Τελικός απολογισμός του Λογισμού I

Τι έθεσε ως σκοπό ο κύκλος μαθημάτων

Τρία αρχαία προβλήματα οδήγησαν στον λογισμό: η ταχύτητα ενός κινητού σε μια στιγμή, η κλίση της εφαπτομένης σε μια καμπύλη και το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου σχήματος. Ο κύκλος πήρε τα δύο πρώτα, που οδηγούν στην παράγωγο, και γεννήθηκε με έναν γενικό σκοπό: να θεμελιώσει τον διαφορικό λογισμό των συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής πάνω στον ορισμό του ορίου και στο αξίωμα πληρότητας, και να συναγάγει από αυτά, με πλήρεις αποδείξεις, όσα μας επιτρέπει η παράγωγος να γνωρίζουμε για τη μεταβολή, τη μορφή και τα ακρότατα μιας συνάρτησης. Το μάθημα για το πρόγραμμα σπουδών ανέπτυξε αυτόν τον σκοπό σε επτά γενικούς μαθησιακούς στόχους, τους οποίους αξίζει να έχουμε μπροστά μας με την αρίθμηση με την οποία τους αναφέρει το σχήμα:

1. Να αποδεικνύει με ρητό παραγωγικό συλλογισμό: να γράφει τους ορισμούς ως προτάσεις με ποσοδείκτες και να τους αρνείται, να επιχειρηματολογεί με έψιλον και δέλτα, να συνάγει τα θεωρήματα ύπαρξης από το αξίωμα πληρότητας, να δείχνει με αντιπαραδείγματα ότι μια παραδοχή δεν περισσεύει και να διακρίνει όσα συνάγονται από όσα γίνονται δεκτά.
2. Να ορίζει και να υπολογίζει όρια πεπερασμένα, πλευρικά, στο άπειρο και άπειρα, να αίρει τις απροσδιόριστες μορφές, και με τον κανόνα του Λοπιτάλ, και να βρίσκει με αυτά τις ασύμπτωτες και τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.
3. Να αποφαίνεται για τη συνέχεια μιας συνάρτησης, να ταξινομεί τις ασυνέχειές της και να εφαρμόζει τα θεωρήματα του Μπολτσάνο, ενδιάμεσων τιμών και του Βάιερστρας, που στηρίζονται στο αξίωμα πληρότητας.
4. Να ορίζει την παράγωγο, να τη χαρακτηρίζει μέσω της γραμμικής προσέγγισης και μέσω της παραγοντοποίησης του Καραθεοδωρή, να αποδεικνύει τους κανόνες της και να παραγωγίζει με αυτούς κάθε είδους συναρτήσεις, προσδιορίζοντας το πεδίο ορισμού κάθε παραγώγου.
5. Να αποδεικνύει και να εφαρμόζει τα θεωρήματα του Φερμά, του Ρολ, του Λαγκράνζ και του Κωσί, και να μελετά με αυτά τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα, την καμπή και την καμπυλότητα μιας γραφικής παράστασης.
6. Να προσεγγίζει τιμές και ρίζες με το διαφορικό, τη διχοτόμηση και τη μέθοδο Νεύτωνα-Ράφσον, να φράσσει το σφάλμα κάθε προσέγγισης και να αναγνωρίζει πότε μια μέθοδος αποτυγχάνει.
7. Να μοντελοποιεί με την παράγωγο ρυθμούς μεταβολής, συσχετισμένους ρυθμούς μεταβολής και προβλήματα βελτιστοποίησης, και να επικοινωνεί γραπτώς διατυπώσεις, υπολογισμούς και αποδείξεις.

Κάθε μάθημα του κύκλου δήλωσε, επιπλέον, τους δικούς του ειδικούς στόχους. Τα μαθήματα δεν λένε ποιον γενικό στόχο υπηρετεί καθένας από αυτούς· η αντιστοιχία αυτή είναι μια ανάγνωση που γίνεται απ’ έξω, με την ίδια μέθοδο όπως στους άλλους κύκλους μαθημάτων του ιστότοπου. Κάθε ειδικός στόχος αντιστοιχίζεται σε έναν κύριο γενικό στόχο και, αν τους αγγίζει, σε άλλους δευτερεύοντες· καθένας μετρά ολόκληρος στον κύριο και κατά το ήμισυ σε κάθε δευτερεύοντα, και το μάθημα συνδέεται ως κύριο με τον γενικό στόχο που συγκεντρώνει το μεγαλύτερο βάρος και ως δευτερεύον με όσους από τους υπόλοιπους λαμβάνουν κάποιο. Αν δύο στόχοι ισοβαθμούν, αποφασίζει εκείνος με τον μικρότερο αριθμό. Οι στόχοι των εισαγωγών που απλώς περιγράφουν τη διαδρομή της ενότητας δεν αντιστοιχίζονται σε κανέναν. Οι συνθέσεις ακολουθούν ένα κριτήριο κοινό σε όλους τους κύκλους μαθηματικών του ιστότοπου: κύριος στόχος τους είναι ο στόχος 1, επειδή ο πυρήνας τους ανασυνθέτει την αποδεικτική αλυσίδα της ενότητας. Τέλος, το μάθημα για τα προβλήματα βελτιστοποίησης έχει ως κύριο τον στόχο 7, αν και με στενό περιθώριο ο κανόνας θα έδινε τον 5, επειδή το δηλωμένο αντικείμενό του είναι η διατύπωση: να μεταφραστεί το πρόβλημα, να οριστεί το πεδίο ορισμού και να αιτιολογηθεί ότι το ακρότατο που βρέθηκε είναι ολικό. Αν αυτό ισχύει, ολόκληρος ο κύκλος παίρνει τη μορφή μιας ραχοκοκαλιάς: το κεφάλι είναι ο γενικός σκοπός· η στήλη, η σειρά των ενοτήτων, καθεμιά με το κομμάτι της· κάθε μάθημα είναι ένας κόμβος αυτού του κομματιού, συνδεδεμένος με τον κύριο στόχο του, και οι επτά στόχοι αιωρούνται γύρω από τη στήλη, στηριγμένοι στα μαθήματα που τους τροφοδοτούν.