ما وراء النظرية: مقدمة

ملخص

يفتتح هذا الدرس الوحدة الرابعة والأخيرة من وحدات المحتوى في الدورة، المخصّصة لما وراء النظرية. فهو يقدّم دروسها الثلاثة والخيط الذي يربط بينها: فقد بنت الوحدتان السابقتان، على اللغة نفسها، مفهومين لما يلزم عن مقدمات ما، هما الاستنتاج $\Gamma \vdash \varphi$ والنتيجة الدلالية $\Gamma \models \varphi$ ، وتبرهن هذه الوحدة على أنهما يتطابقان، أولًا في حالة المقدمات المنتهية (السلامة وتوطئة كالمار والتمام)، ثم في حالة أي مقدمات كانت (مبرهنة التراص والتمام القوي)، وتقدّم أخيرًا طريقة ثالثة لتقرير النتيجة، هي طريقة الحلّ، وتبرهن كذلك على أنها سليمة وتامة. ويشرح الدرس لماذا يُبرهن على التراص قبل التمام القوي، لا العكس؛ ويبيّن بمثالين الأسئلة التي لا يستطيع البحث عن الاستنتاجات ولا جدول الصدق أن يجيب عنها وحده؛ ويحدّد ما يُؤخذ من الوحدات الثلاث السابقة، ويقدّم نصائح لدراستها.

أهداف التعلم

وصف ترتيب دروس الوحدة الثلاثة، وشرح النتائج التي يستعملها كل درس من الدرس الذي يسبقه، وتعليل البرهان على التراص، بحجة دلالية، قبل التمام القوي.
التمييز بين وجهي الدورة، قابلية الاستنتاج $\Gamma \vdash \varphi$ ، وهي وجودية ومنتهية، والنتيجة الدلالية $\Gamma \models \varphi$ ، وهي كلية على إسنادات غير منتهية، وصياغة السلامة والتمام بدرجاته الثلاث.
شرح لماذا لا يمكن إثبات تطابق العلاقتين حالةً حالةً، بل بمبرهنات ما وراء النظرية وحدها، وتعرّف الأدوات التي ستستعملها كل برهنة من الوحدات السابقة (الاستقراءات، والبرهان بالحالات، ومبرهنتا الاستنتاج، وتوطئة التطابق، والأشكال العطفية).
قراءة الاستنتاجات حول الاستنتاجات والحجج الدلالية في الوحدة مع التمييز في كل خطوة بين العلاقتين المقصودتين، وتنظيم الدراسة انطلاقًا من تقييم الدخول.

تقييم الدخول

قبل استعراض الوحدة، يحسن قياس نقطة الانطلاق. وهذا التقييم تقييم ذاتي: لا يُمنح عليه درجة، وغايته الوحيدة توجيه الدراسة. وأسئلته الخمسة عشر نوعان. فالستة الأولى تتناول ما تفترضه الوحدة معروفًا من الوحدات السابقة: تعريف النتيجة الدلالية وردّها إلى عدم قابلية التحقق، وقيمة النفي المشترك، وتوطئة التطابق، والطابع المنتهي للاستنتاج، والبرهان بالحالات؛ ومن أخطأ في أحدها فعليه، قبل أن يتابع، أن يراجع الدرس الذي يسمّيه السؤال. والتسعة الباقية تتناول، بالترتيب، دروس هذه الوحدة الثلاثة، ثلاثة أسئلة لكل درس. ومن لم يدرس قطّ ما وراء النظرية لنظام منطقي فلا ينبغي أن يتوقع الإجابة عنها إجابة صحيحة، ولا ضير في ذلك: فكل إجابة، صحيحة كانت أو خاطئة، تشرح المسألة وتسمّي الدرس الذي يعالجها. وتُقاس المهارات نفسها مرة أخرى في النهاية، في درس الخلاصة.

تقييم الدخول

قبل أن تبدأ الوحدة، قِس نقطة انطلاقك. إنه تقييم ذاتي قصير: لا يُمنح عليه درجة، وتُحفظ نتيجته في متصفحك فقط.

