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Topos Uranos
Deutsch

Mathematik und Logik: Zusammenfassung und Herausforderungen

Zusammenfassung

Diese Lektion schließt die vierte Einheit des Kurses ab, die der Mathematik und der Logik gewidmet ist. Sie rekonstruiert die Kette von Prinzipien und Mechanismen, die vom Mathematikmodus bis zu den Ableitungsbäumen reicht, und zeigt an jedem Glied, welches Prinzip verwendet wird und in welcher Lektion es begründet wird; sie ordnet das Erreichte in den Plan des Kurses ein und gibt an, welche Fragen, nur angedeutet, den folgenden Einheiten vorbehalten bleiben; sie wiederholt in ihrem Ausgangstest die Fertigkeiten des Eingangstests; und sie endet mit sechs Herausforderungen, schwieriger als die Aufgaben der Lektionen, die verlangen, mehrere von ihnen zu verbinden: ein Skript mit Aussagen, Beweis und Verweisen zu setzen, Dokumente zu diagnostizieren, die mit Mängeln kompilieren, die nichts meldet, eine logische Notation von einer Tradition in eine andere zu übertragen, eine Ableitung mit mehreren Zweigen aufzubauen und zu korrigieren, die Nummerierung und die Größen eines Physikberichts vorherzusagen und zwei unverträgliche Präambeln zusammenzuführen.

Lernziele

  1. Die Reihenfolge der Mechanismen der Einheit rekonstruieren und dabei das Prinzip benennen, auf dem jeder beruht.
  2. Erklären, warum so viele Mängel des mathematischen Schreibens ohne Warnung kompilieren, und wo ihre Spur im Ergebnis oder in der Logdatei zu suchen ist.
  3. Unterscheiden, was die Einheit begründet hat, von dem, was sie nur angedeutet hat und was die folgenden Einheiten entwickeln werden.
  4. Die Nummern, Verweise und Größen vorhersagen, die ein Quelltext mit Gleichungen, Aussagen und Einheiten erzeugt, und ihn korrigieren.
  5. Eine Präambel entwerfen, die die Notation, die Aussagen und die Ladereihenfolge der Pakete einer Arbeit festlegt und einen Wechsel der Konvention erlaubt, ohne den Textkörper anzurühren.

Was die Einheit erreicht hat

Die Einheit hatte sich vorgenommen, dass jedes Zeichen einer Formel nach seiner Bedeutung gesetzt wird und dass die Notation einer Arbeit auf allen ihren Seiten dieselbe ist. Das Ziel wurde erreicht, gestützt auf das, was die Einführung aus den vorigen Einheiten als bekannt vorausgesetzt hat: die Verweise, die davon abhängen, was ein Label festhält; die eigenen Befehle, die die Formentscheidungen in der Präambel bündeln; und das Lesen der Logdatei. Damit lässt sich der zurückgelegte Weg als eine einzige Kette in fünf Abschnitten lesen.

Formeln im Fließtext und abgesetzte Formeln

Die Lektion über Formeln im Fließtext und abgesetzte Formeln begründete das Prinzip, von dem fast alle anderen abhängen: Im Mathematikmodus zählen die Leerzeichen des Quelltexts nicht, und die Engine trennt jedes Zeichen nach seiner Klasse, gewöhnlich, binärer Operator, Relation, Satzzeichen, öffnend oder schließend. Daraus leitete sie ab, warum eine Variable nicht mit \textit geschrieben wird, warum $3,5$ „3, 5“ ergibt und warum das Satzzeichen des Satzes außerhalb der Formel im Fließtext steht. Sie zeigte, dass in LuaLaTeX ein griechischer Buchstabe außerhalb seines Modus keinen Fehler erzeugt, sondern verschwindet oder unkontrolliert erscheint, mit einer einzigen Zeile „Missing character“ in der Logdatei; sie setzte die Satzzeichen der abgesetzten Formel als Teil des Satzes, ohne Leerzeilen und ohne $$; sie nummerierte mit equation, \eqref, \numberwithin und \tag; sie unterschied \text von \mathrm; und sie untersuchte das Dezimalkomma, das babel auf Deutsch nicht erzeugt (anders als babel auf Spanisch) und das in geschweiften Klammern geschrieben wird, das Paket icomma und siunitx, das eine eigene Festlegung des Trennzeichens verlangt, locale = DE.

