Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Εφαρμογές των παραγώγων: σύνθεση και προκλήσεις

Περίληψη

Αυτό το μάθημα κλείνει την ενότητα για τις εφαρμογές των παραγώγων και, μαζί της, τον κύκλο μαθημάτων. Συγκεντρώνει σε μία αποδεικτική αλυσίδα όσα απέδειξαν τα εννέα μαθήματα της ενότητας: το θεώρημα του Βάιερστρας, που προκύπτει από το αξίωμα πληρότητας όπως εκείνο του Μπολτσάνο, και το θεώρημα του Φερμά, που προκύπτει από το πρόσημο της παραγώγου σε σημείο, δίνουν το θεώρημα του Ρολ· από αυτό προκύπτουν τα θεωρήματα μέσης τιμής του Λαγκράνζ και του Κωσί, και από αυτά ο κανόνας του Λοπιτάλ, η μονοτονία από το πρόσημο της παραγώγου, τα κριτήρια για τα ακρότατα, η κυρτότητα, η βελτιστοποίηση και το φράγμα του σφάλματος της μεθόδου Νεύτωνα-Ράφσον. Εξηγεί πώς η ενότητα στηρίζεται στις δύο ενότητες που προηγήθηκαν και στην Άλγεβρα και γεωμετρία, και τι αφήνει στον κύκλο μαθημάτων που ακολουθεί: το ολοκλήρωμα, τις ακολουθίες και τις σειρές, και το πολυώνυμο του Τέιλορ. Τελειώνει με μια τελική αξιολόγηση, παράλληλη προς την αρχική, και με δέκα προκλήσεις, δυσκολότερες από τα προβλήματα των μαθημάτων, καθεμία από τις οποίες συνδυάζει αποτελέσματα από πολλά από αυτά και από τις ενότητες που προηγήθηκαν.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να εκτίθενται με λογική σειρά τα κύρια θεωρήματα της ενότητας, με ένδειξη των αποτελεσμάτων από τα οποία εξαρτάται καθένα και των αποδείξεων στις οποίες ξαναχρησιμοποιούνται το θεώρημα του Βάιερστρας, το θεώρημα μέσης τιμής και η μονοτονία από το πρόσημο της παραγώγου.
  2. Να διακρίνεται ό,τι η ενότητα δέχεται από ό,τι αποδεικνύει, να αναγνωρίζονται οι παραδοχές κάθε αποτελέσματος και να επισημαίνεται πού παρεμβαίνει το αξίωμα πληρότητας.
  3. Να συσχετίζονται τα αποτελέσματα της ενότητας με τις ενότητες για τα όρια και τις παραγώγους, με την Άλγεβρα και γεωμετρία και με όσα μελετά ο Λογισμός II.
  4. Να λύνονται μη τετριμμένα προβλήματα που συνδυάζουν την ύπαρξη ακροτάτων, τη μέση τιμή, τον κανόνα του Λοπιτάλ, τη μονοτονία, την κυρτότητα, την καμπυλότητα, τη βελτιστοποίηση και τη μέθοδο Νεύτωνα-Ράφσον.

Όσα πέτυχε η ενότητα

Οι δύο ενότητες που προηγήθηκαν εργάστηκαν σε ένα σημείο: το όριο σε σημείο, η συνέχεια σε σημείο, η παράγωγος σε σημείο. Αυτή η ενότητα πέρασε από το σημειακό στο ολικό, και η γέφυρα ήταν το αξίωμα πληρότητας. Το θεώρημα του Βάιερστρας, που αποδείχθηκε με το supremum όπως εκείνο του Μπολτσάνο, εξασφαλίζει ότι μια συνάρτηση συνεχής σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο· το θεώρημα του Φερμά, που προκύπτει από το πρόσημο της παραγώγου σε σημείο, λέει πού μπορούν να βρίσκονται τα εσωτερικά ακρότατα· και μαζί δίνουν το θεώρημα του Ρολ, από το οποίο έπονται τα δύο θεωρήματα μέσης τιμής. Το θεώρημα του Λαγκράνζ γράφεται ως εξής:

f(b)−f(a)=f′(c)(b−a),c∈(a,b)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a), \qquad c \in \ioo{a}{b}

Αυτή η ισότητα μετατρέπει μια πληροφορία για την παράγωγο σε όλα τα σημεία ενός διαστήματος σε πληροφορία για τις τιμές της συνάρτησης, και σχεδόν όλα τα υπόλοιπα της ενότητας είναι μια ανάγνωσή της: η μονοτονία, τα κριτήρια για τα ακρότατα, η κυρτότητα, ο κανόνας του Λοπιτάλ, μέσω της εκδοχής του Κωσί, και το φράγμα του σφάλματος της μεθόδου Νεύτωνα-Ράφσον. Οι αποδείξεις παραπέμπουν σε αυτά τα θεωρήματα αντί να ξαναφτιάχνουν το επιχείρημα.

