Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου: σύνθεση και προκλήσεις

Περίληψη

Αυτό το μάθημα κλείνει την ενότητα που είναι αφιερωμένη στην αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου. Συγκεντρώνει σε μία αποδεικτική αλυσίδα όσα αποδείχθηκαν στα εννέα μαθήματά της, από τον τύπο της απόστασης ως το θεώρημα των κορυφών του γραμμικού προγραμματισμού· δείχνει πώς στηρίζεται στις προηγούμενες ενότητες, ιδίως στη συμπλήρωση τετραγώνου, στη διακρίνουσα και στους πίνακες προσήμων, και πώς προετοιμάζει την ενότητα που ακολουθεί, της οποίας οι υπερβατικές συναρτήσεις περιγράφουν ξανά την υπερβολή. Προτείνει έπειτα μια τελική αξιολόγηση, παράλληλη με την αρχική, και τελειώνει με δέκα προκλήσεις, δυσκολότερες από τα προτεινόμενα προβλήματα των μαθημάτων, που απαιτούν να συνδυαστούν πολλά από αυτά και να βρεθεί σε κάθε περίπτωση η ιδέα που ανοίγει τον δρόμο.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να διατυπώνει τα κύρια αποτελέσματα της ενότητας και να εξηγεί πώς καθένα εξαρτάται από τα προηγούμενα.
  2. Να συσχετίζει τις μεθόδους της ενότητας με εκείνες των προηγούμενων ενοτήτων και με εκείνες της ενότητας που ακολουθεί.
  3. Να λύνει προβλήματα που συνδυάζουν ευθείες, διανύσματα, κωνικές τομές και ανισότητες, επιλέγοντας ανάμεσα στον μετρικό ορισμό μιας καμπύλης, την εξίσωσή της και τη διακρίνουσα το αποτελεσματικότερο εργαλείο.
  4. Να μεταφράζει συνθήκες ελαχίστου, επαφής και γεωμετρικού τόπου σε εξισώσεις, και να ελέγχει ότι η εξίσωση που προκύπτει περιγράφει ακριβώς το ζητούμενο σύνολο.

Όσα πέτυχε η ενότητα

Οι συντεταγμένες, η ευθεία και τα διανύσματα

Η ενότητα ξεκίνησε με μία μόνο ιδέα: να ταυτιστεί κάθε σημείο του επιπέδου με το ζεύγος των συντεταγμένων του. Από αυτό προέκυψε, στο μάθημα για την εξίσωση της ευθείας, ότι η απόσταση δύο σημείων είναι συνέπεια του Πυθαγόρειου θεωρήματος και ότι η κλίση μιας ευθείας δεν εξαρτάται από τα σημεία με τα οποία υπολογίζεται, λόγω της ομοιότητας τριγώνων. Αυτά τα δύο θεωρήματα, μαζί με την ελεύθερη επιλογή των αξόνων, την ισότητα των αντίστοιχων γωνιών μεταξύ παραλλήλων, το άθροισμα των γωνιών τριγώνου και τις γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου, είναι τα γεγονότα της ευκλείδειας γεωμετρίας που η ενότητα δέχεται ρητά στην αρχή, επειδή η απόδειξή τους ανήκει στην αξιωματική θεμελίωση αυτής της γεωμετρίας. Από το αναλλοίωτο της κλίσης συνάχθηκε ότι τα σημεία μιας ευθείας είναι ακριβώς οι λύσεις μιας εξίσωσης Ax+By+C=0Ax + By + C = 0· από έναν υπολογισμό με τις εξισώσεις δύο ευθειών, ότι δύο μη κατακόρυφες ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν έχουν την ίδια κλίση· από το Πυθαγόρειο θεώρημα και το αντίστροφό του, μαζί με την ισότητα των αντίστοιχων γωνιών, ότι είναι κάθετες αν και μόνο αν το γινόμενο των κλίσεών τους είναι −1-1· και από το Πυθαγόρειο θεώρημα, ότι η κάθετος που φέρεται από ένα σημείο είναι ο συντομότερος δρόμος ως την ευθεία.

Το μάθημα για τα διανύσματα στο επίπεδο διατύπωσε ξανά αυτά τα αποτελέσματα χωρίς να εξαρτάται από την επιλογή των αξόνων. Τα διανύσματα, με την πρόσθεσή τους και τον πολλαπλασιασμό τους με αριθμό, ικανοποιούν τα οκτώ αξιώματα διανυσματικού χώρου· το εσωτερικό γινόμενο κρίνει την καθετότητα με τη συνθήκη u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, που δεν αποκλείει πια τις κατακόρυφες ευθείες, και δίνει την ανισότητα Κωσί-Σβαρτς, την τριγωνική ανισότητα και την ορθογώνια προβολή. Από αυτά προέκυψαν η διανυσματική εξίσωση της ευθείας, το κάθετο διάνυσμα (A,B)\left( A, B \right) της ευθείας Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 και ο τύπος της απόστασης σημείου από ευθεία, που επανέρχεται σχεδόν σε όλα τα μαθήματα που ακολουθούν:

d⁡(P,r)=∣Ax1+By1+C∣A2+B2\operatorname{d}(P, r) = \frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Οι κωνικές τομές που ορίζονται με αποστάσεις