Symbole und Notation

Die Lektion über Symbole und Notation ging von einer Gruppierungsregel aus: ^ und _ wirken auf ein einzelnes Element oder auf eine Gruppe in geschweiften Klammern. Sie behandelte Brüche, Wurzeln, griechische Buchstaben und Alphabete, darunter die Kombinationen, die mit fontspec ohne Fehler verloren gehen, wie \mathbf{\Gamma}; die benannten Operatoren, an denen babel auf Deutsch nichts ändert (auch lg hat mit \lg einen eigenen Befehl), dazu das, was babel auf Spanisch als deutlichster Fall daran ändert (\lim mit Akzent, \sen neu, \sin unverändert), und das, was es-minimal unterdrückt; die großen Operatoren, die Begrenzer und ihre Größen; die Suche nach einem unbekannten Symbol; und unicode-math mit seinen vier Vorsichtsmaßnahmen. Sie schloss damit, die Notation in die Präambel zu verlegen, in eigene Befehle, die einmal entschieden werden.

Mehrzeilige Gleichungen

Die Lektion über mehrzeilige Gleichungen ersetzte gestapelte Formeln und eqnarray durch align, mit dem & vor der Relation, und stellte fest, dass eine Ausrichtungsumgebung eine Tabelle ist: eine Zeile für jedes \\ und eine Zelle für jeden Abschnitt zwischen zwei &. Daraus leitete sie ihre stillen Mängel ab (das =&, das überzählige &, den abschließenden doppelten Backslash, der eine leere Zeile nummeriert, das Label in einer Zeile mit \notag) sowie ihre lauten Fehler; sie wählte zwischen gather, multline, split, aligned und gathered nach der Nummer, die das Ganze tragen soll; sie setzte Fallunterscheidungen mit cases und dcases, Text mit \intertext, Matrizen und erweiterte Matrizen; sie nummerierte Gruppen mit subequations und erlaubte den Seitenumbruch.

Sätze und Beweise

Die Lektion über Sätze und Beweise übertrug auf die Aussagen den Gedanken, zu erklären statt nachzuahmen: Mit amsthm legt \newtheorem Kopf, Nummer und Stil jeder Art von Aussage fest. Sie leitete ab, wann sich der gemeinsame Zähler eignet und wann getrennte, wann die Nummerierung nach Abschnitt oder nach Kapitel, und welcher Stil dem entspricht, was behauptet, was festgesetzt und was begleitet wird. Sie setzte die Beweise mit proof, dessen Kopf von babel kommt, und korrigierte mit \qedhere das verwaiste Quadrat; sie verwies mit cleveref, nach amsthm geladen, mit einem \crefname je Umgebung, und entdeckte, dass cleveref beim gemeinsamen Zähler von \newtheorem jede Aussage „Satz“ nennt, ein Mangel, den thmtools behebt.

Logik und Ableitungen

Die Lektion über Logik und Ableitungen trennte die Objektsprache von der Metasprache, mit \to gegenüber \Rightarrow und den Zeichen \vdash, \models und \equiv; sie wandte das Prinzip der Klasse des Zeichens auf die Tilde der Negation, den Strich der Mengen und den Doppelpunkt der Funktionen an; sie schlug einen Befehl je Junktor vor, ohne Argumente, um Zeichen zu wechseln, und mit Argumenten, um die Syntax zu wechseln; sie stellte die Pakete der modalen Zeichen zusammen; sie setzte Wahrheitstafeln mit array; und sie baute Bäume des natürlichen Schließens mit bussproofs, dessen Stapellogik seine beiden Fehler erklärt, dazu die Fitch-Kästen und die Argumente in Standardform.

