Deducción: síntesis y desafíos

Resumen

Esta clase cierra la unidad dedicada a la deducción. Reconstruye la cadena deductiva que va de la definición del sistema de Łukasiewicz (tres esquemas de axiomas y el modus ponens) al teorema de deducción y al límite de ese sistema en la lengua de la negación conjunta; de ahí a las cuatro técnicas básicas y a la regla del reemplazo de la doble negación, que completa el sistema del curso; del lema fundamental de la negación conjunta al reemplazo de equivalentes y a las simetrías, y de ahí a las reglas de la lógica clásica y a las leyes de De Morgan y de distribución, señalando en cada eslabón qué resultados usa y en qué clase se demuestra. Distingue lo que la unidad demostró de lo que admitió, sitúa lo logrado respecto del plan del curso y explica por qué la pregunta que la unidad deja abierta, la de saber si lo deducible coincide con lo verdadero, conduce a la unidad de semántica. Repite en su evaluación de salida las destrezas de la evaluación de entrada, y termina con seis desafíos, de dificultad superior a la de los problemas de las clases, que exigen combinar los instrumentos de varias de ellas.

Objetivos de aprendizaje

Reconstruir el orden lógico de los resultados de la unidad, identificando los resultados anteriores en que se apoya cada uno y la clase en que se demuestra.
Explicar cómo se encadenan el teorema de deducción, la doble negación, la regla del reemplazo de la doble negación, la contraposición, el lema fundamental y el reemplazo de equivalentes, y por qué de ellos dependen las reglas clásicas y las leyes de De Morgan y de distribución.
Distinguir lo que la unidad demostró de lo que admitió (los esquemas de axiomas, las dos reglas primitivas, la inducción fuerte y la lectura única) y de lo que dejó para las unidades siguientes, en particular la relación entre deducción y verdad.
Resolver problemas que combinan las marcas, la regla del reemplazo de la doble negación, el teorema de deducción, la prueba por casos, la reducción al absurdo, el reemplazo de equivalentes y las leyes de De Morgan y de distribución.

Lo logrado en la unidad

La unidad se propuso dotar al lenguaje de la unidad anterior de un sistema deductivo, es decir, de un modo puramente sintáctico de obtener fórmulas a partir de otras, y demostrar con ese sistema, línea por línea, las técnicas con que razona la matemática. El propósito se ha cumplido con unas pocas salvedades, cada una declarada en su lugar: los tres esquemas de axiomas y las dos reglas primitivas, que no se demuestran sino que se eligen, y cuya elección acertada es una pregunta que la unidad plantea sin responderla del todo; la inducción fuerte, la lectura única y la definición por recursión, que se demostraron en la unidad anterior y aquí se usan; y lo indispensable de la teoría de conjuntos (subconjuntos, uniones y conjuntos finitos), que se recordó donde hizo falta. Con esas salvedades, el camino recorrido puede leerse como una sola cadena deductiva en cuatro tramos.

El sistema de Łukasiewicz y su límite

La clase sobre los sistemas deductivos formales definió un sistema como un lenguaje, unos axiomas y unas reglas, todos ellos verificables mirando solo las cadenas, y fijó la primera etapa del sistema del curso, el sistema de Łukasiewicz: los esquemas A1, A2 y A3 y el modus ponens como regla única, que la lectura única hace aplicable sin ambigüedad. Definió la deducción desde un conjunto $\Gamma$ de premisas y la relación $\Gamma \vdash \varphi$ , dedujo $\vdash (\varphi \rightarrow \varphi)$ en cinco líneas y demostró las propiedades estructurales: presunción, monotonía, modus ponens entre deducciones, corte y carácter finito. Con ellas y con la inducción fuerte sobre el número de líneas demostró el teorema de deducción, cuyo segundo caso exige haber deducido antes $(\varphi \rightarrow \varphi)$ , y su recíproco; de ellos obtuvo la equivalencia probada, reflexiva, simétrica y transitiva. Por último, estableció el límite de ese sistema: una marca de $0$ y $1$ , definida por recursión sobre la forma primitiva $(\alpha \downarrow \beta)$ , trata la negación y la implicación como siempre, es conservada por A1, A2, A3 y el modus ponens, y deja libre el valor de fórmulas como $(v_{1} \downarrow v_{2})$ . De ello se sigue que $((v_{1} \downarrow v_{2}) \rightarrow \neg v_{1})$ no es teorema del sistema de Łukasiewicz, y que de $(v_{1} \downarrow v_{2})$ no se deduce $(\neg\neg v_{1} \downarrow v_{2})$ , ni a la inversa. Como toda marca da el mismo valor a $\theta$ y a $\neg\neg\theta$ , la clase advirtió además que ni siquiera la doble negación, una vez demostrada, remediaría ese límite.