Τα πέντε μαθήματα που ακολούθησαν εφάρμοσαν την ίδια μέθοδο σε τέσσερις καμπύλες: να οριστεί η καμπύλη με μια ιδιότητα αποστάσεων, να μεταφραστεί σε εξίσωση με ύψωση στο τετράγωνο και να αποδειχθεί έπειτα το αντίστροφο, επειδή η ύψωση στο τετράγωνο μπορεί να προσθέσει ξένα σημεία. Το μάθημα για την εξίσωση της παραβολής όρισε την παραβολή με μια εστία και μια διευθετούσα, απέδειξε ότι οι γραφικές παραστάσεις των δευτεροβάθμιων πολυωνύμων είναι ακριβώς οι παραβολές με κατακόρυφο άξονα και απέδειξε την ανακλαστική ιδιότητά της· το μάθημα για τον χαρακτηρισμό των παραβολών βρήκε, με συμπλήρωση τετραγώνου, τα στοιχεία της συναρτήσει των συντελεστών, απέδειξε ότι η κορυφή είναι το ακρότατο σημείο και ότι η διακρίνουσα κρίνει τις τομές με τον οριζόντιο άξονα.

Το μάθημα για τις ελλείψεις και τους κύκλους όρισε την έλλειψη με το σταθερό άθροισμα 2a2a των αποστάσεων από δύο εστίες, συνήγαγε την ανηγμένη εξίσωσή της με b2=a2−c2b^2 = a^2 - c^2 και απέδειξε ότι οι αποστάσεις κάθε σημείου από τις εστίες είναι a+exa + ex και a−exa - ex· ο κύκλος αποδείχθηκε η έλλειψη με συμπίπτουσες εστίες. Το μάθημα για τον κύκλο μέτρησε τη θέση ενός σημείου με τη δύναμή του, έκρινε τη θέση μιας ευθείας συγκρίνοντας με την ακτίνα την απόσταση του κέντρου, απέδειξε ότι η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα, ταξινόμησε τις έξι θέσεις δύο κύκλων μέσω του ριζικού άξονά τους και απέδειξε το θεώρημα της δύναμης σημείου, από το οποίο έπονται το θεώρημα των τεμνόμενων χορδών, το θεώρημα τέμνουσας και εφαπτομένης και το θεώρημα του ριζικού κέντρου. Το μάθημα για την εξίσωση της υπερβολής αντικατέστησε το άθροισμα με τη διαφορά, με c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2, μελέτησε τις ασύμπτωτες, απέδειξε ότι η γραφική παράσταση της y=1xy = \frac{1}{x} είναι ισοσκελής υπερβολή και έδειξε ότι μια ευθεία παράλληλη προς μια ασύμπτωτη τέμνει την υπερβολή σε ένα μόνο σημείο χωρίς να είναι εφαπτομένη.

Η ενοποιημένη θεωρία και οι ανισότητες

Το μάθημα για τις κωνικές τομές συγκέντρωσε τις τέσσερις καμπύλες σε μία θεωρία. Κάθε εξίσωση Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 παριστάνει, ανάλογα με το πρόσημο του ACAC και με εκείνο του δεύτερου μέλους GG που αφήνει η συμπλήρωση των τετραγώνων, μια έλλειψη, μια υπερβολή, μια παραβολή ή μία από τις εκφυλισμένες περιπτώσεις τους· και το θεώρημα της εστίας και της διευθετούσας περιγράφει την έλλειψη, την παραβολή και την υπερβολή ως τους τόπους στους οποίους ο λόγος της απόστασης από μια εστία προς την απόσταση από μια διευθετούσα είναι ένας σταθερός αριθμός ee, μικρότερος, ίσος ή μεγαλύτερος από 11.

Το τελευταίο μάθημα, για τις ανισώσεις στο επίπεδο και τον γραμμικό προγραμματισμό, πέρασε από τις ισότητες στις ανισότητες. Το θεώρημα των ημιεπιπέδων εξασφαλίζει ότι η παράσταση Ax+By+CAx + By + C διατηρεί το πρόσημό της σε κάθε πλευρά της ευθείας, από όπου η μέθοδος του σημείου ελέγχου· οι περιοχές που ορίζονται από γραμμικές ανισώσεις είναι κυρτές, επειδή μια γραμμική παράσταση μεταβάλλεται κατά μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος ανάμεσα στις τιμές της στα άκρα· μια παράσταση δευτέρου βαθμού που δεν μηδενίζεται σε ένα ευθύγραμμο τμήμα διατηρεί σε αυτό το πρόσημό της, και γι’ αυτό η μέθοδος του σημείου ελέγχου ισχύει και για τις περιοχές που οριοθετούνται από κωνικές τομές· και μια γραμμική συνάρτηση παίρνει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της πάνω σε ένα κυρτό φραγμένο πολύγωνο σε μία από τις κορυφές του. Αν η περιοχή δεν είναι φραγμένη, η βέλτιστη τιμή μπορεί να μην υπάρχει, και ακόμη κι αν υπάρχει μπορεί να μην επιτυγχάνεται σε κορυφή, όπως σε μια λωρίδα· αν όμως η περιοχή έχει κάποια κορυφή, δηλαδή αν δεν περιέχει ολόκληρες ευθείες, κάθε βέλτιστη τιμή που υπάρχει επιτυγχάνεται και σε μία από αυτές.