Die folgende Abbildung fasst die fünf Abschnitte zu einer einzigen Kette zusammen. Jeder Knoten der Säule ist ein Mechanismus oder eine Regel, nummeriert nach der Reihenfolge, in der sie aufeinander aufbauen, und durch einen Bogen mit den früheren Gliedern verbunden, die er verwendet; ringsum schweben die Stützen, also die Prinzipien, auf die die Kette immer wieder zurückgreift, jede durch einen durchgezogenen Strich mit den Gliedern verbunden, die sich auf sie stützen, und durch einen gepunkteten mit dem Glied, in dem sie begründet wird, außer denen, die in früheren Einheiten begründet wurden und als Ringe gezeichnet sind. Ein Klick auf eine Stütze hebt alle Glieder hervor, die sie verwenden, und jedes Glied verweist auf die Lektion, in der es behandelt wird.

Stützen der Kette

  • AWas ein Label festhält. Ein Label hält die letzte vor ihm vergebene Nummer innerhalb seiner Umgebung fest, ohne zu wissen, woran es hängt. Begründet in der vorigen Einheit. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
  • BEigene Befehle. Ein eigener Befehl benennt eine Funktion, und seine Definition, einmal in der Präambel geschrieben, legt ihre Form fest; sie zu ändern, ändert das ganze Dokument. Begründet in der vorigen Einheit. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
  • CLadereihenfolge. Pakete werden in der Reihenfolge geladen, in der sie gelesen werden, und ein späteres passt an, bewahrt oder macht rückgängig, was ein früheres getan hat. Begründet in der vorigen Einheit. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
  • DDie Klasse des Zeichens. Im Mathematikmodus trennt die Engine jedes Zeichen nach seiner Klasse (gewöhnlich, binärer Operator, Relation, Satzzeichen, öffnend, schließend) und übergeht die Leerzeichen des Quelltexts. Begründet in: 1. Zwei Modi.
  • EWas ohne Fehler verschwindet. In LuaLaTeX hält ein Zeichen, das die verwendete Schrift nicht enthält, die Kompilierung nicht an: Es verschwindet und hinterlässt in der Logdatei nur eine Zeile „Missing character“. Begründet in: 2. Zeichen im falschen Modus.
  • FEin Element oder eine Gruppe. Indizes, Exponenten und Argumente wirken auf das folgende Element oder auf eine Gruppe in geschweiften Klammern, die nicht gedruckt werden. Begründet in: 6. Indizes und Exponenten.
  • GEine Ausrichtung ist eine Tabelle. Eine Ausrichtungsumgebung baut eine Zeile für jedes \\ und eine Zelle für jeden Abschnitt zwischen zwei &, auch wenn die Zeile leer bleibt. Begründet in: 11. Ausrichten mit align.
  • HDer Stapel der Bäume. Eine Schlussregel mit n Prämissen nimmt die n letzten Bäume des Stapels und gibt einen zurück; der Beweis wird gedruckt, wenn am Ende genau einer übrig bleibt. Begründet in: 23. Ableitungsbäume.

  1. Abschnitt 1 Formeln im Fließtext und abgesetzte Formeln

    • Das Ergebnis eines Zeichens, einer Variablen oder eines Wortes vorhersagen, das im falschen Modus geschrieben ist.
    • Formeln im Fließtext und abgesetzte Formeln als Teile des Satzes interpunktieren.
    • Abgesetzte Formeln nummerieren und auf sie verweisen.
    • Dezimalzahlen und Größen nach der deutschen Norm schreiben, mit siunitx oder ohne.

    1. Zwei Modi. Im Mathematikmodus sind Buchstaben Variablen, die Leerzeichen des Quelltexts zählen nicht, den Abstand bestimmt die Klasse jedes Zeichens, und eine Leerzeile ist nicht zulässig.

      Stützt sich auf: D (Die Klasse des Zeichens). Bewiesen in: Formeln im Fließtext und abgesetzte Formeln.