Las cuatro técnicas y la regla nueva

La clase sobre las cuatro técnicas de deducción demostró primero el lema «del resultado a la regla»: si $\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\} \vdash \beta$ , la misma conclusión se obtiene desde cualquier $\Gamma$ que deduzca las $\alpha_{i}$ , y además $\vdash (\alpha_{1} \rightarrow (\alpha_{2} \rightarrow \cdots (\alpha_{n} \rightarrow \beta) \cdots))$ . Ese lema es el que permite usar cada técnica en tres presentaciones (desde premisas, como teorema y como regla), y las clases siguientes lo reencontraron con otros nombres: la clase sobre las simetrías lo enunció como el lema de que la equivalencia probada se comporta como una igualdad, y la clase sobre De Morgan, como el encadenamiento de equivalencias; en la cadena figura una sola vez, donde se demuestra primero. Con él, la clase dedujo el silogismo hipotético desde A1 y A2 en siete líneas, el intercambio de premisas con el teorema de deducción, la doble negación (cuya primera dirección aplica A3 dos veces a una implicación fabricada con A1, y cuya segunda aplica la primera a $\neg\varphi$ y A3) y la contraposición en sus tres formas, que reparten de tres maneras las negaciones de una implicación; las cuatro valen ya en el sistema de Łukasiewicz.

Demostrada la doble negación, la clase completó el sistema del curso con una segunda regla primitiva, el reemplazo de la doble negación (RDN): de $\chi$ se infiere $\chi'$ cuando $\chi'$ resulta de reemplazar en $\chi$ una aparición de una subfórmula $\theta$ por $\neg\neg\theta$ , o una de $\neg\neg\theta$ por $\theta$ . La regla debe postularse, porque la marca $m_{1}$ da $1$ a los teoremas de la doble negación y, sin embargo, separa $(v_{1} \downarrow v_{2})$ de $(\neg\neg v_{1} \downarrow v_{2})$ ; RDN no conserva $m_{1}$ , y por eso amplía lo deducible, pero conserva la marca honesta, y por eso no lo amplía demasiado. La regla actúa sobre la cadena de la lengua base, donde una negación duplica su argumento: $(\varphi \rightarrow \psi)$ contiene dos veces la subfórmula $\neg\varphi$ , y poner una doble negación ante su antecedente exige dos aplicaciones. Esa misma observación sostiene la extensión del teorema de deducción: si una línea se obtiene por la regla, la hipótesis de la inducción da la implicación cuyo consecuente es la línea anterior, y dos aplicaciones de la regla, una en cada copia de ese consecuente, dan la implicación buscada; las demás propiedades estructurales valen con la misma demostración. Las primeras consecuencias son que una fórmula equivale a toda fórmula que resulte de ella por la regla, en particular $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash (\neg\neg\varphi \downarrow \psi)$ y $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash (\varphi \downarrow \neg\neg\psi)$ , y que las implicaciones correspondientes, que otros sistemas toman como axiomas, son aquí teoremas.

Conectores y reemplazo

La clase sobre las simetrías de los conectores afrontó la dificultad propia de la lengua de círculos y discos: los axiomas de Łukasiewicz solo hablan de negaciones y de implicaciones, y casi ninguna negación conjunta es una cosa u otra. El lema fundamental, $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash \neg(\neg\varphi \rightarrow \psi)$ , tiende el puente: como $\neg(\neg\varphi \rightarrow \psi)$ es $\neg\neg(\neg\neg\varphi \downarrow \psi)$ , la regla RDN pone la doble negación interior y la doble negación, la exterior; en sentido inverso, la doble negación y la regla las quitan. Con él, el reemplazo de equivalentes, demostrado primero bajo la negación y a ambos lados de la implicación con la contraposición y el silogismo hipotético, se extendió a ambos argumentos de la negación conjunta y, desde ahí, a la disyunción y a la conjunción. La regla y el reemplazo no se hacen superfluos uno a otro: la regla solo intercambia $\theta$ y $\neg\neg\theta$ , mientras que el reemplazo admite equivalentes cualesquiera; y el reemplazo, demostrado con el lema fundamental, descansa a su vez en la regla. La clase demostró después que las formas que otros textos toman por definiciones son equivalencias: $(\varphi \vee \psi) \dashv\vdash (\neg\varphi \rightarrow \psi)$ , que exige dos aplicaciones de la regla, una en cada copia que crea la negación exterior, y $(\varphi \wedge \psi) \dashv\vdash (\neg\varphi \downarrow \neg\psi)$ , que exige la doble negación; en cambio, $(\varphi \wedge \psi)$ y $\neg(\varphi \rightarrow \neg\psi)$ son la misma cadena. Por último, demostró las cinco simetrías en el orden que imponen las definiciones: la de la negación conjunta con el lema fundamental y la contraposición, y cada una de las demás con la anterior, llevada con el reemplazo bajo la negación cuando hace falta.