السؤال 1من وحدات سابقةماذا يعني $\Gamma \models \varphi$ ؟
أن كل إسناد يحقق جميع صيغ $\Gamma$ يحقق $\varphi$ .
أن هناك استنتاجًا لـ $\varphi$ من $\Gamma$ .
أن إسنادًا ما يحقق $\Gamma$ و $\varphi$ معًا.
أن $\varphi$ نتيجة لإحدى صيغ $\Gamma$ مأخوذة وحدها.
السؤال 2من وحدات سابقةأيّ الادعاءات التالية يكافئ $\Gamma \models \varphi$ ؟
أن $\Gamma \cup \{\neg\varphi\}$ غير قابلة للتحقق.
أن $\Gamma \cup \{\varphi\}$ قابلة للتحقق.
أن $\Gamma \cup \{\neg\varphi\}$ قابلة للتحقق.
أن $\neg\varphi$ غير قابلة للتحقق.
السؤال 3من وحدات سابقةإذا أعطى الإسناد $v$ للصيغة $\alpha$ القيمة $1$ ، فما القيمة التي يعطيها لـ $(\alpha \downarrow \beta)$ ؟
$0$ ، أيًّا كانت قيمة $\beta$ .
يتوقف ذلك على $\beta$ : قيمتها $1$ إذا كانت قيمة $\beta$ هي $0$ .
$1 - v(\beta)$ .
$1$ ، لأن أحد المكوّنين صادق.
السؤال 4من وحدات سابقةمتغيرات $\varphi$ هي $v_{2}$ و $v_{7}$ . إسنادان $v$ و $w$ يتفقان على $v_{2}$ و $v_{7}$ ، ويعطيان قيمًا متعاكسة لجميع المتغيرات الأخرى. إذا كان $v(\varphi) = 1$ ، فماذا يمكن الجزم به عن $w(\varphi)$ ؟
أن $w(\varphi) = 1$ .
لا شيء، لأن $v$ و $w$ يختلفان في عدد غير منتهٍ من المتغيرات.
أن $w(\varphi) = 0$ ، لأن $w$ يقلب قيم $v$ كلها تقريبًا.
أن $w(\varphi) = 1$ فقط إذا اتفق $v$ و $w$ أيضًا على $v_{1}, \ldots, v_{6}$ .
السؤال 5من وحدات سابقةلتكن $\Gamma$ مجموعة غير منتهية من الصيغ بحيث $\Gamma \vdash \varphi$ . فماذا يمكن الجزم به؟
أن مجموعة جزئية منتهية من $\Gamma$ تستنتج $\varphi$ .
أن $\varphi$ مبرهنة.
أن الاستنتاج يستعمل جميع صيغ $\Gamma$ .
لا شيء دون مبرهنة التراص، لأن $\Gamma$ غير منتهية.
السؤال 6من وحدات سابقةمن المعلوم أن $\Gamma \cup \{p\} \vdash \chi$ وأن $\Gamma \cup \{\neg p\} \vdash \chi$ . فماذا يجيز البرهان بالحالات أن نستخلص؟
أن $\Gamma \vdash \chi$ .
لا شيء، ما دمنا لا نعلم أتستنتج $\Gamma$ الصيغة $p$ أم تستنتج $\neg p$ .
أن $\Gamma \vdash (p \leftrightarrow \chi)$ .
أن $\Gamma \cup \{p, \neg p\} \vdash \chi$ فحسب.
السؤال 7نظام الدورة سليم. فماذا تؤكد هذه الخاصية؟
أنه لكل مجموعة $\Gamma$ ، إذا كان $\Gamma \vdash \varphi$ ، فإن $\Gamma \models \varphi$ .
أنه إذا كان $\Gamma \models \varphi$ ، فإن $\Gamma \vdash \varphi$ .
أنه لا توجد أي صيغة $\varphi$ مع $\vdash \varphi$ و $\vdash \neg\varphi$ .
أن كل صيغة صادقة مبرهنة.
السؤال 8ليكن $v$ الإسناد الذي يعطي $1$ لـ $p$ و $0$ لـ $q$ . فماذا تؤكد توطئة كالمار، بالمتغيرين $p$ و $q$ ، عن الصيغة $(p \leftrightarrow q)$ ؟
أن $\{p, \neg q\} \vdash \neg(p \leftrightarrow q)$ .
أن $\{p, \neg q\} \vdash (p \leftrightarrow q)$ .