Η ύπαρξη και η μέση τιμή

Το μάθημα για το θεώρημα του Βάιερστρας απέδειξε πρώτα το θεώρημα φραγής, παίρνοντας το supremum των σημείων ως τα οποία η συνάρτηση είναι φραγμένη και προχωρώντας πέρα από αυτό με την τοπική φραγή που δίνει η συνέχεια· έπειτα, ότι το supremum των τιμών επιτυγχάνεται, γιατί, αν δεν επιτυγχανόταν, το αντίστροφο της απόστασης των τιμών από αυτό θα ήταν συνεχές και μη φραγμένο. Έδειξε με αντιπαραδείγματα ότι καμία παραδοχή δεν περισσεύει (ένα ανοικτό διάστημα, ένα μη φραγμένο, μια ασυνεχής συνάρτηση και οι ρητοί, όπου λείπει η πληρότητα), συνήγαγε με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών ότι η εικόνα ενός κλειστού και φραγμένου διαστήματος είναι άλλο διάστημα του ίδιου είδους, και ότι μια συνάρτηση με ίσες τιμές στα άκρα ενός διαστήματος παρουσιάζει ακρότατο στο εσωτερικό του. Το μάθημα για τα θεωρήματα των Φερμά, Ρολ, Λαγκράνζ και Κωσί όρισε τα τοπικά ακρότατα ως ποσοδεικτούμενες προτάσεις, απέδειξε με το πρόσημο της παραγώγου σε σημείο ότι η παράγωγος μηδενίζεται σε ένα εσωτερικό τοπικό ακρότατο, και συνέδεσε διαδοχικά τα θεωρήματα του Ρολ, μέσης τιμής του Λαγκράνζ και μέσης τιμής του Κωσί, δείχνοντας ότι οι παραδοχές τους είναι αναγκαίες. Τα πορίσματά του ήταν τα πρώτα ολικά συμπεράσματα: μια συνάρτηση με μηδενική παράγωγο σε ένα διάστημα είναι σταθερή, δύο συναρτήσεις με την ίδια παράγωγο διαφέρουν κατά μια σταθερά, ένα φράγμα της παραγώγου φράσσει τις προσαυξήσεις, ανάμεσα σε δύο ρίζες μιας συνάρτησης υπάρχει μια ρίζα της παραγώγου της, και το όριο της παραγώγου, αν υπάρχει, είναι η παράγωγος. Το μάθημα για τον κανόνα του Λοπιτάλ τον απέδειξε με το θεώρημα του Κωσί, για τη μορφή 00\frac{0}{0} και, με περισσότερη προσοχή, για τη μορφή ∞∞\frac{\infty}{\infty}, από τη μία πλευρά ενός σημείου, στο σημείο και στο άπειρο· ανήγαγε σε αυτές τις μορφές 0⋅∞0 \cdot \infty, ∞−∞\infty - \infty, 1∞1^\infty, 000^0 και ∞0\infty^0, έδειξε ότι ο κανόνας δεν αποφαίνεται όταν το πηλίκο των παραγώγων δεν έχει όριο, επισήμανε ότι δεν χρησιμεύει για τα όρια με τα οποία υπολογίστηκαν οι παράγωγοι, και συνήγαγε από αυτόν το πόρισμα των μηδενικών παραγώγων σε σημείο, που συγκρίνει την προσαύξηση μιας συνάρτησης με μια δύναμη του x−ax - a.

Η μονοτονία, τα ακρότατα και η μορφή της γραφικής παράστασης

Το μάθημα για τη μονοτονία απέδειξε, με το θεώρημα μέσης τιμής, ότι μια μη αρνητική παράγωγος σε ένα διάστημα δίνει αύξουσα συνάρτηση, και μια θετική, γνησίως αύξουσα, και χαρακτήρισε τη γνήσια μονοτονία με μη αρνητική παράγωγο: η παράγωγος δεν πρέπει να μηδενίζεται σε ολόκληρο ένα διάστημα. Έτσι εκπληρώθηκαν οι υποσχέσεις της ενότητας για τις παραγώγους, όπως εκείνη ότι μια θετική παράγωγος σε ένα διάστημα αρκεί για να υπάρχει η αντίστροφη και να είναι παραγωγίσιμη. Όρισε τα κρίσιμα σημεία, απέδειξε το κριτήριο της πρώτης παραγώγου και το θεώρημα του Νταρμπού, σύμφωνα με το οποίο μια παράγωγος παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές ακόμη κι αν δεν είναι συνεχής, ώστε δεν έχει ασυνέχειες άλματος, και συνήγαγε ότι μια παράγωγος χωρίς ρίζες σε ένα διάστημα δεν αλλάζει πρόσημο. Το μάθημα για τα μέγιστα και ελάχιστα όρισε τα ολικά και τα γνήσια ακρότατα· απέδειξε το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου και, με τον κανόνα του Λοπιτάλ και χωρίς το πολυώνυμο του Τέιλορ, το κριτήριο των παραγώγων ανώτερης τάξης, που αποφαίνεται από την αρτιότητα της πρώτης τάξης με μη μηδενική παράγωγο· και αναζήτησε τα ολικά ακρότατα σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα ανάμεσα στα άκρα του διαστήματος και στα κρίσιμα σημεία, και σε ένα ανοικτό ή μη φραγμένο διάστημα με τα όρια στα άκρα και με τη μονοτονία, που δίνει επίσης ότι ένα τοπικό ακρότατο στο μοναδικό κρίσιμο σημείο είναι ολικό. Το μάθημα για την κοιλότητα και την κυρτότητα όρισε την κυρτότητα από τη θέση της γραφικής παράστασης ως προς τις χορδές της, με τη σύμβαση της ενότητας (κυρτή, κάτω από τις χορδές της), και απέδειξε ότι, για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση, το να είναι κυρτή ισοδυναμεί με το να έχει αύξουσα παράγωγο και με το να βρίσκεται η γραφική παράσταση πάνω από τις εφαπτόμενές της, και για μια δύο φορές παραγωγίσιμη, με το να μην είναι αρνητική η δεύτερη παράγωγος· όρισε τα σημεία καμπής, τα έκρινε από την αλλαγή προσήμου της δεύτερης παραγώγου ή από την τρίτη παράγωγο, έδειξε με το x4x^4 ότι μια μηδενική δεύτερη παράγωγος δεν αρκεί, και συνήγαγε την ανισότητα του Γένσεν και την ανισότητα γεωμετρικού και αριθμητικού μέσου. Το μάθημα για την καμπυλότητα όρισε τον εγγύτατο κύκλο ως εκείνον που έχει στο σημείο την ίδια τιμή, την ίδια παράγωγο και την ίδια δεύτερη παράγωγο με τη συνάρτηση· απέδειξε με την πεπλεγμένη παραγώγιση ότι υπάρχει και είναι μοναδικός όταν η δεύτερη παράγωγος δεν μηδενίζεται, με ακτίνα ρ=(1+f′(a)2)32∣f′′(a)∣\rho = \frac{\left(1 + f'(a)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{f''(a)}} και κέντρο πάνω στην κάθετη, από την πλευρά προς την οποία καμπυλώνεται η γραφική παράσταση, και έδειξε ότι αυτό το κέντρο είναι το όριο των σημείων τομής γειτονικών καθέτων.