Las reglas clásicas y las leyes

La clase sobre las técnicas de la lógica clásica demostró, todas con un conjunto $\Gamma$ de premisas que se arrastra de línea en línea, la introducción y la eliminación de la disyunción y de la conjunción, el tercero excluido y la no contradicción, la explosión, la reducción al absurdo en sus dos formas y la prueba por casos, con una fórmula y su negación y con una disyunción cualquiera. El orden de las dependencias es estricto: la explosión descansa en las reglas de la disyunción; la reducción al absurdo clásica, en la explosión y en A3; la prueba por casos, en la contraposición y en la reducción al absurdo. Ninguna de esas demostraciones invoca la regla RDN directamente: la regla actúa a través de las formas alternativas y del reemplazo de equivalentes. La clase sobre las leyes de De Morgan y de distribución puso estas reglas a trabajar juntas: la primera ley de De Morgan resulta de la definición de la conjunción y de la doble negación; la segunda exige entrar en la negación conjunta, donde la regla RDN interviene dos veces, una en cada argumento y sin necesidad de la simetría, y de ella se sigue que $(\varphi \downarrow \psi)$ equivale a $(\neg\varphi \wedge \neg\psi)$ , la lectura «ni $\varphi$ ni $\psi$ » que la unidad anterior había estipulado; las variantes incluyen $\neg(\varphi \rightarrow \psi) \dashv\vdash (\varphi \wedge \neg\psi)$ . Las dos leyes de distribución se demostraron en sus dos sentidos por casos, eligiendo en cada uno la forma de la prueba por casos que conviene.

La figura siguiente reúne los cuatro tramos en una sola cadena. Cada nudo de la columna es una definición o un resultado, numerado según el orden lógico y unido por un arco a los eslabones anteriores que su demostración usa; alrededor flotan los apoyos, es decir, los principios y los instrumentos a los que la cadena recurre una y otra vez, cada uno unido con un trazo firme a los eslabones que se apoyan en él y con uno punteado al eslabón donde se establece, salvo los que esta cadena no demuestra (los esquemas de axiomas, que se admiten, y los instrumentos de la unidad anterior), que se dibujan como anillos. La regla del reemplazo de la doble negación, aunque también se admite sin demostración, figura unida al eslabón que la introduce, porque allí se explica por qué debe postularse. Al pulsar un apoyo se destacan todos los eslabones que lo usan, y cada eslabón remite a la clase en que se demuestra. Obsérvese que el teorema de deducción y la doble negación son, tras los axiomas, los apoyos más visitados de la unidad, y que la regla nueva sostiene todo lo que la unidad dice de la negación conjunta: el teorema de deducción ampliado, el lema fundamental, las formas alternativas y la segunda ley de De Morgan.