أن $\{p, q\} \vdash \neg(p \leftrightarrow q)$ .
أن $\vdash \neg(p \leftrightarrow q)$ .
السؤال 9هل يمكن أن يكون نظام استنتاجي سليمًا دون أن يكون تامًّا؟
نعم: نظام لوكاشيفيتش، دون قاعدة إبدال النفي المزدوج، سليم ولا يستنتج تحصيل الحاصل $((v_{1} \downarrow v_{2}) \rightarrow \neg v_{1})$ .
لا: السلامة والتمام يُستنتج كلٌّ منهما من الآخر.
لا: النظام الذي مسلّماته تحصيلات حاصل يستنتج جميع تحصيلات الحاصل.
نعم، ولكن فقط إذا كان النظام متناقضًا.
السؤال 10ماذا تؤكد مبرهنة التراص؟
أن مجموعة من الصيغ قابلة للتحقق إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة جزئية منتهية منها قابلة للتحقق.
أن مجموعة من الصيغ قابلة للتحقق إذا وفقط إذا كانت كل صيغة من صيغها قابلة للتحقق.
أن كل مجموعة غير منتهية من الصيغ قابلة للتحقق.
أن المجموعة قابلة للتحقق إذا كانت إحدى مجموعاتها الجزئية المنتهية كذلك.
السؤال 11لتكن $\Gamma$ مجموعة غير منتهية من الصيغ بحيث $\Gamma \models \varphi$ . فماذا يضمن التراص؟
أن $\Gamma_{0} \models \varphi$ لمجموعة جزئية منتهية ما $\Gamma_{0}$ من $\Gamma$ .
أن $\varphi$ نتيجة لإحدى صيغ $\Gamma$ مأخوذة وحدها.
أن $\varphi$ نتيجة لكل مجموعة جزئية منتهية من $\Gamma$ .
أن $\varphi$ صحيحة منطقيًا.
السؤال 12يبرهن الدرس الأول على التمام في حالة المجموعات المنتهية من المقدمات. فلماذا لا يكفي الطابع المنتهي للاستنتاج لتوسيعه إلى مجموعة غير منتهية $\Gamma$ ؟
لأن الطابع المنتهي يتحدث عن $\Gamma \vdash \varphi$ ، والذي لدينا هو $\Gamma \models \varphi$ : المطلوب ردّه إلى جزء منتهٍ هو النتيجة، لا الاستنتاج، وذلك هو التراص.
يكفي: إذا كان $\Gamma \models \varphi$ ، فإن الطابع المنتهي يعطي $\Gamma_{0}$ منتهية مع $\Gamma_{0} \models \varphi$ .
لأن توطئة كالمار لا تصح في الصيغ ذات المتغيرات غير المنتهية العدد.
لأن التمام كاذب في حالة المجموعات غير المنتهية من المقدمات.
السؤال 13ما المحلِّلة للعبارتين $\{p, \neg q, r\}$ و $\{q, s\}$ ؟
$\{p, r, s\}$ .
$\{p, \neg q, r, q, s\}$ .
$\{p, r\}$ .
ليس لهما محلِّلة، لأنه لا حرفية مشتركة بينهما.
السؤال 14لتقرير ما إذا كان $\{(p \vee q), \neg p\} \models q$ بالحلّ، ما مجموعة العبارات التي نحاول دحضها؟
$\{\{p, q\}, \{\neg p\}, \{\neg q\}\}$ .
$\{\{p, q\}, \{\neg p\}, \{q\}\}$ .
$\{\{p, q\}, \{\neg p\}\}$ .
$\{\{\neg p, \neg q\}, \{p\}, \{\neg q\}\}$ .
السؤال 15هل يمكن اشتقاق العبارة الفارغة $\Box$ بالحلّ من المجموعة $\{\{p, q\}, \{\neg p, \neg q\}\}$ ؟
لا: المجموعة قابلة للتحقق، والحلّ سليم.
نعم، في خطوة واحدة، بحذف الزوجين المتتامّين في آن واحد.
نعم، في خطوتين: أولًا بالنسبة إلى $p$ ثم بالنسبة إلى $q$ .
لا، لأنه لا واحدة من العبارتين أحادية.