Η βελτιστοποίηση και η προσέγγιση

Το μάθημα για τα προβλήματα βελτιστοποίησης καθόρισε μια μέθοδο σε πέντε στάδια (η μεταβλητή, η συνάρτηση, το πεδίο ορισμού, τα ολικά ακρότατα με την αιτιολόγησή τους και το συμπέρασμα), της οποίας το αποφασιστικό σημείο είναι να αιτιολογηθεί ότι το ακρότατο που βρέθηκε είναι ολικό: με το θεώρημα του Βάιερστρας αν το πεδίο ορισμού είναι κλειστό και φραγμένο, και αλλιώς με το πρόσημο της παραγώγου, την κυρτότητα ή τα όρια στα άκρα. Απέδειξε ότι μια συνάρτηση και η σύνθεσή της με μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση παρουσιάζουν τα ακρότατά τους στα ίδια σημεία, ότι το σημείο μιας γραφικής παράστασης που είναι πλησιέστερο σε ένα δοσμένο σημείο υπάρχει και βρίσκεται πάνω σε μια κάθετη, και συνήγαγε από τον ελάχιστο χρόνο τους νόμους της διάθλασης και της ανάκλασης. Το μάθημα για τη μέθοδο Νεύτωνα-Ράφσον αντικατέστησε τη γραφική παράσταση με την εφαπτομένη της για να προσεγγίσει μια ρίζα· αντιμετώπισε τις επαναλήψεις ως συνάρτηση ορισμένη στους φυσικούς, με τον ορισμό του ορίου στο άπειρο και χωρίς τη θεωρία των ακολουθιών· απέδειξε με την κυρτότητα και το infimum των επαναλήψεων ότι, από την κατάλληλη πλευρά, πλησιάζουν τη ρίζα χωρίς να την ξεπερνούν και συγκλίνουν σε αυτήν, και ότι από τη λάθος πλευρά η πρώτη επανάληψη μεταπηδά στην κατάλληλη πλευρά· έφραξε το σφάλμα με το θεώρημα μέσης τιμής, έδειξε τις αποτυχίες της μεθόδου (μια μηδενική παράγωγος, ένας κύκλος, επαναλήψεις που διαφεύγουν) και τη σύγκρινε με τη διχοτόμηση, που κερδίζει ένα δυαδικό ψηφίο σε κάθε διχοτόμηση, ενώ η μέθοδος Νεύτωνα-Ράφσον, κοντά σε μια απλή ρίζα, διπλασιάζει στα παραδείγματα το πλήθος των σωστών ψηφίων.

Όσα δεχόμαστε, όσα αποδεικνύουμε και όσα μένουν

Ο απολογισμός της ενότητας μπορεί να συνοψιστεί ως εξής:

  • Δεχόμαστε το αξίωμα πληρότητας, που η ενότητα χρησιμοποιεί άμεσα στο θεώρημα φραγής, στο θεώρημα του Βάιερστρας και στη σύγκλιση των επαναλήψεων Νεύτωνα-Ράφσον· τα θεωρήματα των ενοτήτων για τα όρια και για τις παραγώγους, ιδίως το θεώρημα του Μπολτσάνο, τη διατήρηση του προσήμου, τον τοπικό χαρακτήρα της παραγώγου και το πρόσημο της παραγώγου σε σημείο· και αποτελέσματα της Άλγεβρας και γεωμετρίας, όπως οι τριγωνομετρικοί τύποι, η ανισότητα sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x και οι νόμοι των εκθετών και των λογαρίθμων.
  • Αποδεικνύουμε γεγονότα που η ενότητα για τις παραγώγους είχε προαναγγείλει χωρίς να μπορεί να τα αποδείξει: ότι μια θετική παράγωγος σε ένα διάστημα δίνει αύξουσα συνάρτηση, ότι μια συνάρτηση με μηδενική παράγωγο σε ένα διάστημα είναι σταθερή και ότι το σφάλμα της προσέγγισης μέσω του διαφορικού μπορεί να φραχθεί· και η εφαπτομένη ευθεία γίνεται εργαλείο για να προσεγγίζονται ρίζες, για να συγκρίνεται η γραφική παράσταση με τον εαυτό της και για να μετριέται πόσο καμπυλώνεται.
  • Ξαναχρησιμοποιούμε τρία εργαλεία αντί να επαναλαμβάνουμε επιχειρήματα: το θεώρημα του Βάιερστρας, που δίνει τα ακρότατα· το θεώρημα μέσης τιμής, που μεταφράζει το πρόσημο της παραγώγου σε πληροφορία για τις τιμές· και τη μονοτονία από το πρόσημο της παραγώγου, που στηρίζει τα κριτήρια για τα ακρότατα και την κυρτότητα.
  • Μένει για τον Λογισμό II ό,τι απαιτεί περισσότερα από την παράγωγο: το ολοκλήρωμα, το μήκος τόξου, με το οποίο η καμπυλότητα διαβάζεται ως η ταχύτητα με την οποία στρέφεται η εφαπτομένη, η ομοιόμορφη συνέχεια, οι ακολουθίες και οι σειρές, και το πολυώνυμο του Τέιλορ· και για τον Λογισμό III, τα ακρότατα των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και η καμπυλότητα των παραμετρικών καμπυλών.

Το σχήμα που ακολουθεί ενώνει τα τρία τμήματα σε μία αλυσίδα. Κάθε κόμβος της στήλης είναι ένας ορισμός ή ένα θεώρημα, αριθμημένος κατά τη λογική σειρά και ενωμένος με ένα τόξο με τους κρίκους που προηγούνται και χρησιμοποιεί η απόδειξή του· γύρω τους αιωρούνται τα στηρίγματα, δηλαδή οι αρχές και τα εργαλεία στα οποία η αλυσίδα καταφεύγει ξανά και ξανά, καθένα ενωμένο με συνεχή γραμμή με τους κρίκους που στηρίζονται σε αυτό και με διακεκομμένη με τον κρίκο όπου θεμελιώνεται, εκτός από όσα προέρχονται από τις ενότητες που προηγήθηκαν ή από την Άλγεβρα και γεωμετρία, που σχεδιάζονται ως δακτύλιοι. Πατώντας ένα στήριγμα τονίζονται όλοι οι κρίκοι που το χρησιμοποιούν, και κάθε κρίκος παραπέμπει στο μάθημα όπου αποδεικνύεται.