Τρία εργαλεία διατρέχουν όλη την ενότητα. Το πρώτο είναι ο τύπος της απόστασης, στον οποίο στηρίζονται όλοι οι ορισμοί καμπυλών. Το δεύτερο είναι η συμπλήρωση τετραγώνου, που φέρνει κάθε εξίσωση δευτέρου βαθμού στη μορφή από την οποία διαβάζονται τα στοιχεία της. Το τρίτο είναι η διακρίνουσα, που κρίνει σε όλες τις κωνικές τομές αν μια ευθεία τις τέμνει σε δύο σημεία, σε ένα ή σε κανένα, και που, με την προφύλαξη των ευθειών που είναι παράλληλες προς τον άξονα της παραβολής ή προς τις ασύμπτωτες της υπερβολής, χαρακτηρίζει τις εφαπτόμενες χωρίς να καταφεύγει σε όρια.

Το σχήμα που ακολουθεί ενώνει τα τρία τμήματα σε μία αλυσίδα. Κάθε κόμβος της στήλης είναι ένας ορισμός ή ένα θεώρημα, αριθμημένος κατά τη λογική σειρά και ενωμένος με ένα τόξο με τους προηγούμενους κρίκους που χρησιμοποιεί η απόδειξή του· γύρω τους αιωρούνται τα στηρίγματα, δηλαδή οι αρχές και τα εργαλεία στα οποία η αλυσίδα καταφεύγει ξανά και ξανά, καθένα ενωμένο με συνεχή γραμμή με τους κρίκους που στηρίζονται σε αυτό και με διακεκομμένη με τον κρίκο όπου θεμελιώνεται, εκτός από όσα γίνονται δεκτά ή προέρχονται από προηγούμενες ενότητες, που σχεδιάζονται ως δακτύλιοι. Πατώντας ένα στήριγμα τονίζονται όλοι οι κρίκοι που το χρησιμοποιούν, και κάθε κρίκος παραπέμπει στο μάθημα όπου αποδεικνύεται.

Στηρίγματα της αλυσίδας

  • AΕυκλείδεια γεωμετρία. Γίνονται δεκτά, στην αρχή της ενότητας, η ελεύθερη επιλογή των αξόνων, το Πυθαγόρειο θεώρημα και το αντίστροφό του, η ισότητα των αντίστοιχων γωνιών μεταξύ παραλλήλων, το θεώρημα του Θαλή και η ομοιότητα τριγώνων, το άθροισμα των γωνιών τριγώνου και η ισότητα των γωνιών που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • BΤύπος της απόστασης. Η απόσταση των (x1,y1)(x_1, y_1) και (x2,y2)(x_2, y_2) είναι (x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}· σε αυτόν στηρίζονται όλοι οι ορισμοί καμπυλών της ενότητας. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 1. Απόσταση και μέσο.
  • CΓενική εξίσωση της ευθείας. Τα σημεία κάθε ευθείας είναι ακριβώς οι λύσεις μιας εξίσωσης Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, όπου τα AA και BB δεν είναι και τα δύο μηδέν. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 2. Εξίσωση της ευθείας.
  • DΑπόσταση σημείου από ευθεία. Η απόσταση του σημείου (x1,y1)(x_1, y_1) από την ευθεία Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 είναι ∣Ax1+By1+C∣A2+B2\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 10. Απόσταση σημείου από ευθεία.
  • EΣυμπλήρωση τετραγώνου. Ισχύει ax2+bx+c=a(x+b2a)2−Δ4aax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}, με Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac· αποδείχθηκε στην ενότητα για τις αλγεβρικές συναρτήσεις. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • FΔιακρίνουσα. Μια δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο ρίζες, μία διπλή ή καμία, ανάλογα με το αν η διακρίνουσά της είναι θετική, μηδέν ή αρνητική, και χωρίς ρίζες το πολυώνυμο διατηρεί το πρόσημο του μεγιστοβάθμιου συντελεστή του· αποδείχθηκε στην ενότητα για τις αλγεβρικές συναρτήσεις. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • GΜετατόπιση γραφικών παραστάσεων. Η αντικατάσταση του xx με x−hx - h και του yy με y−ky - k μετατοπίζει μια γραφική παράσταση κατά hh μονάδες οριζόντια και κατά kk κατακόρυφα· αποδείχθηκε στην ενότητα για τις αλγεβρικές συναρτήσεις. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • HΚανόνας των προσήμων. Ένα γινόμενο δύο παραγόντων είναι θετικό αν έχουν το ίδιο πρόσημο και αρνητικό αν έχουν αντίθετα πρόσημα· είναι το θεμέλιο των πινάκων προσήμων της ενότητας για τις αλγεβρικές συναρτήσεις. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.

