انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

طريقة نيوتن-رافسون

ملخص

تضمن مبرهنة بولزانو أن الدالة المتصلة التي تغيّر إشارتها لها جذر، والتنصيف يحدد موقعه مكتسبًا رقمًا ثنائيًا واحدًا مع كل تنصيف. يدرس هذا الدرس إجراءً أسرع بكثير حين ينجح: طريقة نيوتن-رافسون، التي تضع المماس مكان التمثيل البياني وتأخذ نقطة تقاطع المماس مع المحور تقريبًا جديدًا. وتُعرَّف التقريبات الناتجة على هذا النحو واحدًا بعد الآخر للأعداد الصحيحة n≥0n \geq 0، وتُفهم نهايتها بتعريف النهاية عندما يؤول المتغير إلى اللانهاية، دون نظرية المتتاليات. ويبرهن الدرس، بالتقعر نحو الأعلى، أنه إذا لم تنعدم المشتقة وكانت الدالة مقعّرة نحو الأعلى أو مقعّرة نحو الأسفل، فإن التكرارات التي تبدأ من الجهة المناسبة تقترب من الجذر دون أن تتجاوزه وتتقارب إليه؛ ويبرهن، بمبرهنة التزايدات المنتهية، أن قيمة الدالة، التي تُحسب، تحدّ من الأعلى المسافةَ إلى الجذر، التي لا تُعرف. ثم يبيّن، بأمثلة عددية، أن عدد الأرقام الصحيحة يتضاعف في كل تكرار، ويبيّن الأحوال التي تُخفق فيها الطريقة: مشتقة منعدمة، دورة، تباعد. وتحسب المسائل جذورًا تكعيبية ومقلوبات دون قسمة، وتكسر دورة، وتدرس جذرًا مضاعفًا، وتجد الحدّ الفاصل الدقيق بين التقارب والتباعد لقوس الظل.

أهداف التعلم

  1. حساب تكرارات نيوتن-رافسون لدالة قابلة للاشتقاق، والتعرّف فيها على نقطة تقاطع المماس مع المحور.
  2. برهنة التقارب الرتيب للتكرارات حين لا تنعدم المشتقة وتكون الدالة مقعّرة نحو الأعلى أو مقعّرة نحو الأسفل، واختيار نقطة بداية من الجهة المناسبة.
  3. الحدّ من الأعلى لمسافة تقريب عن الجذر بقيمة الدالة وحدٍّ أدنى لمشتقتها.
  4. التعرّف على الأحوال التي تُخفق فيها الطريقة، ومقارنتها بالتنصيف من حيث السرعة والأمان.

التكرار

لتكن ff دالة قابلة للاشتقاق يُبحث عن جذرها rr، وليكن x0x_0 تقريبًا أول. بالقرب من x0x_0، يشبه التمثيل البياني لـ ff مماسَّه، y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)، وفق تعريف المماس في الدرس الخاص بـالمشتقة بوصفها نهاية؛ وبلغة التفاضل من الدرس الخاص بـالمشتقات المتتالية والتفاضل، تشبه الزيادة f(x0+Δx)−f(x0)f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) المقدار f′(x0)Δxf'(x_0) \Delta x. يقطع المماس المحور في نقطة واحدة إذا كان f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0، ومن الطبيعي أن نأخذها تقريبًا جديدًا: نحصل عليها بمساواة معادلة المماس بالصفر. وتكرار هذا الإجراء انطلاقًا من النقطة الناتجة هو طريقة نيوتن-رافسون.

تعريفتكرارات نيوتن-رافسون

لتكن ff دالة قابلة للاشتقاق على فترة II وx0x_0 نقطة من II. تكرارات نيوتن-رافسون انطلاقًا من x0x_0 هي الأعداد المعرّفة، واحدًا بعد الآخر، بالعلاقة

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

ما دام xnx_n في II وf′(xn)≠0f'(x_n) \neq 0. وإذا تحققت هذه الشروط لكل عدد صحيح n≥0n \geq 0، فإن التكرارات تكوّن دالة n↦xnn \mapsto x_n معرّفة على مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة، وهي غير محدودة من الأعلى، ويُطبَّق عليها تعريف النهاية عندما يؤول المتغير إلى اللانهاية، من الدرس الخاص بـالنهايات عندما يؤول المتغير إلى اللانهاية. ونقول إن التكرارات تتقارب إلى rr إذا كان lim⁡n→∞xn=r\lim_{n \to \infty} x_n = r، أي إذا كان