Στηρίγματα της αλυσίδας

  • AΑξίωμα πληρότητας. Δεχόμαστε, από την Άλγεβρα και γεωμετρία I, ότι οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν πλήρες διατεταγμένο σώμα: κάθε μη κενό σύνολο πραγματικών αριθμών που είναι άνω φραγμένο έχει supremum, και κάθε μη κενό σύνολο που είναι κάτω φραγμένο έχει infimum. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • BΚληρονομιά της ενότητας 1. Αποτελέσματα που αποδείχθηκαν στην ενότητα για τα όρια και τη συνέχεια: η άλγεβρα των ορίων· τα πλευρικά όρια, τα όρια στο άπειρο και τα άπειρα όρια· η διατήρηση των ανισοτήτων· η συνέχεια των πράξεων και της σύνθεσης· η τοπική φραγή και η διατήρηση του προσήμου, για τα όρια και για τις συνεχείς συναρτήσεις· και τα αξιοσημείωτα όρια. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • CΚληρονομιά της ενότητας 2. Αποτελέσματα που αποδείχθηκαν στην ενότητα για τις παραγώγους: ο ορισμός της παραγώγου και οι πλευρικές παράγωγοι, ότι η παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι συνεχής, ο τοπικός χαρακτήρας της παραγώγου, οι κανόνες παραγώγισης και ο κανόνας της αλυσίδας, οι παράγωγοι των στοιχειωδών συναρτήσεων, η παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης και η πεπλεγμένη παραγώγιση, και οι παράγωγοι ανώτερης τάξης. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • DΕνδιάμεσες τιμές. Αποδείχθηκε με το supremum στην ενότητα για τις παραγώγους: αν η ff είναι συνεχής στο [a,b]\icc{a}{b} και τα f(a)f(a) και f(b)f(b) έχουν αντίθετα πρόσημα, η ff μηδενίζεται σε κάποιο σημείο του (a,b)\ioo{a}{b}, που είναι το θεώρημα του Μπολτσάνο· και η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης είναι διάστημα. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • EΤο πρόσημο της παραγώγου σε σημείο. Αποδείχθηκε στην ενότητα για τις παραγώγους: αν η ff ορίζεται σε ένα ανοικτό διάστημα και f′(a)>0f'(a) > 0, υπάρχει δ>0\delta > 0 τέτοιο ώστε f(x)<f(a)f(x) < f(a) αν a−δ<x<aa - \delta < x < a, και f(x)>f(a)f(x) > f(a) αν a<x<a+δa < x < a + \delta· δεν έπεται ότι η ff είναι αύξουσα κοντά στο aa. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • FΑκρότατα που επιτυγχάνονται. Μια συνάρτηση συνεχής σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα παρουσιάζει σε αυτό μέγιστο και ελάχιστο: το εργαλείο που εξασφαλίζει την ύπαρξη των ακροτάτων και των ενδιάμεσων σημείων των θεωρημάτων που ακολουθούν. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 2. Θεώρημα του Βάιερστρας.
  • GΜέση τιμή. Αν η ff είναι συνεχής στο [a,b]\icc{a}{b} και παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του (a,b)\ioo{a}{b}, υπάρχει cc στο (a,b)\ioo{a}{b} με f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a): μια πληροφορία για την παράγωγο σε όλα τα σημεία μετατρέπεται σε πληροφορία για τις τιμές. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 7. Θεώρημα μέσης τιμής του Λαγκράνζ.
  • HΜονοτονία μέσω της παραγώγου. Σε ένα διάστημα, μια μη αρνητική παράγωγος δίνει αύξουσα συνάρτηση, και μια θετική, γνησίως αύξουσα: το εργαλείο με το οποίο κρίνονται τα ακρότατα και η κυρτότητα. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 12. Μονοτονία από το πρόσημο της παραγώγου.

  1. Τμήμα 1 Η ύπαρξη και η μέση τιμή

    • Να αποδεικνύεται με το supremum ότι μια συνάρτηση συνεχής σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα είναι φραγμένη και παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο, και να δείχνεται ότι καμία παραδοχή δεν περισσεύει.
    • Να εντοπίζονται τα εσωτερικά τοπικά ακρότατα με το θεώρημα του Φερμά και να συνάγονται από αυτό και από το θεώρημα του Βάιερστρας τα θεωρήματα του Ρολ, του Λαγκράνζ και του Κωσί.
    • Να συνάγεται από τη μέση τιμή ότι μια μηδενική παράγωγος δίνει σταθερή συνάρτηση, να φράσσονται προσαυξήσεις και να μετριούνται ρίζες.
    • Να αποδεικνύεται με το θεώρημα του Κωσί ο κανόνας του Λοπιτάλ, να ανάγονται σε αυτόν οι άλλες απροσδιόριστες μορφές και να μη χρησιμοποιείται για τα όρια με τα οποία υπολογίστηκαν οι παράγωγοι.

    1. Θεώρημα φραγής. Αν η ff είναι συνεχής σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα [a,b]\icc{a}{b}, υπάρχει αριθμός KK τέτοιος ώστε ∣f(x)∣≤K\abs{f(x)} \leq K για κάθε xx του [a,b]\icc{a}{b}.

      Στηρίζεται σε: A (Αξίωμα πληρότητας), B (Κληρονομιά της ενότητας 1). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεώρημα ακρότατων τιμών του Βάιερστρας.

    2. Θεώρημα του Βάιερστρας. Αν η ff είναι συνεχής σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα [a,b]\icc{a}{b}, υπάρχουν x1x_1 και x2x_2 στο [a,b]\icc{a}{b} τέτοια ώστε f(x1)≤f(x)≤f(x2)f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2) για κάθε xx του [a,b]\icc{a}{b}· καμία από τις παραδοχές δεν μπορεί να παραλειφθεί.

      Χρησιμοποιεί: 1. Θεώρημα φραγής. Στηρίζεται σε: A (Αξίωμα πληρότητας), B (Κληρονομιά της ενότητας 1). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεώρημα ακρότατων τιμών του Βάιερστρας.

    3. Η εικόνα κλειστού και φραγμένου διαστήματος. Αν η ff είναι συνεχής στο [a,b]\icc{a}{b}, και mm και MM είναι η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της σε αυτό, η εικόνα του [a,b]\icc{a}{b} είναι το διάστημα [m,M]\icc{m}{M}.

      Χρησιμοποιεί: 2. Θεώρημα του Βάιερστρας. Στηρίζεται σε: F (Ακρότατα που επιτυγχάνονται), D (Ενδιάμεσες τιμές). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεώρημα ακρότατων τιμών του Βάιερστρας.

    4. Ακρότατο στο εσωτερικό. Αν η ff είναι συνεχής στο [a,b]\icc{a}{b}, με a<ba < b και f(a)=f(b)f(a) = f(b), παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο σε κάποιο σημείο του (a,b)\ioo{a}{b}.