  1. Τμήμα 1 Οι συντεταγμένες, η ευθεία και τα διανύσματα

    • Να προκύψουν από το Πυθαγόρειο θεώρημα η απόσταση δύο σημείων και το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος.
    • Να αποδειχθεί ότι τα σημεία μιας ευθείας είναι ακριβώς οι λύσεις μιας εξίσωσης πρώτου βαθμού, και να χαρακτηριστούν η παραλληλία και η καθετότητα μέσω των κλίσεων.
    • Να εφοδιαστούν τα διανύσματα του επιπέδου με την πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό με αριθμό, το μέτρο και το εσωτερικό γινόμενο, και να συναχθούν η ανισότητα Κωσί-Σβαρτς, η τριγωνική ανισότητα και η ορθογώνια προβολή.
    • Να βρεθούν η διανυσματική εξίσωση της ευθείας, το κάθετο διάνυσμά της και η απόσταση σημείου από ευθεία.

    1. Απόσταση και μέσο. Η απόσταση των P1=(x1,y1)P_1 = (x_1, y_1) και P2=(x2,y2)P_2 = (x_2, y_2) είναι (x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}, και το σημείο (x1+x22,y1+y22)\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) χωρίζει το ευθύγραμμο τμήμα σε δύο ίσα μισά.

      Στηρίζεται σε: A (Ευκλείδεια γεωμετρία). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εξίσωση της ευθείας και τα καρτεσιανά συστήματα.

    2. Εξίσωση της ευθείας. Η κλίση δεν εξαρτάται από τα σημεία με τα οποία υπολογίζεται, και ένα σημείο ανήκει στην ευθεία με κλίση mm που διέρχεται από το (x0,y0)(x_0, y_0) αν και μόνο αν y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)· από αυτό, κάθε ευθεία έχει μια εξίσωση Ax+By+C=0Ax + By + C = 0.

      Στηρίζεται σε: A (Ευκλείδεια γεωμετρία). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εξίσωση της ευθείας και τα καρτεσιανά συστήματα.

    3. Παράλληλες και κάθετες. Δύο διαφορετικές μη κατακόρυφες ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν έχουν την ίδια κλίση, και κάθετες αν και μόνο αν το γινόμενο των κλίσεών τους είναι −1-1.

      Χρησιμοποιεί: 2. Εξίσωση της ευθείας. Στηρίζεται σε: A (Ευκλείδεια γεωμετρία), B (Τύπος της απόστασης). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εξίσωση της ευθείας και τα καρτεσιανά συστήματα.

    4. Η κάθετος είναι ο συντομότερος δρόμος. Αν το QQ είναι το ίχνος της καθέτου που φέρεται από το PP προς την ευθεία rr, κάθε άλλο σημείο RR της rr ικανοποιεί d(P,R)>d(P,Q)d(P, R) > d(P, Q).

      Χρησιμοποιεί: 3. Παράλληλες και κάθετες. Στηρίζεται σε: A (Ευκλείδεια γεωμετρία), B (Τύπος της απόστασης). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εξίσωση της ευθείας και τα καρτεσιανά συστήματα.

    5. Πράξεις με διανύσματα. Η πρόσθεση διανυσμάτων και ο πολλαπλασιασμός με αριθμό ικανοποιούν τα οκτώ αξιώματα διανυσματικού χώρου, και δύο μη μηδενικά διανύσματα με u1v2−u2v1≠0u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0 παράγουν κάθε διάνυσμα του επιπέδου με έναν μοναδικό τρόπο.

      Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Διανύσματα στο επίπεδο και παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας.

    6. Εσωτερικό γινόμενο και καθετότητα. Το εσωτερικό γινόμενο u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 είναι αντιμεταθετικό και επιμεριστικό, ικανοποιεί u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2, και δύο διανύσματα είναι κάθετα αν και μόνο αν u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

      Χρησιμοποιεί: 5. Πράξεις με διανύσματα. Στηρίζεται σε: A (Ευκλείδεια γεωμετρία), B (Τύπος της απόστασης). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Διανύσματα στο επίπεδο και παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας.

    7. Κωσί-Σβαρτς και τριγωνική ανισότητα. Ισχύει ∣u⃗⋅v⃗∣≤∥u⃗∥∥v⃗∥\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}, από όπου ∥u⃗+v⃗∥≤∥u⃗∥+∥v⃗∥\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}} και, για τρία σημεία, d(P,R)≤d(P,Q)+d(Q,R)d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R).

      Χρησιμοποιεί: 6. Εσωτερικό γινόμενο και καθετότητα. Στηρίζεται σε: F (Διακρίνουσα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Διανύσματα στο επίπεδο και παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας.