Apoyos de la cadena

ALectura única y recursión. Si $\sigI\varphi\psi = \sigI\varphi'\psi'$ , con las cuatro cadenas fórmulas, entonces $\varphi = \varphi'$ y $\psi = \psi'$ ; de donde una regla que calcula el valor de $\sigI\varphi\psi$ a partir de $\varphi$ , de $\psi$ y de sus valores define una sola función sobre las fórmulas. Se demostró en la unidad anterior. Se admite sin demostración en esta unidad.
BInducción fuerte. Si una propiedad vale para un natural siempre que vale para todos los menores, vale para todos los naturales. Se dedujo de la inducción simple en la unidad anterior, y aquí se aplica al número de líneas de una deducción. Se admite sin demostración en esta unidad.
CAxiomas de Łukasiewicz. Los esquemas A1, $(\varphi \rightarrow (\psi \rightarrow \varphi))$ ; A2, $((\varphi \rightarrow (\psi \rightarrow \chi)) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \chi)))$ ; y A3, $((\neg\psi \rightarrow \neg\varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi))$ . Se admiten. Se admite sin demostración en esta unidad.
DReemplazo de la doble negación. Segunda regla primitiva del sistema del curso: de $\chi$ se infiere $\chi'$ si $\chi'$ resulta de $\chi$ al reemplazar una aparición de una subfórmula $\theta$ por $\neg\neg\theta$ , o una de $\neg\neg\theta$ por $\theta$ . Se postula después de demostrar la doble negación. Se establece en: 8. Reemplazo de la doble negación.
ETeorema de deducción. $\Gamma \cup \{\varphi\} \vdash \psi$ si y solo si $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$ ; se demuestra en el sistema de Łukasiewicz y vale, con un caso más, en el sistema del curso. Se establece en: 3. Teorema de deducción y equivalencia probada.
FDel resultado a la regla. Si $\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\} \vdash \beta$ y $\Gamma \vdash \alpha_{i}$ para cada $i$ , entonces $\Gamma \vdash \beta$ : toda técnica demostrada desde premisas se aplica bajo cualquier conjunto de premisas. Se establece en: 5. Del resultado a la regla.
GDoble negación. $\varphi \dashv\vdash \neg\neg\varphi$ , con los teoremas $\vdash (\neg\neg\varphi \rightarrow \varphi)$ y $\vdash (\varphi \rightarrow \neg\neg\varphi)$ . Se establece en: 7. Doble negación.
HReemplazo de equivalentes. Si $\varphi \dashv\vdash \varphi'$ , puede ponerse $\varphi'$ en lugar de $\varphi$ bajo una negación, a ambos lados de una implicación, de una negación conjunta, de una disyunción y de una conjunción, sin alterar la equivalencia. Se establece en: 12. Reemplazo de equivalentes.

