई 1 की विरासत). सिद्ध किया गया: न्यूटन-रैफ़सन विधि.
4. त्रुटि का परिबंध. यदि $f$ किसी अंतराल $J$ पर संतत है और प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर अवकलनीय है, जहाँ उन पर $\abs{f'(x)} \geq m > 0$ , और $f(r) = 0$ किसी $r$ के लिए जो $J$ में है, तो $\abs{x - r} \leq \frac{\abs{f(x)}}{m}$ , प्रत्येक $x$ के लिए जो $J$ में है।
  उपयोग करती है: 7. लाग्रांज की माध्यमान प्रमेय. आधार: G (माध्यमान). सिद्ध किया गया: न्यूटन-रैफ़सन विधि.

कलन II की ओर. शृंखला वहाँ रुकती है जहाँ पाठ्यक्रम समाप्त होता है। कलन II में, वह उपप्रमेय जिसके अनुसार समान अवकलज वाले दो फलनों का अंतर एक अचर होता है प्रतिअवकलजों की नींव रखता है, और समाकल कलन की आधारभूत प्रमेय में अवकलज से जुड़ता है; चाप की लंबाई के साथ, जो एक समाकल है, वक्रता को उस चाल के रूप में पढ़ा जाता है जिससे स्पर्श रेखा घूमती है। अनुक्रम, जिनका न्यूटन-रैफ़सन पुनरावृत्तियाँ एक पहला उदाहरण थीं, और श्रेणियाँ प्राकृत संख्याओं पर परिभाषित फलनों को एक अपना सिद्धांत देते हैं। और टेलर बहुपद, जिसके शेष पद को रोल और कॉशी की प्रमेयों से परिबद्ध किया जाता है, उच्च कोटि के अवकलजों से स्पर्श रेखा को आगे बढ़ाता है, उच्च कोटि अवकलज परीक्षण का व्यापकीकरण करता है और, द्वितीय अवकलज पर परिकल्पनाओं के अंतर्गत, न्यूटन-रैफ़सन विधि का द्विघात अभिसरण सिद्ध करता है, जिसे इस इकाई ने केवल उदाहरणों में देखा।

इस पाठ के शेष भाग में

पाठ्यक्रम के भीतर इकाई
समापन मूल्यांकन
चुनौतियाँ
स्पर्शज्या के लिए सर्वोत्तम अचर
ढलान पर परास
एक बिंदु से चरघातांकी फलन की स्पर्श रेखाएँ
प्रसारित होती एक रेल-पटरी
रैखिक अंतर्वेशन की त्रुटि
किसी पात्र के तल में एक गेंद
सभी वास्तविक मूलों वाले बहुपद
घात माध्य
ऊपर की ओर अवतल फलन के एकपक्षीय अवकलज
घंटाकार वक्र के अवकलजों के मूल

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