      Χρησιμοποιεί: 2. Θεώρημα του Βάιερστρας. Στηρίζεται σε: F (Ακρότατα που επιτυγχάνονται). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεώρημα ακρότατων τιμών του Βάιερστρας.

    5. Θεώρημα του Φερμά. Αν η ff, ορισμένη στο AA, παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο aa του AA, δηλαδή αν υπάρχει δ>0\delta > 0 τέτοιο ώστε f(x)≤f(a)f(x) \leq f(a) για όλα τα xx του AA με ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta, ή f(a)≤f(x)f(a) \leq f(x) για όλα αυτά, και η ff είναι παραγωγίσιμη στο aa, τότε f′(a)=0f'(a) = 0.

      Στηρίζεται σε: E (Το πρόσημο της παραγώγου σε σημείο), C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεωρήματα των Φερμά, Ρολ, Λαγκράνζ και Κωσί.

    6. Θεώρημα του Ρολ. Αν η ff είναι συνεχής στο [a,b]\icc{a}{b}, με a<ba < b, παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του (a,b)\ioo{a}{b} και f(a)=f(b)f(a) = f(b), υπάρχει cc στο (a,b)\ioo{a}{b} με f′(c)=0f'(c) = 0.

      Χρησιμοποιεί: 4. Ακρότατο στο εσωτερικό, 5. Θεώρημα του Φερμά. Στηρίζεται σε: F (Ακρότατα που επιτυγχάνονται), C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεωρήματα των Φερμά, Ρολ, Λαγκράνζ και Κωσί.

    7. Θεώρημα μέσης τιμής του Λαγκράνζ. Αν η ff είναι συνεχής στο [a,b]\icc{a}{b}, με a<ba < b, και παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του (a,b)\ioo{a}{b}, υπάρχει cc στο (a,b)\ioo{a}{b} με f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a): κάποια εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τη χορδή.

      Χρησιμοποιεί: 6. Θεώρημα του Ρολ. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1), C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεωρήματα των Φερμά, Ρολ, Λαγκράνζ και Κωσί.

    8. Θεώρημα μέσης τιμής του Κωσί. Αν οι ff και gg είναι συνεχείς στο [a,b]\icc{a}{b}, με a<ba < b, και παραγωγίσιμες σε κάθε σημείο του (a,b)\ioo{a}{b}, υπάρχει cc στο (a,b)\ioo{a}{b} με (f(b)−f(a))g′(c)=(g(b)−g(a))f′(c)\left(f(b) - f(a)\right) g'(c) = \left(g(b) - g(a)\right) f'(c)· αν επιπλέον η g′g' δεν μηδενίζεται στο (a,b)\ioo{a}{b}, τότε g(b)≠g(a)g(b) \neq g(a) και f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(c)g′(c)\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}.

      Χρησιμοποιεί: 6. Θεώρημα του Ρολ. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1), C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεωρήματα των Φερμά, Ρολ, Λαγκράνζ και Κωσί.

    9. Συνέπειες της μέσης τιμής. Έστω ff συνεχής σε ένα διάστημα II και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο. Αν η f′f' μηδενίζεται σε αυτά, η ff είναι σταθερή· δύο συναρτήσεις με την ίδια παράγωγο διαφέρουν κατά μια σταθερά· αν ∣f′(x)∣≤K\abs{f'(x)} \leq K σε αυτά, τότε ∣f(x)−f(y)∣≤K∣x−y∣\abs{f(x) - f(y)} \leq K \abs{x - y} για όλα τα xx, yy του II· και αν η ff είναι παραγωγίσιμη στο II και έχει n≥2n \geq 2 διαφορετικές ρίζες σε αυτό, η f′f' έχει τουλάχιστον n−1n - 1.

      Χρησιμοποιεί: 6. Θεώρημα του Ρολ, 7. Θεώρημα μέσης τιμής του Λαγκράνζ. Στηρίζεται σε: G (Μέση τιμή), C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεωρήματα των Φερμά, Ρολ, Λαγκράνζ και Κωσί.

    10. Κανόνας του Λοπιτάλ. Αν οι ff και gg είναι παραγωγίσιμες στο (a,b)\ioo{a}{b}, με g′(x)≠0g'(x) \neq 0 σε αυτό, αν τα f(x)f(x) και g(x)g(x) τείνουν στο 00, ή το g(x)g(x) τείνει στο ∞\infty ή στο −∞-\infty, όταν x→a+x \to a^+, και αν το f′(x)g′(x)\frac{f'(x)}{g'(x)} τείνει στο LL, πραγματικό, ∞\infty ή −∞-\infty, τότε το f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} τείνει στο LL· το ίδιο ισχύει από αριστερά, και από τις δύο πλευρές ενός σημείου και στο άπειρο.

      Χρησιμοποιεί: 8. Θεώρημα μέσης τιμής του Κωσί. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1), C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κανόνας του Λοπιτάλ.

    11. Μηδενικές παράγωγοι σε σημείο. Έστω n≥2n \geq 2 φυσικός, II ανοικτό διάστημα, aa σημείο του II και ff συνάρτηση n−1n - 1 φορές παραγωγίσιμη στο II και nn φορές παραγωγίσιμη στο aa, με f′(a)=⋯=f(n−1)(a)=0f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0. Τότε το f(x)−f(a)(x−a)n\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^n} τείνει στο f(n)(a)n!\frac{f^{(n)}(a)}{n!} όταν x→ax \to a.

      Χρησιμοποιεί: 10. Κανόνας του Λοπιτάλ. Στηρίζεται σε: C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κανόνας του Λοπιτάλ.

  2. Τμήμα 2 Η μονοτονία, τα ακρότατα και η μορφή της γραφικής παράστασης

    • Να κρίνεται η μονοτονία από το πρόσημο της παραγώγου, να χαρακτηρίζεται η γνήσια μονοτονία και να αποδεικνύεται το θεώρημα του Νταρμπού.
    • Να ταξινομούνται τα κρίσιμα σημεία με τα κριτήρια της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου και των παραγώγων ανώτερης τάξης, και να βρίσκονται τα ολικά ακρότατα σε κλειστά, ανοικτά ή μη φραγμένα διαστήματα.
    • Να χαρακτηρίζεται η κυρτότητα μέσω των χορδών, της αύξουσας παραγώγου, των εφαπτομένων και της δεύτερης παραγώγου, και να αναγνωρίζονται τα σημεία καμπής.
    • Να μετριέται η καμπυλότητα μιας γραφικής παράστασης με τον εγγύτατο κύκλο.