    8. Ορθογώνια προβολή. Αν το v⃗\vec{v} δεν είναι μηδενικό, υπάρχει ένας μοναδικός αριθμός tt τέτοιος ώστε το u⃗−tv⃗\vec{u} - t \vec{v} να είναι κάθετο στο v⃗\vec{v}, δηλαδή t=u⃗⋅v⃗∥v⃗∥2t = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2}.

      Χρησιμοποιεί: 6. Εσωτερικό γινόμενο και καθετότητα. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Διανύσματα στο επίπεδο και παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας.

    9. Διανυσματική εξίσωση και κάθετο διάνυσμα. Τα σημεία της ευθείας που διέρχεται από το P0P_0 με διάνυσμα κατεύθυνσης d⃗\vec{d} είναι τα P0+td⃗P_0 + t \vec{d}, καθένα με μία μοναδική παράμετρο tt· και το n⃗=(A,B)\vec{n} = \left( A, B \right) είναι κάθετο στην ευθεία Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, της οποίας τα σημεία είναι τα PP με n⃗⋅P0P⃗=0\vec{n} \cdot \vec{P_0 P} = 0.

      Χρησιμοποιεί: 2. Εξίσωση της ευθείας, 6. Εσωτερικό γινόμενο και καθετότητα. Στηρίζεται σε: C (Γενική εξίσωση της ευθείας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Διανύσματα στο επίπεδο και παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας.

    10. Απόσταση σημείου από ευθεία. Η απόσταση του (x1,y1)(x_1, y_1) από την ευθεία Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 είναι ∣Ax1+By1+C∣A2+B2\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}, και επιτυγχάνεται στο ίχνος της καθέτου.

      Χρησιμοποιεί: 4. Η κάθετος είναι ο συντομότερος δρόμος, 8. Ορθογώνια προβολή, 9. Διανυσματική εξίσωση και κάθετο διάνυσμα. Στηρίζεται σε: C (Γενική εξίσωση της ευθείας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Διανύσματα στο επίπεδο και παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας.

  2. Τμήμα 2 Οι κωνικές τομές που ορίζονται με αποστάσεις

    • Να οριστεί η παραβολή με μια εστία και μια διευθετούσα, να βρεθεί η εξίσωσή της και να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των δευτεροβάθμιων πολυωνύμων είναι ακριβώς οι παραβολές με κατακόρυφο άξονα.
    • Να διαβάζεται, με συμπλήρωση τετραγώνου, η κορυφή της παραβολής και να κρίνονται με τη διακρίνουσα οι τομές της με τον οριζόντιο άξονα.
    • Να συναχθούν η ανηγμένη εξίσωση της έλλειψης και η θεμελιώδης εξίσωση της υπερβολής, με την απόδειξη του αντιστρόφου, και να αναγνωριστεί ο κύκλος ως η έλλειψη με συμπίπτουσες εστίες.
    • Να μελετηθεί η θέση μιας ευθείας και ενός άλλου κύκλου ως προς έναν κύκλο, και να αποδειχθεί το θεώρημα της δύναμης σημείου.
    • Να χαρακτηριστούν οι εφαπτόμενες των κωνικών τομών μέσω της διακρίνουσας, με την προφύλαξη των ευθειών που είναι παράλληλες προς τον άξονα ή προς τις ασύμπτωτες, και να εξεταστούν χωριστά οι κατακόρυφες ευθείες.

    1. Εξίσωση της παραβολής. Τα σημεία που ισαπέχουν από την εστία (h,k+f)(h, k + f) και από τη διευθετούσα y=k−fy = k - f είναι ακριβώς εκείνα της καμπύλης (x−h)2=4f(y−k)(x - h)^2 = 4f(y - k), που είναι συμμετρική ως προς τον άξονά της x=hx = h.

      Στηρίζεται σε: B (Τύπος της απόστασης), G (Μετατόπιση γραφικών παραστάσεων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εξίσωση της παραβολής: ορισμοί και ιδιότητες.

    2. Παραβολή και δευτεροβάθμιο πολυώνυμο. Οι γραφικές παραστάσεις των y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c, με a≠0a \neq 0, είναι ακριβώς οι παραβολές με κατακόρυφο άξονα, με f=14af = \frac{1}{4a}, της οποίας η απόλυτη τιμή είναι η εστιακή απόσταση.

      Χρησιμοποιεί: 11. Εξίσωση της παραβολής. Στηρίζεται σε: E (Συμπλήρωση τετραγώνου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εξίσωση της παραβολής: ορισμοί και ιδιότητες.

    3. Ανακλαστική ιδιότητα. Η εφαπτομένη σε ένα σημείο PP της παραβολής σχηματίζει ίσες γωνίες με την παράλληλο προς τον άξονα που φέρεται από το PP και με την ευθεία που ενώνει το PP με την εστία.

      Χρησιμοποιεί: 11. Εξίσωση της παραβολής. Στηρίζεται σε: A (Ευκλείδεια γεωμετρία), B (Τύπος της απόστασης), F (Διακρίνουσα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εξίσωση της παραβολής: ορισμοί και ιδιότητες.

