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Topos Uranos
Español

Teoremas y demostraciones

Resumen

Esta clase enseña a componer enunciados y demostraciones como entornos declarados, no como negritas escritas a mano. Explica qué se gana al declararlos (numeración, remisión, coherencia y un estilo que se cambia en una línea); presenta el paquete amsthm y su instrucción \newtheorem, con la forma sin número, el contador compartido frente a los contadores separados y la numeración dentro de la sección o del capítulo, y deduce qué numeración conviene a un artículo y cuál a un libro; distingue los tres estilos de \theoremstyle según la función del enunciado; muestra el argumento opcional que da nombre o atribución a un resultado; estudia el entorno proof, su rótulo en español, su símbolo final y el defecto que \qedhere corrige; enseña a remitir a los enunciados con cleveref y comprueba lo que este escribe cuando no se le declara el nombre, incluido un comportamiento del contador compartido que conviene conocer; presenta brevemente \newtheoremstyle y thmtools; muestra el uso de estos entornos fuera de la matemática; y termina con los errores típicos y sus registros.

Objetivos de aprendizaje

  1. Declarar teoremas, lemas, definiciones y observaciones con \newtheorem y \theoremstyle, eligiendo el estilo por la función del enunciado.
  2. Elegir entre contador compartido y contadores separados, y entre numeración corrida o por sección, y predecir los números que resultan.
  3. Escribir demostraciones con proof, darles un rótulo propio y colocar el símbolo final en su lugar con \qedhere cuando terminan en una fórmula aparte o en una lista.
  4. Remitir a los enunciados con \cref, ordenar el preámbulo para que cleveref los nombre bien y diagnosticar las referencias que imprimen «??» o un nombre equivocado.
  5. Interpretar los registros de los errores típicos al declarar enunciados y corregir su causa.

Por qué declarar los enunciados

Un texto demostrativo se articula en enunciados de distinta función: una definición fija el sentido de un término, un teorema afirma algo que se demostrará, un lema prepara un teorema, un corolario se sigue de él, una observación comenta sin afirmar nada nuevo. La tradición tipográfica los distingue por su rótulo, «Teorema 3.», por su número, que permite citarlos, y por su aspecto. Nada impide imitar todo ello a mano, con una negrita y un número escrito por el autor.

Código LaTeX
\textbf{Teorema 2.} \emph{Todo número primo mayor que 2 es impar.}​\textbf{Lema 3.} \emph{Si $n$ es par, $n^2$ es par.}

El resultado impreso puede ser idéntico al de un entorno declarado; el defecto está en la fuente, y es el mismo que la clase de referencias cruzadas y la de macros y preámbulo propio señalaron en otros objetos. Si esto es así, de ello se siguen cuatro pérdidas. El número, escrito a mano, deja de ser verdadero al primer enunciado que se inserta. No hay a qué poner una etiqueta, de modo que la remisión vuelve a ser un número escrito a mano. El aspecto depende de la memoria del autor, y basta un olvido para que un teorema salga en redonda. Y si una revista pide los enunciados en otra letra, hay que corregir cada uno. Declarar un entorno teorema nombra la función, y su definición, escrita una vez en el preámbulo, fija el número, el rótulo y el aspecto.