    1. Μονοτονία από το πρόσημο της παραγώγου. Έστω ff συνεχής σε ένα διάστημα II και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο. Αν f′(x)≥0f'(x) \geq 0 σε αυτά, η ff είναι αύξουσα στο II, και αν f′(x)>0f'(x) > 0, γνησίως αύξουσα· με f′(x)≤0f'(x) \leq 0 ή f′(x)<0f'(x) < 0, φθίνουσα ή γνησίως φθίνουσα. Αντίστροφα, αν η ff είναι αύξουσα στο II και παραγωγίσιμη σε ένα εσωτερικό σημείο aa, τότε f′(a)≥0f'(a) \geq 0.

      Χρησιμοποιεί: 7. Θεώρημα μέσης τιμής του Λαγκράνζ. Στηρίζεται σε: E (Το πρόσημο της παραγώγου σε σημείο), G (Μέση τιμή), C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μονοτονία και κριτήριο της πρώτης παραγώγου.

    2. Γνήσια μονοτονία με μη αρνητική παράγωγο. Αν η ff είναι συνεχής σε ένα διάστημα II και f′(x)≥0f'(x) \geq 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο, η ff είναι γνησίως αύξουσα στο II αν και μόνο αν η f′f' δεν μηδενίζεται σε όλα τα σημεία κανενός διαστήματος (p,q)\ioo{p}{q} που περιέχεται στο II· ειδικότερα, αν μηδενίζεται μόνο σε πεπερασμένο πλήθος σημείων.

      Χρησιμοποιεί: 9. Συνέπειες της μέσης τιμής, 12. Μονοτονία από το πρόσημο της παραγώγου. Στηρίζεται σε: H (Μονοτονία μέσω της παραγώγου), C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μονοτονία και κριτήριο της πρώτης παραγώγου.

    3. Κριτήριο της πρώτης παραγώγου. Αν η ff είναι συνεχής στο (a−r,a+r)\ioo{a - r}{a + r} και παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο διαφορετικό από το aa, με f′(x)≥0f'(x) \geq 0 αριστερά του aa και f′(x)≤0f'(x) \leq 0 δεξιά, παρουσιάζει στο aa τοπικό μέγιστο, γνήσιο αν οι ανισότητες είναι γνήσιες· με τις ανισότητες αντεστραμμένες, τοπικό ελάχιστο· και αν η f′(x)f'(x) είναι θετική και από τις δύο πλευρές, ή αρνητική και από τις δύο πλευρές, δεν υπάρχει ακρότατο στο aa.

      Χρησιμοποιεί: 12. Μονοτονία από το πρόσημο της παραγώγου. Στηρίζεται σε: H (Μονοτονία μέσω της παραγώγου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μονοτονία και κριτήριο της πρώτης παραγώγου.

    4. Θεώρημα του Νταρμπού. Αν η ff είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα II και a<ba < b είναι σημεία του II, η f′f' παίρνει στο (a,b)\ioo{a}{b} κάθε τιμή που βρίσκεται γνησίως ανάμεσα στα f′(a)f'(a) και f′(b)f'(b)· κατά συνέπεια, η f′f' δεν έχει στο II άρσιμες ασυνέχειες ούτε ασυνέχειες άλματος.

      Χρησιμοποιεί: 2. Θεώρημα του Βάιερστρας, 5. Θεώρημα του Φερμά. Στηρίζεται σε: E (Το πρόσημο της παραγώγου σε σημείο), F (Ακρότατα που επιτυγχάνονται), B (Κληρονομιά της ενότητας 1), C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μονοτονία και κριτήριο της πρώτης παραγώγου.

    5. Παράγωγος χωρίς ρίζες. Αν η ff είναι συνεχής σε ένα διάστημα II με περισσότερα από ένα σημεία και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο, με f′(x)≠0f'(x) \neq 0 σε καθένα, η f′f' έχει το ίδιο πρόσημο σε όλα αυτά και η ff είναι γνησίως μονότονη στο II.

      Χρησιμοποιεί: 12. Μονοτονία από το πρόσημο της παραγώγου, 15. Θεώρημα του Νταρμπού. Στηρίζεται σε: H (Μονοτονία μέσω της παραγώγου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μονοτονία και κριτήριο της πρώτης παραγώγου.

    6. Κριτήριο της δεύτερης παραγώγου. Αν η ff είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα II και δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα σημείο aa του II, με f′(a)=0f'(a) = 0, παρουσιάζει στο aa γνήσιο τοπικό ελάχιστο αν f′′(a)>0f''(a) > 0, και γνήσιο τοπικό μέγιστο αν f′′(a)<0f''(a) < 0.

      Χρησιμοποιεί: 14. Κριτήριο της πρώτης παραγώγου. Στηρίζεται σε: E (Το πρόσημο της παραγώγου σε σημείο), C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μέγιστα και ελάχιστα μιας συνάρτησης.

    7. Κριτήριο των παραγώγων ανώτερης τάξης. Αν η ff είναι n−1n - 1 φορές παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα II και nn φορές παραγωγίσιμη σε ένα σημείο aa του II, με n≥2n \geq 2, f′(a)=⋯=f(n−1)(a)=0f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0 και f(n)(a)≠0f^{(n)}(a) \neq 0, τότε, αν ο nn είναι άρτιος, η ff παρουσιάζει στο aa γνήσιο τοπικό ελάχιστο αν f(n)(a)>0f^{(n)}(a) > 0, και γνήσιο τοπικό μέγιστο αν f(n)(a)<0f^{(n)}(a) < 0· και αν ο nn είναι περιττός, δεν παρουσιάζει στο aa κανένα τοπικό ακρότατο.

      Χρησιμοποιεί: 11. Μηδενικές παράγωγοι σε σημείο. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μέγιστα και ελάχιστα μιας συνάρτησης.

    8. Ολικά ακρότατα σε διάστημα. Αν η ff είναι συνεχής στο [a,b]\icc{a}{b}, παρουσιάζει ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο, και κάθε σημείο στο οποίο τα παρουσιάζει είναι το aa, το bb ή ένα κρίσιμο σημείο του (a,b)\ioo{a}{b}· αν είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα, φραγμένο ή όχι, και κάποια τιμή υπερβαίνει τα όριά της και στα δύο άκρα, παρουσιάζει ολικό μέγιστο, σε κρίσιμα σημεία.

