Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Συναρτήσεις με ρίζες: πεδίο ορισμού, πρόσημα, γραφική παράσταση

Περίληψη

Αυτό το μάθημα επεκτείνει στις συναρτήσεις με ρίζες τη μέθοδο των πινάκων προσήμων και της διαίρεσης πολυωνύμων: προσδιορίζει το πεδίο ορισμού τους όταν υπάρχουν ρίζες στον αριθμητή και στον παρονομαστή, μελετά το πρόσημό τους και τη συμπεριφορά τους στα άκρα του πεδίου ορισμού, όπου η γραφική παράσταση τελειώνει σε ένα σημείο ή πλησιάζει μια κατακόρυφη ασύμπτωτη, και βρίσκει τις ασύμπτωτές τους για μεγάλες τιμές της μεταβλητής βγάζοντας από κάθε ρίζα τη μεγαλύτερη δύναμη του xx, με προσοχή στις περιπτώσεις όπου το xx είναι θετικό και το xx αρνητικό. Τελειώνει με το σύνολο τιμών, που προσδιορίζεται ακριβώς όταν το επιτρέπουν τα όρια στα άκρα, και με την πλήρη ανάλυση συναρτήσεων των οποίων η υπόρριζη ποσότητα είναι τριώνυμο βαθμού 88.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να προσδιορίζει το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης με ρίζες στον αριθμητή και στον παρονομαστή με πίνακες προσήμων και με την παραγοντοποίηση τριωνύμων βαθμού 2n2n.
  2. Να μελετά το πρόσημο μιας συνάρτησης με ρίζες και τη συμπεριφορά της στα άκρα του πεδίου ορισμού, διακρίνοντας τα άκρα όπου η γραφική παράσταση τελειώνει από τις κατακόρυφες ασύμπτωτες.
  3. Να βρίσκει τις ασύμπτωτες μιας συνάρτησης με ρίζες όταν το xx τείνει στο ∞\infty και στο −∞-\infty, εξετάζοντας χωριστά τις θετικές και τις αρνητικές τιμές της μεταβλητής.
  4. Να σχεδιάζει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με ρίζες και να προσδιορίζει το σύνολο τιμών της όταν το επιτρέπει η ανάλυση, αναγνωρίζοντας τις περιπτώσεις που απαιτούν τις τεχνικές του διαφορικού λογισμού.
  5. Να αναλύει συναρτήσεις με ρίζες που περιγράφουν εφαρμοσμένα μεγέθη, όπως η διαφορά των αποστάσεων από δύο κεραίες ή ο παράγοντας Λόρεντς της σχετικότητας, και να ερμηνεύει μέσα στο πλαίσιο το πεδίο ορισμού, τις ασύμπτωτες και το σύνολο τιμών τους.

Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης με ρίζες

Στο μάθημα για τις αλγεβρικές συναρτήσεις διατυπώθηκαν οι κανόνες που καθορίζουν το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης που δίνεται με έναν τύπο: κανένας παρονομαστής δεν μπορεί να ισούται με μηδέν, και η υπόρριζη ποσότητα μιας ρίζας άρτιας τάξης δεν μπορεί να είναι αρνητική. Όταν η ρίζα βρίσκεται σε παρονομαστή, οι δύο κανόνες ισχύουν ταυτόχρονα, και η υπόρριζη ποσότητά της πρέπει να είναι γνησίως θετική· όταν βρίσκεται στον αριθμητή, αρκεί να είναι μη αρνητική. Οι ρίζες περιττής τάξης δεν επιβάλλουν καμία συνθήκη, εκτός από το να μη μηδενίζονται όταν βρίσκονται σε παρονομαστή.

Αν οι υπόρριζες ποσότητες είναι πολυώνυμα βαθμού μεγαλύτερου από 11, κάθε συνθήκη είναι μια πολυωνυμική ανίσωση, που λύνεται με παραγοντοποίηση και με την κατασκευή ενός πίνακα προσήμων, όπως στο μάθημα για τους πίνακες προσήμων και τις ανισώσεις. Οι τετραγωνικοί παράγοντες βρίσκονται με τον τύπο επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης, και τα τριώνυμα της μορφής ax2n+bxn+ca x^{2n} + b x^n + c ανάγονται σε τετραγωνικά με την αλλαγή μεταβλητής u=xnu = x^n, όπως στο μάθημα για την παραγοντοποίηση του δευτεροβάθμιου πολυωνύμου. Ένας τετραγωνικός παράγοντας με αρνητική διακρίνουσα διατηρεί πάντα το πρόσημο του μεγιστοβάθμιου συντελεστή του, οπότε δεν προσθέτει κρίσιμα σημεία και μπορεί να αφαιρεθεί από τον πίνακα.

Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης με ρίζες προκύπτει αν ληφθούν υπόψη όλες οι συνθήκες μαζί: μη αρνητική υπόρριζη ποσότητα για κάθε ρίζα άρτιας τάξης του αριθμητή, θετική υπόρριζη ποσότητα για κάθε ρίζα άρτιας τάξης ενός παρονομαστή, και παρονομαστές διάφοροι του μηδενός. Κάθε συνθήκη λύνεται με έναν πίνακα προσήμων, και το πεδίο ορισμού είναι η τομή των συνόλων που προκύπτουν.