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Topos Uranos
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Operaciones básicas con números naturales y relaciones de orden

Resumen

Esta clase define la suma, el producto y la potencia de números naturales a partir del sucesor de los axiomas de Peano, con el teorema de recursión, que garantiza que las definiciones recursivas determinan una única operación; admite su parte de existencia, demuestra por inducción su parte de unicidad, y deduce sus propiedades: conmutatividad, asociatividad, distributividad y cancelación. Define después la relación de orden mediante la suma, con sus propiedades de tricotomía, transitividad y monotonía, y las operaciones inversas, la resta y la división, junto con las condiciones en que existen. El principio de inducción es el instrumento de todas las demostraciones.

Objetivos de aprendizaje

  1. Enunciar el teorema de recursión y escribir con él las definiciones recursivas de la suma, el producto y la potencia de números naturales.
  2. Demostrar por inducción propiedades de las operaciones a partir de sus definiciones.
  3. Definir el orden de los naturales mediante la suma y aplicar sus propiedades de tricotomía, transitividad y monotonía.
  4. Reconocer cuándo existen la resta y la división de dos naturales, y operar con ellas sin salir de los naturales.

La suma

Las operaciones con números naturales son conocidas desde la escuela; aquí se trata de fundarlas con precisión matemática. En la clase sobre los axiomas de Peano se definieron los naturales a partir del 11 y de la operación sucesor, que asigna a cada natural nn el siguiente, S(n)S(n). La suma se define a partir del sucesor mediante dos reglas: sumar 11 es tomar el sucesor, y sumar el sucesor de mm es tomar el sucesor de la suma con mm.

n+1=S(n),n+S(m)=S(n+m)n + 1 = S(n), \qquad n + S(m) = S(n + m)

Una definición de esta clase se llama recursiva: la primera regla fija el valor para 11 y la segunda reduce cada caso al anterior. Ahora bien, que dos reglas así definan efectivamente una operación encierra dos afirmaciones distintas: que existe una función que las cumple para todos los naturales (existencia) y que no hay dos funciones distintas que las cumplan (unicidad). Ambas forman el teorema de recursión, debido a Dedekind: este curso admite la parte de la existencia, como se explica después del recuadro, y demuestra la de la unicidad. Se enuncia en una forma general para servir también al producto, a la potencia y a las definiciones recursivas de las clases siguientes.

Hecho admitido (teorema de recursión). Sean XX un conjunto y cc un elemento de XX, y supongamos dada, para cada natural nn, una regla gng_n que asigna a cada elemento de XX otro elemento de XX. Entonces existe una función ff de N\mathbb{N} en XX tal que f(1)=cf(1) = c y f(S(n))=gn(f(n))f(S(n)) = g_n(f(n)) para todo natural nn, y esa función es única.

La existencia se admite en este curso sin demostración. Su prueba exige construir la función ff como un conjunto de pares: el menor conjunto de pares que contiene a (1,c)(1, c) y que, con cada par (n,x)(n, x), contiene a (S(n),gn(x))(S(n), g_n(x)); y verificar después, por inducción, que a cada natural le corresponde en él un único segundo elemento. Esa construcción pertenece a la teoría de conjuntos y no aporta nada a la aritmética que sigue. La unicidad, en cambio, es una consecuencia directa del quinto axioma de Peano.

LemaUnicidad de la función definida por recursión

Si dos funciones ff y hh de N\mathbb{N} en XX cumplen las dos condiciones del teorema de recursión, entonces son iguales. La figura representa los valores de ambas sobre los primeros naturales.

Demostración

  1. A={n∈N:f(n)=h(n)}\dato{A}{A = \{ n \in \mathbb{N} : f(n) = h(n) \}}

    Sea AA el conjunto de los naturales en que las dos funciones coinciden. Basta probar que AA es el conjunto de todos los naturales.

  2. f(1)=c=h(1)f(1) = \resaltar{c} = h(1)

    El 11 pertenece a AA, porque ambas funciones valen cc en 11.

  3. f(S(k))=gk(f(k))=gk(h(k))=h(S(k))f(S(k)) = g_k(\resaltar{f(k)}) = g_k(\resaltar{h(k)}) = h(S(k))

    Si kk pertenece a AA, también S(k)S(k): ambas funciones aplican la misma regla gkg_k al mismo valor.

  4. A=N,(∀n∈N) (f(n)=h(n))A = \mathbb{N}, \quad (\forall n \in \mathbb{N})\,(f(n) = h(n))

    Por el quinto axioma de Peano, AA es el conjunto de todos los naturales: las dos funciones son iguales.

La suma se obtiene del teorema fijando el primer sumando nn y tomando X=NX = \mathbb{N}, c=S(n)c = S(n) y, para todo mm, la regla gmg_m que asigna a cada natural su sucesor: la función ff que el teorema proporciona es la que asigna a cada mm el número n+mn + m, y las dos reglas de la suma son las dos condiciones del teorema. Del mismo modo, con c=nc = n y la regla que suma nn, se obtiene el producto, y con c=bc = b y la regla que multiplica por bb, la potencia. Sumar mm equivale, en definitiva, a aplicar mm veces el sucesor.

EjemploDos más dos son cuatro

La afirmación más conocida de la aritmética es un teorema que se demuestra con las dos reglas de la suma y los nombres 2=S(1)2 = S(1), 3=S(2)3 = S(2) y 4=S(3)4 = S(3).

Demostración

  1. 2+2=2+S(1)2 + 2 = 2 + S(1)

    Escribimos el segundo sumando como sucesor de 11.

  2. 2+S(1)=S(2+1)2 + S(1) = S(2 + 1)

    Por la segunda regla, sumar un sucesor es tomar el sucesor de la suma.

  3. S(2+1)=S(S(2))S(2 + 1) = S(S(2))

    Por la primera regla, sumar 11 es tomar el sucesor.

  4. S(S(2))=S(3)=4S(S(2)) = S(3) = 4

    Como S(2)=3S(2) = 3 y S(3)=4S(3) = 4, se obtiene el resultado.

De las reglas de la suma se deducen, por inducción, sus propiedades. Para todos los naturales aa, bb y cc:

  1. Conmutatividad: a+b=b+aa + b = b + a.
  2. Asociatividad: (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c). Por eso puede escribirse a+b+ca + b + c sin paréntesis.
  3. Cancelación: si a+c=b+ca + c = b + c, entonces a=ba = b.

La conmutatividad se demostró en el problema resuelto 5 de la clase sobre los axiomas de Peano, y la asociatividad es allí uno de los problemas propuestos. La cancelación se demuestra en el problema resuelto 1 de esta clase.