    2. Zeichen im falschen Modus. Ein _ im Text ergibt „Missing $ inserted“; \alpha außerhalb einer Formel verschwindet oder erscheint angeklebt; ein Wort in der Formel ist ein Produkt von Variablen und gehört in \text oder in \mathrm, die nicht austauschbar sind.

      Verwendet: 1. Zwei Modi. Stützt sich auf: E (Was ohne Fehler verschwindet). Bewiesen in: Formeln im Fließtext und abgesetzte Formeln.

    3. Die Formel im Satz. Die Formel im Fließtext begrenzt ihre Höhe und lässt das Satzzeichen des Satzes draußen; die abgesetzte Formel wird innen interpunktiert, ohne Leerzeilen, mit \[…\] oder equation und nie mit $$.

      Verwendet: 1. Zwei Modi. Stützt sich auf: D (Die Klasse des Zeichens). Bewiesen in: Formeln im Fließtext und abgesetzte Formeln.

    4. Nummerieren und verweisen. equation nummeriert, und ihr Label steht innen; \eqref setzt die Klammern; \numberwithin nummeriert nach Abschnitt; \tag setzt eine Marke, ohne eine Nummer zu verbrauchen.

      Verwendet: 3. Die Formel im Satz. Stützt sich auf: A (Was ein Label festhält). Bewiesen in: Formeln im Fließtext und abgesetzte Formeln.

    5. Dezimalkomma. Das Komma der Formel ist ein Satzzeichen; babel auf Deutsch wandelt den Punkt nicht in ein Komma um (babel auf Spanisch schon); {,} gilt immer, und siunitx verlangt locale = DE oder output-decimal-marker.

      Verwendet: 1. Zwei Modi. Stützt sich auf: D (Die Klasse des Zeichens). Bewiesen in: Formeln im Fließtext und abgesetzte Formeln.

  2. Abschnitt 2 Symbole und Notation

    • Indizes und Exponenten gruppieren und vorhersagen, was ohne Klammern fehlt.
    • Alphabet, Variante und Operator nach der Konvention des Fachs wählen.
    • Vorhersehen, was babel an den Operatoren ändert: nichts auf Deutsch, viel auf Spanisch.
    • Die Notation des Dokuments in seiner Präambel festlegen.

    1. Indizes und Exponenten. x^10 hebt nur die 1 hoch; x^{10} hebt die Gruppe; zwei Indizes derselben Art hintereinander ergeben „Double subscript“ oder „Double superscript“.

      Verwendet: 1. Zwei Modi. Stützt sich auf: F (Ein Element oder eine Gruppe). Bewiesen in: Symbole und Notation.

    2. Buchstaben und Alphabete. Jedes Alphabet sagt, welche Art von Objekt benannt wird; mit fontspec verschwindet \mathbf{\Gamma}, und \mathbf{\alpha} erscheint nicht fett; das Fett eines Symbols ist \boldsymbol.

      Verwendet: 6. Indizes und Exponenten. Stützt sich auf: E (Was ohne Fehler verschwindet). Bewiesen in: Symbole und Notation.

    3. Benannte Operatoren. Operatoren stehen aufrecht mit ihrem Abstand; babel auf Deutsch ändert nichts, während babel auf Spanisch \lim, \max, \min und \inf mit Akzent versieht, \sen definiert und \sin unberührt lässt, und es-minimal unterdrückt all das.

      Verwendet: 6. Indizes und Exponenten. Stützt sich auf: D (Die Klasse des Zeichens). Bewiesen in: Symbole und Notation.

    4. Begrenzer. \left und \right messen, was sie umschließen, und treten paarweise auf; die manuellen Größen erlauben eine feine Steuerung; mathtools definiert Paare wie \abs.

      Verwendet: 6. Indizes und Exponenten. Stützt sich auf: D (Die Klasse des Zeichens), F (Ein Element oder eine Gruppe). Bewiesen in: Symbole und Notation.

    5. Die Notation in der Präambel. \R, \vect, \dd oder \abs werden einmal definiert; unicode-math kommt nach amsmath, ohne amssymb dahinter, und verlangt \symbf für Fett.