      Χρησιμοποιεί: 2. Θεώρημα του Βάιερστρας, 5. Θεώρημα του Φερμά. Στηρίζεται σε: F (Ακρότατα που επιτυγχάνονται), B (Κληρονομιά της ενότητας 1). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μέγιστα και ελάχιστα μιας συνάρτησης.

    9. Ολικά ακρότατα μέσω μονοτονίας. Αν η ff είναι συνεχής σε ένα διάστημα II, το cc είναι εσωτερικό σημείο, f′(x)≥0f'(x) \geq 0 στα εσωτερικά σημεία που είναι μικρότερα από το cc και f′(x)≤0f'(x) \leq 0 στα μεγαλύτερα, η ff παρουσιάζει στο cc το ολικό της μέγιστο στο II· και αν το cc είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της ff στο II και η ff παρουσιάζει σε αυτό τοπικό ακρότατο, αυτό το ακρότατο είναι ολικό και γνήσιο στο II.

      Χρησιμοποιεί: 12. Μονοτονία από το πρόσημο της παραγώγου, 16. Παράγωγος χωρίς ρίζες. Στηρίζεται σε: H (Μονοτονία μέσω της παραγώγου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μέγιστα και ελάχιστα μιας συνάρτησης.

    10. Κυρτότητα και αύξουσα παράγωγος. Μια συνάρτηση ff είναι κυρτή σε ένα διάστημα II αν f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y)f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y) για όλα τα xx, yy του II και κάθε tt του [0,1]\icc{0}{1}. Αν η ff είναι συνεχής στο II και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο, είναι κυρτή αν και μόνο αν η f′f' είναι αύξουσα στα εσωτερικά σημεία, και γνησίως κυρτή αν και μόνο αν η f′f' είναι γνησίως αύξουσα σε αυτά.

      Χρησιμοποιεί: 7. Θεώρημα μέσης τιμής του Λαγκράνζ. Στηρίζεται σε: G (Μέση τιμή), B (Κληρονομιά της ενότητας 1), C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κοιλότητα, κυρτότητα και σημεία καμπής.

    11. Η γραφική παράσταση πάνω από τις εφαπτόμενές της. Αν η ff είναι συνεχής σε ένα διάστημα II με περισσότερα από ένα σημεία και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο, είναι κυρτή αν και μόνο αν f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a)f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a) για κάθε εσωτερικό σημείο aa και κάθε xx του II· ειδικότερα, αν είναι κυρτή και f′(a)=0f'(a) = 0, παρουσιάζει στο aa το ολικό της ελάχιστο στο II.

      Χρησιμοποιεί: 21. Κυρτότητα και αύξουσα παράγωγος. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κοιλότητα, κυρτότητα και σημεία καμπής.

    12. Κυρτότητα και δεύτερη παράγωγος. Αν η ff είναι συνεχής σε ένα διάστημα II με περισσότερα από ένα σημεία και δύο φορές παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο, είναι κυρτή αν και μόνο αν f′′(x)≥0f''(x) \geq 0 σε αυτά, και είναι γνησίως κυρτή αν επιπλέον η f′′f'' δεν μηδενίζεται σε όλα τα σημεία κανενός ανοικτού διαστήματος που περιέχεται στο II.

      Χρησιμοποιεί: 12. Μονοτονία από το πρόσημο της παραγώγου, 13. Γνήσια μονοτονία με μη αρνητική παράγωγο, 21. Κυρτότητα και αύξουσα παράγωγος. Στηρίζεται σε: H (Μονοτονία μέσω της παραγώγου), C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κοιλότητα, κυρτότητα και σημεία καμπής.

    13. Σημεία καμπής. Αν η ff είναι συνεχής κοντά στο aa, παραγωγίσιμη στο aa και η f′′f'' αλλάζει πρόσημο στο aa, το σημείο aa είναι σημείο καμπής· σε ένα σημείο καμπής στο οποίο η ff είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, f′′(a)=0f''(a) = 0, αλλά αυτό δεν αρκεί, όπως δείχνει το x4x^4 στο 00· και αν f′′(a)=0f''(a) = 0 και f′′′(a)≠0f'''(a) \neq 0, το aa είναι σημείο καμπής και η γραφική παράσταση διασχίζει την εφαπτομένη της.

      Χρησιμοποιεί: 5. Θεώρημα του Φερμά, 18. Κριτήριο των παραγώγων ανώτερης τάξης, 21. Κυρτότητα και αύξουσα παράγωγος, 23. Κυρτότητα και δεύτερη παράγωγος. Στηρίζεται σε: E (Το πρόσημο της παραγώγου σε σημείο), B (Κληρονομιά της ενότητας 1). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κοιλότητα, κυρτότητα και σημεία καμπής.

    14. Ανισότητα του Γένσεν. Αν η ff είναι συνεχής και κυρτή σε ένα διάστημα II και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο, τότε f(t1x1+⋯+tnxn)≤t1f(x1)+⋯+tnf(xn)f\left(t_1 x_1 + \dots + t_n x_n\right) \leq t_1 f(x_1) + \dots + t_n f(x_n) για σημεία xix_i του II και βάρη ti≥0t_i \geq 0 με άθροισμα 11· με τον λογάριθμο, που είναι κοίλος, ο γεωμετρικός μέσος θετικών αριθμών δεν υπερβαίνει τον αριθμητικό.

      Χρησιμοποιεί: 22. Η γραφική παράσταση πάνω από τις εφαπτόμενές της, 23. Κυρτότητα και δεύτερη παράγωγος. Στηρίζεται σε: C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κοιλότητα, κυρτότητα και σημεία καμπής.

    15. Εγγύτατος κύκλος. Αν η ff είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα και δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα σημείο aa, με m=f′(a)m = f'(a) και q=f′′(a)≠0q = f''(a) \neq 0, υπάρχει ακριβώς ένας κύκλος που έχει στο aa την ίδια τιμή, την ίδια παράγωγο και την ίδια δεύτερη παράγωγο με την ff· η ακτίνα του είναι ρ=(1+m2)32∣q∣\rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}, το αντίστροφο της καμπυλότητας κ\kappa, και το κέντρο του βρίσκεται πάνω στην κάθετη, πάνω από το σημείο αν q>0q > 0 και κάτω από αυτό αν q<0q < 0.

      Στηρίζεται σε: C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Καμπυλότητα και ακτίνα καμπυλότητας.

