Άλγεβρα πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές

Πολυώνυμα

Ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές στη μεταβλητή $x$ είναι μια παράσταση της παρακάτω μορφής, όπου το $n$ είναι φυσικός αριθμός ή μηδέν και οι συντελεστές $a_0, a_1, \ldots, a_n$ είναι πραγματικοί αριθμοί:

Κάθε προσθετέος $a_i x^i$ λέγεται όρος, και το $a_0$ είναι ο σταθερός όρος. Κάθε πολυώνυμο ορίζει μια συνάρτηση: εκείνη που αντιστοιχίζει σε κάθε πραγματικό $x$ τον αριθμό $P(x)$ που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε στην παράσταση τη μεταβλητή με το $x$. Οι συναρτήσεις που προκύπτουν έτσι, οι λεγόμενες πολυωνυμικές, είναι οι απλούστερες αλγεβρικές συναρτήσεις, που παρουσιάστηκαν στο μάθημα για τις αλγεβρικές συναρτήσεις.

Δύο πολυώνυμα είναι ίσα όταν έχουν τους ίδιους συντελεστές, δύναμη προς δύναμη, αφού συμπληρωθούν με μηδενικούς συντελεστές οι δυνάμεις που λείπουν από κάποιο από τα δύο· έτσι, το $1 + 0x + 3x^2$ και το $1 + 3x^2$ είναι το ίδιο πολυώνυμο. Το πολυώνυμο του οποίου όλοι οι συντελεστές είναι μηδέν λέγεται μηδενικό πολυώνυμο.

Ο βαθμός ενός μη μηδενικού πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος εκθέτης του οποίου ο συντελεστής είναι διάφορος του μηδενός· ο συντελεστής αυτός λέγεται μεγιστοβάθμιος συντελεστής. Έτσι, το $P(x) = 3 - x + 5x^4$ έχει βαθμό $4$ και μεγιστοβάθμιο συντελεστή $5$, και γράφουμε $\deg(P) = 4$. Το μηδενικό πολυώνυμο δεν έχει βαθμό, επειδή δεν έχει κανέναν συντελεστή διάφορο του μηδενός. Αφού ο βαθμός και ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής διαβάζονται στους συντελεστές, και δύο ίσα πολυώνυμα έχουν τους ίδιους συντελεστές, και τα δύο είναι καλά ορισμένα.

Ωστόσο, ένα πολυώνυμο χρησιμοποιείται σχεδόν πάντα μέσω της συνάρτησης που ορίζει, και εύλογα ρωτά κανείς αν δύο διαφορετικά πολυώνυμα θα μπορούσαν να ορίζουν την ίδια συνάρτηση· αν συνέβαινε αυτό, ο βαθμός μιας πολυωνυμικής συνάρτησης δεν θα ήταν καλά ορισμένος. Η αρχή της ταυτότητας των πολυωνύμων, που αποδεικνύεται στην παράγραφο για το πλήθος των ριζών, απαντά αρνητικά: δύο πολυώνυμα ορίζουν την ίδια συνάρτηση αν και μόνο αν είναι ίσα. Ως τότε, ό,τι λέγεται για τα πολυώνυμα, και ειδικότερα για τον βαθμό τους, αναφέρεται στους συντελεστές τους, ώστε καμία απόδειξη προγενέστερη αυτής της αρχής δεν εξαρτάται από αυτήν. Έπειτα, κάθε πολυώνυμο μπορεί να ταυτιστεί με τη συνάρτησή του, και δικαιολογείται η σύγκριση συντελεστών σε μια ισότητα μεταξύ πολυωνυμικών συναρτήσεων, όπως στο λυμένο πρόβλημα 5.

Ταξινόμηση

Τα πολυώνυμα ταξινομούνται, πρώτα απ’ όλα, ως προς τον βαθμό τους:

1. Σταθερά: όσα έχουν βαθμό $0$, της μορφής $P(x) = c$ με $c \neq 0$, μαζί με το μηδενικό πολυώνυμο.
2. Πρωτοβάθμια, βαθμού $1$: $P(x) = a_0 + a_1 x$, με $a_1 \neq 0$.
3. Δευτεροβάθμια, βαθμού $2$, και τριτοβάθμια, βαθμού $3$· τα πολυώνυμα ανώτερων βαθμών ονομάζονται με τον αριθμό τους: βαθμού $4$, βαθμού $5$, και ούτω καθεξής.

Ως προς το πλήθος των μη μηδενικών όρων του, ένα πολυώνυμο λέγεται μονώνυμο αν έχει έναν, διώνυμο αν έχει δύο και τριώνυμο αν έχει τρεις.