    4. Κορυφή και τομές με τον άξονα. Η κορυφή της y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c είναι το (−b2a,−Δ4a)\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right), το χαμηλότερο σημείο της αν a>0a > 0 και το υψηλότερο αν a<0a < 0, και η παραβολή τέμνει τον άξονα xx σε δύο σημεία, σε ένα ή σε κανένα, ανάλογα με το αν η Δ\Delta είναι θετική, μηδέν ή αρνητική.

      Χρησιμοποιεί: 12. Παραβολή και δευτεροβάθμιο πολυώνυμο. Στηρίζεται σε: E (Συμπλήρωση τετραγώνου), F (Διακρίνουσα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Χαρακτηρισμός των παραβολών και οι γραφικές τους παραστάσεις.

    5. Ανηγμένη εξίσωση της έλλειψης. Με b2=a2−c2b^2 = a^2 - c^2, η έλλειψη με εστίες (±c,0)(\pm c, 0) και άθροισμα αποστάσεων 2a2a είναι ακριβώς η καμπύλη x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, και οι αποστάσεις κάθε σημείου από τις εστίες είναι a+caxa + \frac{c}{a} x και a−caxa - \frac{c}{a} x.

      Στηρίζεται σε: B (Τύπος της απόστασης). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εξίσωση της έλλειψης και του κύκλου.

    6. Εξίσωση του κύκλου. Ο κύκλος με κέντρο (h,k)(h, k) και ακτίνα rr είναι η καμπύλη (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, και είναι η έλλειψη της οποίας οι δύο εστίες συμπίπτουν με το κέντρο.

      Χρησιμοποιεί: 15. Ανηγμένη εξίσωση της έλλειψης. Στηρίζεται σε: B (Τύπος της απόστασης), G (Μετατόπιση γραφικών παραστάσεων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εξίσωση της έλλειψης και του κύκλου.

    7. Επαφή με την έλλειψη. Μια μη κατακόρυφη ευθεία εφάπτεται της έλλειψης αν και μόνο αν η διακρίνουσα της εξίσωσης που προκύπτει από την αντικατάστασή της είναι μηδέν· αν είναι θετική, την τέμνει σε δύο σημεία, και αν είναι αρνητική, δεν την αγγίζει. Οι μόνες κατακόρυφες εφαπτόμενες είναι οι x=ax = a και x=−ax = -a.

      Χρησιμοποιεί: 15. Ανηγμένη εξίσωση της έλλειψης. Στηρίζεται σε: F (Διακρίνουσα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εξίσωση της έλλειψης και του κύκλου.

    8. Θέση ευθείας. Αν δ\delta είναι η απόσταση του κέντρου από μια ευθεία, η ευθεία δεν αγγίζει τον κύκλο αν δ>r\delta > r, τον αγγίζει μόνο στο ίχνος της καθέτου αν δ=r\delta = r και τον τέμνει σε δύο σημεία αν δ<r\delta < r.

      Χρησιμοποιεί: 4. Η κάθετος είναι ο συντομότερος δρόμος, 16. Εξίσωση του κύκλου. Στηρίζεται σε: A (Ευκλείδεια γεωμετρία), D (Απόσταση σημείου από ευθεία), F (Διακρίνουσα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο κύκλος: εφαπτόμενες, σχετικές θέσεις και δύναμη σημείου.

    9. Η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα. Μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο TT του κύκλου είναι εφαπτομένη αν και μόνο αν είναι κάθετη στην ακτίνα που ενώνει το κέντρο με το TT· από κάθε σημείο διέρχεται μία μόνο εφαπτομένη.

      Χρησιμοποιεί: 3. Παράλληλες και κάθετες, 4. Η κάθετος είναι ο συντομότερος δρόμος, 18. Θέση ευθείας. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο κύκλος: εφαπτόμενες, σχετικές θέσεις και δύναμη σημείου.

    10. Ριζικός άξονας και σχετικές θέσεις. Τα σημεία ίσης δύναμης ως προς δύο κύκλους με διαφορετικά κέντρα σχηματίζουν μια ευθεία κάθετη στη διάκεντρο, και οι δύο κύκλοι έχουν δύο κοινά σημεία αν ∣r1−r2∣<d<r1+r2\abs{r_1 - r_2} < d < r_1 + r_2, ένα αν το dd είναι ίσο με ένα από αυτά τα άκρα, οπότε, εκτός από το σημείο επαφής, τα σημεία του μικρότερου βρίσκονται μέσα στον μεγαλύτερο στην εσωτερική επαφή και τα σημεία καθενός έξω από τον άλλο στην εξωτερική, και κανένα σε κάθε άλλη περίπτωση.

      Χρησιμοποιεί: 3. Παράλληλες και κάθετες, 7. Κωσί-Σβαρτς και τριγωνική ανισότητα, 16. Εξίσωση του κύκλου, 18. Θέση ευθείας. Στηρίζεται σε: C (Γενική εξίσωση της ευθείας), D (Απόσταση σημείου από ευθεία). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο κύκλος: εφαπτόμενες, σχετικές θέσεις και δύναμη σημείου.