Tramo 1 El sistema de Łukasiewicz y su límite
- Reconocer las instancias de los esquemas y decidir si una sucesión de fórmulas es una deducción desde un conjunto de premisas.
- Demostrar las propiedades estructurales de la deducción y el teorema de deducción por inducción fuerte sobre el número de líneas.
- Construir deducciones sobre deducciones con presunción, monotonía, corte, el teorema de deducción y su recíproco.
- Demostrar que una fórmula no se deduce mediante una marca que los axiomas y el modus ponens conservan, y explicar con ella el límite del sistema de Łukasiewicz.
1. Sistema, deducción e identidad. Los axiomas del sistema de Łukasiewicz son las instancias uniformes de A1 a A3, y su regla única es el modus ponens. $\Gamma \vdash \varphi$ si existe una sucesión finita de fórmulas que termina en $\varphi$ , cada una axioma, elemento de $\Gamma$ u obtenida por modus ponens de dos anteriores. El primer teorema, $\vdash (\varphi \rightarrow \varphi)$ , se deduce en cinco líneas con A1 y A2.
  Se apoya en: A (Lectura única y recursión), C (Axiomas de Łukasiewicz). Se demuestra en: Sistemas deductivos formales.
2. Propiedades estructurales. Si $\varphi \in \Gamma$ , $\Gamma \vdash \varphi$ ; si $\Gamma \subseteq \Delta$ y $\Gamma \vdash \varphi$ , $\Delta \vdash \varphi$ ; de $\Gamma \vdash \varphi$ y $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$ se sigue $\Gamma \vdash \psi$ ; si $\Gamma \vdash \varphi_{i}$ para cada $i$ y $\Gamma \cup \{\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{r}\} \vdash \psi$ , $\Gamma \vdash \psi$ ; y si $\Gamma \vdash \varphi$ , algún subconjunto finito de $\Gamma$ basta.
  Usa: 1. Sistema, deducción e identidad. Se demuestra en: Sistemas deductivos formales.
3. Teorema de deducción y equivalencia probada. $\Gamma \cup \{\varphi\} \vdash \psi$ si y solo si $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$ , por inducción fuerte sobre el número de líneas, con A1, A2 y la identidad. De ello, la equivalencia probada, $\varphi \dashv\vdash \psi$ , es reflexiva, simétrica y transitiva, y dos fórmulas equivalentes se deducen de los mismos conjuntos.
  Usa: 1. Sistema, deducción e identidad, 2. Propiedades estructurales. Se apoya en: B (Inducción fuerte), C (Axiomas de Łukasiewicz). Se demuestra en: Sistemas deductivos formales.
4. Límite del sistema de Łukasiewicz. Una marca de $0$ y $1$ definida por recursión cumple $m(\neg\varphi) = 1 - m(\varphi)$ y $m((\varphi \rightarrow \psi)) = 1 - m(\varphi) \left( 1 - m(\psi) \right)$ , y A1, A2, A3 y el modus ponens conservan la marca $1$ ; de donde $((v_{1} \downarrow v_{2}) \rightarrow \neg v_{1})$ no es teorema del sistema de Łukasiewicz, y $\{(v_{1} \downarrow v_{2})\} \nvdash (\neg\neg v_{1} \downarrow v_{2})$ ni a la inversa. Como toda marca da $1$ a la doble negación, el reemplazo debe postularse.
  Usa: 1. Sistema, deducción e identidad. Se apoya en: A (Lectura única y recursión), B (Inducción fuerte), C (Axiomas de Łukasiewicz). Se demuestra en: Sistemas deductivos formales.
Tramo 2 Las cuatro técnicas y la regla nueva
- Convertir un resultado desde premisas en un teorema y en una regla aplicable bajo cualquier conjunto de premisas.
- Encadenar implicaciones, reordenar antecedentes, poner y quitar dobles negaciones y elegir la forma de la contraposición que corresponde a cada implicación.
- Aplicar la regla del reemplazo de la doble negación, localizando las apariciones que ocultan las abreviaturas y repitiéndola en cada copia que crea una negación.
- Explicar con la marca por qué la regla se postula, y demostrar que el teorema de deducción vale con ella.
1. Del resultado a la regla. Si $\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\} \vdash \beta$ , entonces de $\Gamma \vdash \alpha_{1}$ , $\ldots$ , $\Gamma \vdash \alpha_{n}$ se sigue $\Gamma \vdash \beta$ , y $\vdash (\alpha_{1} \rightarrow (\alpha_{2} \rightarrow \cdots (\alpha_{n} \rightarrow \beta) \cdots))$ ; en particular, si $\alpha \dashv\vdash \alpha'$ , $\Gamma \vdash \alpha$ si y solo si $\Gamma \vdash \alpha'$ .
  Usa: 2. Propiedades estructurales. Se apoya en: E (Teorema de deducción). Se demuestra en: Cuatro técnicas de deducción.
2. Silogismo hipotético e intercambio. $\{(\varphi \rightarrow \psi), (\psi \rightarrow \chi)\} \vdash (\varphi \rightarrow \chi)$ , con una deducción de siete líneas desde A1 y A2; y $\{(\varphi \rightarrow (\psi \rightarrow \chi))\} \vdash (\psi \rightarrow (\varphi \rightarrow \chi))$ .