(∀ε>0)(∃M)(∀n≥0)(n>M→∣xn−r∣<ε)(\forall \varepsilon > 0)(\exists M)(\forall n \geq 0)\left(n > M \rightarrow \abs{x_n - r} < \varepsilon\right)

كل تكرار هو نقطة تقاطع المحور مع المماس عند (xn,f(xn))(x_n, f(x_n)): بوضع y=0y = 0 وx=xn+1x = x_{n+1} في المعادلة y=f(xn)+f′(xn)(x−xn)y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n) واستخراج المجهول، نحصل على صيغة التعريف. لا تشترط الطريقة أن تغيّر الدالة إشارتها على فترة معطاة، كما في التنصيف، بل أن تكون قابلة للاشتقاق وألا تنعدم مشتقتها في النقاط التي تمرّ بها؛ وفي المقابل، لا شيء يضمن مسبقًا أن تقترب التكرارات من جذر. وفي الفقرة الآتية شروط تضمن ذلك.

مثالالجذر التربيعي للعدد 2

تطبيق طريقة نيوتن-رافسون على f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2 انطلاقًا من x0=2x_0 = 2. وتُظهر الخطوات المماسات الثلاثة الأولى ونقاط تقاطعها مع المحور.

البرهان

  1. xn+1=xn−xn2−22xn=12(xn+2xn),x1=32x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right), \qquad \resaltar{x_1 = \frac{3}{2}}

    المشتقة هي f′(x)=2xf'(x) = 2x، وهي لا تنعدم إذا كان x>0x > 0. ويأخذ التكرار الشكل الآتي: كل تقريب هو متوسط التقريب الذي سبقه وناتج قسمة 22 عليه. انطلاقًا من x0=2x_0 = 2، يقطع المماس y=2+4(x−2)y = 2 + 4(x - 2) المحور عند 32\frac{3}{2}.

  2. x2=12(32+43)=1712≈1,416667x_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} + \frac{4}{3}\right) = \resaltar{\frac{17}{12}} \approx 1{,}416667

    يقطع المماس عند (32,14)\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right) المحور أقرب بكثير إلى الجذر.

  3. x3=12(1712+2417)=577408≈1,4142157,2≈1,4142136x_3 = \frac{1}{2}\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right) = \resaltar{\frac{577}{408}} \approx 1{,}4142157, \qquad \sqrt{2} \approx 1{,}4142136

    للتكرار الثالث خمسة أرقام عشرية صحيحة بالفعل. والأخطاء، xn−2x_n - \sqrt{2}، تقارب 0,590{,}59 و0,0860{,}086 و0,00250{,}0025 و0,00000210{,}0000021: كلٌّ منها من رتبة مربع الخطأ الذي سبقه.

يُرفع الخطأ في هذا المثال إلى المربع بصورة تامة. ومن صيغة التكرار نحصل، لكل xn>0x_n > 0، على المتطابقة الآتية:

xn+1−2=xn2−22 xn+22xn=(xn−2)22xnx_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{x_n^2 - 2\sqrt{2}\,x_n + 2}{2x_n} = \frac{\left(x_n - \sqrt{2}\right)^2}{2x_n}

إذن، كل التكرارات ابتداءً من الأول أكبر من 2\sqrt{2} أو تساويه، وإذا كان xn≥1x_n \geq 1، فإن الخطأ اللاحق لا يتجاوز نصف مربع الخطأ الحالي: التكرار الرابع، x4=665 857470 832x_4 = \frac{665\,857}{470\,832}، له أحد عشر رقمًا عشريًا صحيحًا. وإذا وُضع مكان 22 أيُّ عدد موجب، فإن الإجراء نفسه يحسب الجذور التربيعية؛ وهو يظهر منذ كتاب المساحات لهيرون السكندري، في القرن الأول، ولذلك يُسمّى أيضًا طريقة هيرون.

وصف إسحاق نيوتن طريقته للمعادلات كثيرات الحدود سنة 1669، في مخطوط تداوله الناس ونُشر سنة 1711؛ ونشر جوزيف رافسون سنة 1690 عرضًا أبسط، وقدّمها توماس سيمبسون سنة 1740 طريقةً تكرارية للمعادلات العامة.