      Verwendet: 7. Buchstaben und Alphabete, 8. Benannte Operatoren, 9. Begrenzer. Stützt sich auf: B (Eigene Befehle), C (Ladereihenfolge), E (Was ohne Fehler verschwindet). Bewiesen in: Symbole und Notation.

  3. Abschnitt 3 Mehrzeilige Gleichungen

    • Ketten und Systeme mit align ausrichten, mit dem & vor der Relation.
    • Entscheiden, welche Zeilen nummeriert werden, und die Nummern vorhersagen.
    • Die Umgebung nach der Struktur und der Nummer des Ganzen wählen.
    • Fallunterscheidungen, Matrizen und eingeschobenen Text setzen.

    1. Ausrichten mit align. Das & steht vor der Relation, und \\ öffnet eine Zeile; =& und ein überzähliges & ändern das Ergebnis ohne Warnung, und eine Leerzeile hält die Kompilierung an.

      Verwendet: 3. Die Formel im Satz. Stützt sich auf: G (Eine Ausrichtung ist eine Tabelle), D (Die Klasse des Zeichens). Bewiesen in: Mehrzeilige Gleichungen.

    2. Welche Zeilen nummeriert werden. align nummeriert jede Zeile, auch die leere, die ein abschließendes \\ hinterlässt; \notag entfernt die Nummer, ohne sie zu verbrauchen, und ein Label in dieser Zeile hält die Nummer der nächsten nummerierten Zeile fest.

      Verwendet: 11. Ausrichten mit align, 4. Nummerieren und verweisen. Stützt sich auf: G (Eine Ausrichtung ist eine Tabelle), A (Was ein Label festhält). Bewiesen in: Mehrzeilige Gleichungen.

    3. Eine Nummer für das Ganze. split in equation gibt der Kette eine Nummer; aligned und gathered sind Blöcke ohne Nummer; subequations gibt einer Gruppe, die eine einzige Nummer verbraucht, Buchstaben.

      Verwendet: 11. Ausrichten mit align, 12. Welche Zeilen nummeriert werden. Stützt sich auf: A (Was ein Label festhält). Bewiesen in: Mehrzeilige Gleichungen.

    4. Fälle, Matrizen und Text. cases hat zwei Spalten und macht aus einem überzähligen & ein Zeilenende; dcases setzt in Displaygröße; Matrizen erlauben zehn Spalten; array zieht Striche; \intertext unterbricht die Ausrichtung nicht.

      Verwendet: 11. Ausrichten mit align. Stützt sich auf: G (Eine Ausrichtung ist eine Tabelle). Bewiesen in: Mehrzeilige Gleichungen.

  4. Abschnitt 4 Sätze und Beweise

    • Aussagen mit ihrem Stil und ihrem Zähler erklären.
    • Die Nummerierung einer gemeinsamen oder getrennten Reihe vorhersagen.
    • Beweise mit dem Symbol an seiner Stelle abschließen.
    • Auf Aussagen mit ihrem Namen verweisen.

    1. Erklärte Aussagen. \newtheorem aus amsthm legt in der Präambel Kopf, Nummer und Aussehen fest; den Kopf schreibt die Person, die das Dokument verfasst, und die Sternform nummeriert nicht.

      Stützt sich auf: B (Eigene Befehle). Bewiesen in: Sätze und Beweise.

    2. Zähler und Stile. [satz] bildet eine einzige Reihe, deren Nummer die Stelle angibt; [section] oder [chapter] nummeriert nach Gliederungsebene; plain, definition und remark entsprechen dem, was behauptet, festgesetzt oder begleitet wird.

      Verwendet: 15. Erklärte Aussagen. Stützt sich auf: B (Eigene Befehle). Bewiesen in: Sätze und Beweise.

    3. Beweise. proof nimmt seinen Kopf von babel und setzt das Quadrat am Ende des letzten Absatzes; endet er mit einer Formel oder einer Liste, setzt \qedhere es an seine Stelle, außer neben einer Nummer.