    11. Δύναμη σημείου. Αν μια ευθεία που διέρχεται από το PP τέμνει τον κύκλο στα AA και BB, ισχύει d(P,A)⋅d(P,B)=∣p∣d(P, A) \cdot d(P, B) = \abs{p}, με p=d2−r2p = d^2 - r^2· και από ένα εξωτερικό σημείο φέρονται ακριβώς δύο εφαπτόμενες, και οι δύο με μήκος p\sqrt{p}.

      Χρησιμοποιεί: 18. Θέση ευθείας, 19. Η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα, 20. Ριζικός άξονας και σχετικές θέσεις. Στηρίζεται σε: A (Ευκλείδεια γεωμετρία). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο κύκλος: εφαπτόμενες, σχετικές θέσεις και δύναμη σημείου.

    12. Εξίσωση της υπερβολής. Με b2=c2−a2b^2 = c^2 - a^2, η υπερβολή με εστίες (±c,0)(\pm c, 0) και διαφορά αποστάσεων 2a2a είναι ακριβώς η καμπύλη x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, της οποίας οι κλάδοι πλησιάζουν τις ασύμπτωτες y=±baxy = \pm \frac{b}{a} x.

      Στηρίζεται σε: B (Τύπος της απόστασης). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εξίσωση της υπερβολής και η εξαγωγή της.

    13. Ισοσκελής υπερβολή. Η γραφική παράσταση της y=1xy = \frac{1}{x} είναι η υπερβολή με εστίες (2,2)(\sqrt{2}, \sqrt{2}) και (−2,−2)(-\sqrt{2}, -\sqrt{2}) της οποίας οι αποστάσεις από αυτές διαφέρουν κατά 222\sqrt{2}· είναι ισοσκελής και οι ασύμπτωτές της είναι οι άξονες.

      Χρησιμοποιεί: 22. Εξίσωση της υπερβολής. Στηρίζεται σε: A (Ευκλείδεια γεωμετρία), B (Τύπος της απόστασης). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εξίσωση της υπερβολής και η εξαγωγή της.

    14. Επαφή με την υπερβολή. Μια ευθεία μη παράλληλη προς τις ασύμπτωτες εφάπτεται της υπερβολής ακριβώς όταν η διακρίνουσα είναι μηδέν· μια παράλληλη προς μια ασύμπτωτη, χωρίς να συμπίπτει με αυτήν, την τέμνει σε ένα μόνο σημείο και τη διασχίζει· και οι μόνες κατακόρυφες εφαπτόμενες είναι οι x=ax = a και x=−ax = -a.

      Χρησιμοποιεί: 22. Εξίσωση της υπερβολής. Στηρίζεται σε: F (Διακρίνουσα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εξίσωση της υπερβολής και η εξαγωγή της.

  3. Τμήμα 3 Η ενοποιημένη θεωρία και οι ανισότητες

    • Να ταξινομηθούν οι εξισώσεις Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 με βάση το πρόσημο του ACAC και το δεύτερο μέλος που αφήνει η συμπλήρωση των τετραγώνων.
    • Να περιγραφούν η έλλειψη, η παραβολή και η υπερβολή ως τόποι μιας εστίας και μιας διευθετούσας, ανάλογα με την εκκεντρότητά τους.
    • Να αποδειχθεί ότι μια γραμμική παράσταση διατηρεί το πρόσημό της σε κάθε πλευρά της ευθείας της και να θεμελιωθεί σε αυτό η μέθοδος του σημείου ελέγχου.
    • Να αποδειχθεί ότι οι περιοχές που ορίζονται από γραμμικές ανισώσεις είναι κυρτές, να επεκταθεί η μέθοδος του σημείου ελέγχου στις κωνικές τομές και να αποδειχθεί ότι μια γραμμική συνάρτηση παίρνει τις ακρότατες τιμές της πάνω σε ένα κυρτό φραγμένο πολύγωνο σε μια κορυφή, και σε μια κορυφή επίσης πάνω σε μια μη φραγμένη περιοχή με κορυφές, όταν οι τιμές αυτές υπάρχουν.

    1. Γενική εξίσωση δευτέρου βαθμού. Κάθε εξίσωση Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, όπου τα AA και CC δεν είναι και τα δύο μηδέν, παριστάνει μια έλλειψη, μια υπερβολή ή μια παραβολή, ανάλογα με το αν το ACAC είναι θετικό, αρνητικό ή μηδέν, ή μία από τις εκφυλισμένες περιπτώσεις τους, ανάμεσα στις οποίες κρίνει το δεύτερο μέλος GG που αφήνει η συμπλήρωση των τετραγώνων.

