Sistemas de numeración posicional

Resumen

Esta clase estudia la notación posicional, en la que el valor de cada cifra depende del lugar que ocupa. Demuestra que todo número natural se escribe de una única manera en cualquier base $b \geq 2$ , con un procedimiento que consiste en dividir repetidamente por la base, y enseña a convertir números entre la base $10$ y las bases $2$ , $8$ y $16$ , y entre estas últimas agrupando cifras binarias. Muestra que la suma y el producto se calculan en cualquier base con las mismas reglas que en la base $10$ , explica por qué funcionan los criterios de divisibilidad y los extiende a otras bases, y cierra con una nota sobre la historia de la numeración y sobre el uso de la base $2$ en los computadores.

Objetivos de aprendizaje

Interpretar la notación posicional y calcular el valor de un número escrito en cualquier base.
Demostrar la existencia y la unicidad de la representación en base $b$ , y obtenerla mediante divisiones sucesivas.
Convertir números entre las bases $2$ , $8$ , $10$ y $16$ , y sumar y multiplicar en base $2$ .
Justificar los criterios de divisibilidad por $b - 1$ y por $b + 1$ en base $b$ , y aplicarlos en la base $10$ y en otras bases.

La notación posicional

Al escribir $2025$ no se suman cuatro cifras, sino que cada una se multiplica por una potencia de $10$ que depende de su posición: el primer $2$ vale dos millares; el segundo, dos decenas. La cifra $0$ indica que no hay centenas y, al ocupar su lugar, mantiene a las demás en la posición que les corresponde.

2025 = 2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 + 5

Este principio, llamado notación posicional, no depende del número $10$ . Si $b \geq 2$ es un natural, llamado base, las cifras en base $b$ son los números $0, 1, \ldots, b - 1$ , y una sucesión de cifras $a_k, a_{k-1}, \ldots, a_1, a_0$ , con $a_k \neq 0$ , representa el número

n = a_k b^k + a_{k-1} b^{k-1} + \cdots + a_1 b + a_0

Las cifras se escriben una junto a otra, de izquierda a derecha, y la base se indica como subíndice: por ejemplo, $3412_5$ es el número que en base $5$ se escribe con las cifras $3$ , $4$ , $1$ y $2$ , y se lee « $3412$ en base $5$ ». Se dice que $a_i$ ocupa la posición $i$ , contada desde la derecha a partir de $0$ . Sin subíndice, un número está escrito en base $10$ . En la base $2$ solo hay dos cifras, $0$ y $1$ , que se llaman bits; en la base $16$ hacen falta dieciséis, y a las diez cifras habituales se añaden las letras A, B, C, D, E y F, que valen $10$ , $11$ , $12$ , $13$ , $14$ y $15$ .

Ahora bien, el valor de un número escrito en base $b$ puede calcularse sacando $b$ como factor común una y otra vez, lo que evita calcular potencias: es la regla de Horner.

LemaRegla de Horner

Para todo $k$ y todos los números $a_0, a_1, \ldots, a_k$ , la suma de los productos $a_i b^i$ se obtiene partiendo de $a_k$ y repitiendo $k$ veces la operación de multiplicar por $b$ y sumar el coeficiente siguiente.

a_k b^k + a_{k-1} b^{k-1} + \cdots + a_1 b + a_0 = (\cdots((a_k b + a_{k-1}) b + a_{k-2}) \cdots) b + a_0

La demostración es una inducción sobre $k$ que solo usa la distributividad. La expresión es el valor en $x = b$ del polinomio $a_k x^k + \cdots + a_1 x + a_0$ , y la clase sobre el álgebra de polinomios volverá sobre ella.

Demostración

$a_0 = a_0$
Paso inicial: para $k = 0$ , ambos miembros se reducen a $a_0$ , porque la regla no hace ninguna operación.
$\dato{h}{c_k b^k + \cdots + c_1 b + c_0 = (\cdots(c_k b + c_{k-1}) \cdots) b + c_0}$
Hipótesis de inducción: la regla vale para toda suma de $k + 1$ términos, con coeficientes cualesquiera, que llega hasta la potencia $b^k$ .
$a_{k+1} b^{k+1} + \cdots + a_1 b + a_0 = \resaltar{(a_{k+1} b^k + \cdots + a_2 b + a_1)} \, b + a_0$
Sea una suma que llega hasta $b^{k+1}$ . Por la distributividad, se saca $b$ como factor común de todos los términos salvo el último.
$a_{k+1} b^{k+1} + \cdots + a_1 b + a_0 = \resaltar{((\cdots(a_{k+1} b + a_k) \cdots) b + a_1)} \, b + a_0$
El paréntesis tiene la forma de la hipótesis, con los coeficientes $c_i = a_{i+1}$ ; se escribe con la regla, y al multiplicarlo por $b$ y sumar $a_0$ se obtiene la regla para $k + 1$ . Por el principio de inducción, vale para todo $k$ .

EjemploEl valor de un número escrito en base 5

Calcular el número que en base $5$ se escribe $3412_5$ , de dos maneras: sumando los valores de las posiciones y con la regla de Horner.

Demostración

$3412_5 = \resaltar{3} \cdot 5^3 + \resaltar{4} \cdot 5^2 + \resaltar{1} \cdot 5 + \resaltar{2}$
Cada cifra se multiplica por la potencia de $5$ que corresponde a su posición: $5^3$ , $5^2$ , $5$ y $1$ .
$3 \cdot \resaltar{125} + 4 \cdot \resaltar{25} + 1 \cdot 5 + 2 = \resaltar{375} + \resaltar{100} + 5 + 2 = \dato{v}{482}$
Calculamos las potencias y los productos, y sumamos.
$3412_5 = \resaltar{((3 \cdot 5 + 4) \cdot 5 + 1)} \cdot 5 + 2$
Con la regla de Horner sacamos $5$ como factor común de los tres primeros términos, y después de los dos primeros del paréntesis.
$\resaltar{3 \cdot 5 + 4} = 19, \quad \resaltar{19 \cdot 5 + 1} = 96, \quad \resaltar{96 \cdot 5 + 2} = \resaltar{482}$
Se calcula de dentro hacia fuera: cada resultado se multiplica por la base y se le suma la cifra siguiente. Se obtiene el mismo valor, sin ninguna potencia.

En el resto de esta clase

Existencia y unicidad de la representación
Las bases 2, 8 y 16
Operaciones en base 2
Los criterios de divisibilidad
Divisores de la base
Divisibilidad por $b - 1$ y por $b + 1$
Una nota histórica y aplicada
Problemas resueltos
Un número que es el doble de su inverso
Las cifras permutadas
Los capicúas con un número par de cifras
Multiplicar duplicando
Las pesas de Bachet
Problemas propuestos
Las cifras de una potencia sin calcularla
Una dirección de internet
De la base 3 a la base 9
Divisibilidad por 7, por 11 y por 13
Dobles en dos bases