      Verwendet: 15. Erklärte Aussagen, 11. Ausrichten mit align. Bewiesen in: Sätze und Beweise.

    4. Auf Aussagen verweisen. Das Label steht in der Umgebung; amsthm wird vor cleveref geladen, mit einem \crefname je Umgebung; beim gemeinsamen Zähler von \newtheorem heißt alles „Satz“, und thmtools behebt das.

      Verwendet: 16. Zähler und Stile, 4. Nummerieren und verweisen. Stützt sich auf: A (Was ein Label festhält), C (Ladereihenfolge). Bewiesen in: Sätze und Beweise.

  5. Abschnitt 5 Logik und Ableitungen

    • In der Notation die Objektsprache von der Metasprache unterscheiden.
    • Den Abstand von Tilde, Strich, Doppelpunkt und Quantoren korrigieren.
    • Die Tradition von der Präambel aus wechseln.
    • Ableitungsbäume, Wahrheitstafeln und Argumente aufbauen und korrigieren.

    1. Zwei Sprachebenen. \to ist der Junktor der Objektsprache und \Rightarrow der Pfeil der Metasprache; \vdash behauptet die Ableitbarkeit und \models die semantische Folgerung.

      Verwendet: 8. Benannte Operatoren. Bewiesen in: Logik und Ableitungen.

    2. Der logische Abstand. \sim ist eine Relation und gehört in geschweifte Klammern; der Strich der Tastatur ist gewöhnlich und \mid eine Relation; : ist eine Relation und \colon ein Satzzeichen; den Bereich eines Quantors entscheidet eine Klammer.

      Verwendet: 19. Zwei Sprachebenen, 5. Dezimalkomma. Stützt sich auf: D (Die Klasse des Zeichens). Bewiesen in: Logik und Ableitungen.

    3. Ein Befehl je Junktor. Ohne Argumente wechselt der Befehl das Zeichen von einer Tradition zur anderen; mit Argumenten entscheidet die Definition auch über Reihenfolge und Klammern und erlaubt die polnische Notation.

      Verwendet: 20. Der logische Abstand, 10. Die Notation in der Präambel. Stützt sich auf: B (Eigene Befehle), F (Ein Element oder eine Gruppe). Bewiesen in: Logik und Ableitungen.

    4. Modale Zeichen und Wahrheitstafeln. \Box, \Diamond und \vDash verlangen amssymb, und vorher geladenes latexsym ändert die Raute; die Wahrheitstafel ist ein array mit aufrechtem W und F.

      Verwendet: 19. Zwei Sprachebenen, 14. Fälle, Matrizen und Text. Stützt sich auf: C (Ladereihenfolge), G (Eine Ausrichtung ist eine Tabelle). Bewiesen in: Logik und Ableitungen.

    5. Ableitungsbäume. In bussproofs setzt \AxiomC ein Blatt, und die Schlussregeln nehmen die letzten Bäume; fehlen welche, „Hypotheses missing!“; sind es zu viele, „Proof tree badly specified.“ beim Drucken.

      Verwendet: 19. Zwei Sprachebenen. Stützt sich auf: H (Der Stapel der Bäume). Bewiesen in: Logik und Ableitungen.

    6. Kästen und Standardform. logicproof setzt die Fitch-Kästen als Tabelle mit subproof; ein Argument in Standardform nummeriert die Prämissen und trennt die Konklusion durch einen Strich und \therefore.

      Verwendet: 23. Ableitungsbäume, 22. Modale Zeichen und Wahrheitstafeln. Stützt sich auf: G (Eine Ausrichtung ist eine Tabelle). Bewiesen in: Logik und Ableitungen.

Auf dem Weg zu Tabellen und Abbildungen. Die Kette endet dort, wo Formeln, Aussagen und Ableitungen vollständig und nummeriert sind: Die Tabelle, die hier nur Matrizen, Wahrheitstafeln und Beweisen diente, wächst in der nächsten Einheit zu den Tabellen und Abbildungen des Dokuments, mit ihren Beschriftungen, ihren Nummern und ihrem Platz auf der Seite.