  Usa: 1. Sistema, deducción e identidad. Se apoya en: C (Axiomas de Łukasiewicz), E (Teorema de deducción), F (Del resultado a la regla). Se demuestra en: Cuatro técnicas de deducción.
3. Doble negación. $\vdash (\neg\neg\varphi \rightarrow \varphi)$ , aplicando A3 dos veces a una implicación que A1 fabrica desde $\neg\neg\varphi$ ; $\vdash (\varphi \rightarrow \neg\neg\varphi)$ , aplicando lo anterior a $\neg\varphi$ y A3; de donde $\varphi \dashv\vdash \neg\neg\varphi$ , ya en el sistema de Łukasiewicz.
  Se apoya en: C (Axiomas de Łukasiewicz), E (Teorema de deducción). Se demuestra en: Cuatro técnicas de deducción.
4. Reemplazo de la doble negación. Se postula la regla RDN, porque la marca da $1$ a la doble negación y no al reemplazo dentro de una negación conjunta. Si $\chi'$ resulta de $\chi$ por la regla, $\chi \dashv\vdash \chi'$ ; en particular, $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash (\neg\neg\varphi \downarrow \psi)$ y $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash (\varphi \downarrow \neg\neg\psi)$ .
  Usa: 3. Teorema de deducción y equivalencia probada, 4. Límite del sistema de Łukasiewicz. Se apoya en: G (Doble negación). Se demuestra en: Cuatro técnicas de deducción.
5. Teorema de deducción en el sistema del curso. Presunción, monotonía, corte y carácter finito valen con la regla nueva, y también $\Gamma \cup \{\varphi\} \vdash \psi$ si y solo si $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$ : en el caso nuevo, como $(\varphi \rightarrow \chi)$ es $((\neg\varphi \downarrow \chi) \downarrow (\neg\varphi \downarrow \chi))$ , la regla se aplica dos veces, una en cada copia de $\chi$ . De ello, $\vdash ((\varphi \downarrow \psi) \rightarrow (\neg\neg\varphi \downarrow \psi))$ y su recíproca son teoremas.
  Usa: 2. Propiedades estructurales, 3. Teorema de deducción y equivalencia probada. Se apoya en: B (Inducción fuerte), D (Reemplazo de la doble negación). Se demuestra en: Cuatro técnicas de deducción.
6. Contraposición. $(\varphi \rightarrow \psi) \dashv\vdash (\neg\psi \rightarrow \neg\varphi)$ , $(\neg\varphi \rightarrow \psi) \dashv\vdash (\neg\psi \rightarrow \varphi)$ y $(\varphi \rightarrow \neg\psi) \dashv\vdash (\psi \rightarrow \neg\varphi)$ : los miembros cambian de lado, y cada uno cambia de signo al pasar.
  Usa: 6. Silogismo hipotético e intercambio. Se apoya en: C (Axiomas de Łukasiewicz), G (Doble negación), F (Del resultado a la regla). Se demuestra en: Cuatro técnicas de deducción.
Tramo 3 Conectores y reemplazo
- Desplegar las abreviaturas para decidir si dos expresiones designan la misma cadena o fórmulas cuya equivalencia exige una deducción.
- Traducir la negación conjunta a la negación y la implicación con el lema fundamental.
- Trasladar una equivalencia al interior de una fórmula con el reemplazo de equivalentes, distinguirlo de la regla del reemplazo de la doble negación y encadenar equivalencias.
- Demostrar las cinco simetrías en el orden que imponen las definiciones.
1. Lema fundamental. $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash \neg(\neg\varphi \rightarrow \psi)$ : como $\neg(\neg\varphi \rightarrow \psi)$ es $\neg\neg(\neg\neg\varphi \downarrow \psi)$ , la regla RDN pone la doble negación interior y la doble negación, la exterior; en sentido inverso, la doble negación y la regla las quitan.
  Se apoya en: D (Reemplazo de la doble negación), G (Doble negación). Se demuestra en: Las simetrías de los conectores.
2. Reemplazo de equivalentes. Si $\varphi \dashv\vdash \varphi'$ , entonces $\neg\varphi \dashv\vdash \neg\varphi'$ , $(\varphi \rightarrow \psi) \dashv\vdash (\varphi' \rightarrow \psi)$ y $(\psi \rightarrow \varphi) \dashv\vdash (\psi \rightarrow \varphi')$ ; con el lema fundamental, lo mismo a ambos lados de la negación conjunta, y de ahí, de la disyunción y de la conjunción. A diferencia de la regla RDN, admite equivalentes cualesquiera.
  Usa: 6. Silogismo hipotético e intercambio, 10. Contraposición, 11. Lema fundamental. Se apoya en: E (Teorema de deducción). Se demuestra en: Las simetrías de los conectores.