      Χρησιμοποιεί: 11. Εξίσωση της παραβολής, 15. Ανηγμένη εξίσωση της έλλειψης, 16. Εξίσωση του κύκλου, 22. Εξίσωση της υπερβολής. Στηρίζεται σε: E (Συμπλήρωση τετραγώνου), F (Διακρίνουσα), G (Μετατόπιση γραφικών παραστάσεων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κωνικές τομές: χαρακτηρισμός και γραφικές παραστάσεις.

    2. Θεώρημα της εστίας και της διευθετούσας. Τα σημεία των οποίων η απόσταση από μια εστία FF είναι ee φορές η απόστασή τους από μια διευθετούσα LL σχηματίζουν μια έλλειψη αν e<1e < 1, μια παραβολή αν e=1e = 1 και μια υπερβολή αν e>1e > 1.

      Χρησιμοποιεί: 11. Εξίσωση της παραβολής, 15. Ανηγμένη εξίσωση της έλλειψης, 22. Εξίσωση της υπερβολής, 25. Γενική εξίσωση δευτέρου βαθμού. Στηρίζεται σε: A (Ευκλείδεια γεωμετρία), B (Τύπος της απόστασης), E (Συμπλήρωση τετραγώνου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κωνικές τομές: χαρακτηρισμός και γραφικές παραστάσεις.

    3. Διευθετούσες της έλλειψης και της υπερβολής. Στην έλλειψη και στην υπερβολή με εκκεντρότητα e=cae = \frac{c}{a}, η απόσταση κάθε σημείου από την εστία (c,0)(c, 0) είναι ee φορές η απόστασή του από την ευθεία x=aex = \frac{a}{e}· ο κύκλος, αντίθετα, δεν έχει διευθετούσα.

      Χρησιμοποιεί: 15. Ανηγμένη εξίσωση της έλλειψης, 22. Εξίσωση της υπερβολής, 26. Θεώρημα της εστίας και της διευθετούσας. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κωνικές τομές: χαρακτηρισμός και γραφικές παραστάσεις.

    4. Θεώρημα των ημιεπιπέδων. Η παράσταση Ax+By+CAx + By + C είναι θετική σε όλα τα σημεία της μιας πλευράς της ευθείας Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 και αρνητική σε όλα τα σημεία της άλλης· από αυτό, η μέθοδος του σημείου ελέγχου.

      Στηρίζεται σε: C (Γενική εξίσωση της ευθείας), H (Κανόνας των προσήμων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ανισώσεις στο επίπεδο και γραμμικός προγραμματισμός.

    5. Παραστάσεις κατά μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος. Πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα με άκρα PP και QQ, μια γραμμική παράσταση ικανοποιεί L(Pt)=(1−t)L(P)+tL(Q)L(P_t) = (1 - t) L(P) + t L(Q), οπότε οι περιοχές λύσεων των συστημάτων γραμμικών ανισώσεων είναι κυρτές· και μια παράσταση δευτέρου βαθμού που δεν μηδενίζεται σε ένα ευθύγραμμο τμήμα διατηρεί σε αυτό το πρόσημό της, οπότε κάθε κωνική τομή χωρίζει το επίπεδο σε περιοχές, δύο ή τρεις, στις οποίες ισχύει η μέθοδος του σημείου ελέγχου.

      Χρησιμοποιεί: 2. Εξίσωση της ευθείας, 28. Θεώρημα των ημιεπιπέδων, 7. Κωσί-Σβαρτς και τριγωνική ανισότητα, 14. Κορυφή και τομές με τον άξονα. Στηρίζεται σε: F (Διακρίνουσα), H (Κανόνας των προσήμων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ανισώσεις στο επίπεδο και γραμμικός προγραμματισμός.

    6. Θεώρημα των κορυφών. Μια συνάρτηση ax+by+cax + by + c παίρνει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της πάνω στη μη κενή και φραγμένη περιοχή ενός συστήματος μη γνήσιων γραμμικών ανισώσεων, και την καθεμία σε κάποια από τις κορυφές της· αν η περιοχή δεν είναι φραγμένη αλλά έχει μια κορυφή, δηλαδή αν δεν περιέχει ολόκληρες ευθείες, κάθε μέγιστη ή ελάχιστη τιμή που επιτυγχάνεται επιτυγχάνεται και σε μια κορυφή.

      Χρησιμοποιεί: 29. Παραστάσεις κατά μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ανισώσεις στο επίπεδο και γραμμικός προγραμματισμός.

Προς τις υπερβατικές συναρτήσεις. Η αλυσίδα ολοκληρώνει τη μελέτη των αλγεβρικών καμπυλών πρώτου και δευτέρου βαθμού. Η ενότητα που ακολουθεί βγαίνει από τις αλγεβρικές συναρτήσεις, αλλά η υπερβολή επανεμφανίζεται σε αυτήν: τα εμβαδά κάτω από την y=1xy = \frac{1}{x} συμπεριφέρονται όπως λογάριθμοι, και το σημείο (cosh⁡t,sinh⁡t)(\cosh t, \sinh t) διαγράφει τον δεξιό κλάδο της x2−y2=1x^2 - y^2 = 1.