  3. Τμήμα 3 Η βελτιστοποίηση και η προσέγγιση

    • Να μεταφράζεται ένα γεωμετρικό ή φυσικό πρόβλημα στην αναζήτηση του ολικού ακροτάτου μιας συνάρτησης, σε ένα πεδίο ορισμού καθορισμένο με ακρίβεια, και να αιτιολογείται ότι το ακρότατο που βρέθηκε είναι ολικό.
    • Να βρίσκεται το σημείο μιας γραφικής παράστασης που είναι πλησιέστερο σε ένα δοσμένο σημείο και να συνάγονται από τον ελάχιστο χρόνο οι νόμοι της ανάκλασης και της διάθλασης.
    • Να προσεγγίζονται ρίζες με τη μέθοδο Νεύτωνα-Ράφσον, να εξασφαλίζεται η σύγκλισή της με την κυρτότητα και να φράσσεται το σφάλμα με τη μέση τιμή.

    1. Η απόσταση σημείου από γραφική παράσταση. Αν η ff είναι συνεχής σε ένα διάστημα με περισσότερα από ένα σημεία που περιέχει τα άκρα του, αν έχει, κάποιο σημείο της γραφικής της παράστασης βρίσκεται σε ελάχιστη απόσταση από ένα σημείο P=(x1,y1)P = (x_1, y_1)· αν η τετμημένη cc αυτού του σημείου είναι εσωτερική και η ff είναι παραγωγίσιμη σε αυτήν, το PP βρίσκεται πάνω στην κάθετη: (x1−c)+f′(c)(y1−f(c))=0(x_1 - c) + f'(c)\left(y_1 - f(c)\right) = 0.

      Χρησιμοποιεί: 2. Θεώρημα του Βάιερστρας, 5. Θεώρημα του Φερμά. Στηρίζεται σε: F (Ακρότατα που επιτυγχάνονται), B (Κληρονομιά της ενότητας 1), C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Προβλήματα βελτιστοποίησης.

    2. Ο νόμος του Σνελ. Η διάρκεια T(x)=a2+x2v1+b2+(d−x)2v2T(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2} της διαδρομής που πηγαίνει από το (0,a)(0, a) στο (x,0)(x, 0) με ταχύτητα v1v_1 και από εκεί στο (d,−b)(d, -b) με ταχύτητα v2v_2 παρουσιάζει το γνήσιο ολικό ελάχιστό της σε ένα μοναδικό σημείο, όπου sin⁡θ1v1=sin⁡θ2v2\frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2}· από εδώ, η συντομότερη διαδρομή ανάμεσα σε δύο σημεία που αγγίζει μια ευθεία σχηματίζει ίσες γωνίες με την κάθετη προς αυτήν, που είναι ο νόμος της ανάκλασης.

      Χρησιμοποιεί: 22. Η γραφική παράσταση πάνω από τις εφαπτόμενές της, 23. Κυρτότητα και δεύτερη παράγωγος. Στηρίζεται σε: D (Ενδιάμεσες τιμές), C (Κληρονομιά της ενότητας 2). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Προβλήματα βελτιστοποίησης.

    3. Σύγκλιση της μεθόδου Νεύτωνα-Ράφσον. Αν η ff είναι παραγωγίσιμη και κυρτή σε ένα ανοικτό διάστημα II, με f′(x)≠0f'(x) \neq 0 σε όλο το II, και f(r)=0f(r) = 0, οι επαναλήψεις xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} από ένα x0x_0 του II με f(x0)≥0f(x_0) \geq 0 πλησιάζουν το rr μονότονα, χωρίς να το ξεπερνούν, και συγκλίνουν στο rr· από ένα x0x_0 με f(x0)<0f(x_0) < 0, αν το x1x_1 βρίσκεται στο II, η πρώτη επανάληψη οδηγεί στην κατάλληλη πλευρά.

      Χρησιμοποιεί: 16. Παράγωγος χωρίς ρίζες, 21. Κυρτότητα και αύξουσα παράγωγος, 22. Η γραφική παράσταση πάνω από τις εφαπτόμενές της. Στηρίζεται σε: A (Αξίωμα πληρότητας), B (Κληρονομιά της ενότητας 1). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η μέθοδος Νεύτωνα-Ράφσον.

    4. Φράγμα του σφάλματος. Αν η ff είναι συνεχής σε ένα διάστημα JJ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο, με ∣f′(x)∣≥m>0\abs{f'(x)} \geq m > 0 σε αυτά, και f(r)=0f(r) = 0 για ένα rr του JJ, τότε ∣x−r∣≤∣f(x)∣m\abs{x - r} \leq \frac{\abs{f(x)}}{m} για κάθε xx του JJ.

      Χρησιμοποιεί: 7. Θεώρημα μέσης τιμής του Λαγκράνζ. Στηρίζεται σε: G (Μέση τιμή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η μέθοδος Νεύτωνα-Ράφσον.

Προς τον Λογισμό II. Η αλυσίδα σταματά εκεί όπου τελειώνει ο κύκλος μαθημάτων. Στον Λογισμό II, το πόρισμα σύμφωνα με το οποίο δύο συναρτήσεις με την ίδια παράγωγο διαφέρουν κατά μια σταθερά θεμελιώνει τις παράγουσες, και το ολοκλήρωμα ενώνεται με την παράγωγο στο θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού· με το μήκος τόξου, που είναι ένα ολοκλήρωμα, η καμπυλότητα διαβάζεται ως η ταχύτητα με την οποία στρέφεται η εφαπτομένη. Οι ακολουθίες, των οποίων οι επαναλήψεις Νεύτωνα-Ράφσον ήταν ένα πρώτο παράδειγμα, και οι σειρές δίνουν στις συναρτήσεις που ορίζονται στους φυσικούς μια δική τους θεωρία. Και το πολυώνυμο του Τέιλορ, του οποίου το υπόλοιπο φράσσεται με τα θεωρήματα του Ρολ και του Κωσί, προεκτείνει την εφαπτομένη ευθεία με τις παραγώγους ανώτερης τάξης, γενικεύει το κριτήριο των παραγώγων ανώτερης τάξης και αποδεικνύει, υπό παραδοχές για τη δεύτερη παράγωγο, την τετραγωνική σύγκλιση της μεθόδου Νεύτωνα-Ράφσον, που αυτή η ενότητα παρατήρησε μόνο σε παραδείγματα.