3. Formas alternativas. $(\varphi \vee \psi) \dashv\vdash (\neg\varphi \rightarrow \psi)$ , con dos aplicaciones de la regla RDN, una en cada copia que crea la negación exterior; $(\varphi \wedge \psi) \dashv\vdash (\neg\varphi \downarrow \neg\psi)$ , por la doble negación; y $(\varphi \wedge \psi)$ es la misma cadena que $\neg(\varphi \rightarrow \neg\psi)$ .
  Se apoya en: D (Reemplazo de la doble negación), G (Doble negación). Se demuestra en: Las simetrías de los conectores.
4. Las cinco simetrías. $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash (\psi \downarrow \varphi)$ , por el lema fundamental y la contraposición; de ella, sucesivamente, las simetrías de $\vee$ , $\wedge$ , $\leftrightarrow$ y $\veebar$ , cada una con la anterior, llevada con el reemplazo bajo la negación cuando hace falta.
  Usa: 11. Lema fundamental, 10. Contraposición. Se apoya en: H (Reemplazo de equivalentes). Se demuestra en: Las simetrías de los conectores.
Tramo 4 Las reglas clásicas y las leyes
- Demostrar con premisas la introducción y la eliminación de la disyunción y de la conjunción, el tercero excluido y la no contradicción.
- Demostrar la explosión, la reducción al absurdo y la prueba por casos con premisas, y explicar por qué no bastan sin ellas.
- Demostrar por deducción las leyes de De Morgan, sus variantes y las leyes de distribución en sus dos sentidos.
- Transformar fórmulas en formas normales sencillas mediante cadenas de equivalencias justificadas.
1. Reglas de los conectores. Con cualquier $\Gamma$ : de $\varphi$ se sigue $(\varphi \vee \psi)$ ; de $(\varphi \vee \psi)$ y $\neg\varphi$ , $\psi$ ; de $\varphi$ y $\psi$ , $(\varphi \wedge \psi)$ ; de $(\varphi \wedge \psi)$ , $\varphi$ y $\psi$ ; además, $\vdash (\varphi \vee \neg\varphi)$ y $\vdash \neg(\varphi \wedge \neg\varphi)$ .
  Usa: 1. Sistema, deducción e identidad, 6. Silogismo hipotético e intercambio, 10. Contraposición, 13. Formas alternativas, 14. Las cinco simetrías. Se apoya en: C (Axiomas de Łukasiewicz), E (Teorema de deducción), F (Del resultado a la regla), G (Doble negación). Se demuestra en: Las técnicas de la lógica clásica.
2. Explosión y reducción al absurdo. Si $\Gamma \vdash \varphi$ y $\Gamma \vdash \neg\varphi$ , entonces $\Gamma \vdash \psi$ para toda $\psi$ ; si $\Gamma \cup \{\neg\varphi\}$ deduce $\psi$ y $\neg\psi$ , entonces $\Gamma \vdash \varphi$ ; y si $\Gamma \cup \{\varphi\}$ los deduce, $\Gamma \vdash \neg\varphi$ .
  Usa: 1. Sistema, deducción e identidad, 15. Reglas de los conectores. Se apoya en: C (Axiomas de Łukasiewicz), E (Teorema de deducción), G (Doble negación). Se demuestra en: Las técnicas de la lógica clásica.
3. Prueba por casos. Si $\Gamma \cup \{\varphi\} \vdash \psi$ y $\Gamma \cup \{\neg\varphi\} \vdash \psi$ , entonces $\Gamma \vdash \psi$ ; y si $\Gamma \cup \{\varphi\} \vdash \chi$ , $\Gamma \cup \{\psi\} \vdash \chi$ y $\Gamma \vdash (\varphi \vee \psi)$ , entonces $\Gamma \vdash \chi$ .
  Usa: 10. Contraposición, 15. Reglas de los conectores, 16. Explosión y reducción al absurdo. Se apoya en: E (Teorema de deducción). Se demuestra en: Las técnicas de la lógica clásica.
4. Leyes de De Morgan. $\neg(\varphi \wedge \psi) \dashv\vdash (\neg\varphi \vee \neg\psi)$ , por la definición y la doble negación; $\neg(\varphi \vee \psi) \dashv\vdash (\neg\varphi \wedge \neg\psi)$ , con una aplicación de la regla RDN en cada argumento de la negación conjunta; de donde $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash (\neg\varphi \wedge \neg\psi)$ y $\neg(\varphi \rightarrow \psi) \dashv\vdash (\varphi \wedge \neg\psi)$ .
  Se apoya en: D (Reemplazo de la doble negación), G (Doble negación), H (Reemplazo de equivalentes). Se demuestra en: Leyes de De Morgan y de distribución.
5. Leyes de distribución. $(\varphi \wedge (\psi \vee \chi)) \dashv\vdash ((\varphi \wedge \psi) \vee (\varphi \wedge \chi))$ y $(\varphi \vee (\psi \wedge \chi)) \dashv\vdash ((\varphi \vee \psi) \wedge (\varphi \vee \chi))$ , cada una en sus dos sentidos por casos; con las simetrías, también por la derecha.
  Usa: 14. Las cinco simetrías, 15. Reglas de los conectores, 17. Prueba por casos. Se apoya en: H (Reemplazo de equivalentes). Se demuestra en: Leyes de De Morgan y de distribución.

Hacia la semántica. La cadena se detiene donde la deducción alcanza todas las técnicas con que razona la matemática. Queda por saber si lo que se deduce es exactamente lo que es verdadero en toda interpretación: la unidad siguiente definirá la verdad, y la última comparará ambas nociones.