النهايات عندما يؤول المتغير إلى اللانهاية

استعمالان للانهاية

تظهر كلمة «اللانهاية» في دراسة النهايات بمعنيين مختلفين، يحسن الفصل بينهما من البداية. في الأول، المتغير هو الذي يتزايد بلا حد، بينما تقترب قيم الدالة من عدد. وفي الثاني، الدالة هي التي تتزايد بلا حد، بينما يقترب المتغير من عدد. فالعبارات الثلاث الآتية مختلفة إذن.

• $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$: المتغير يتزايد بلا حد وقيم $f$ تقترب من العدد $L$. مثلًا، تقترب $\frac{1}{x}$ من $0$ حين يكبر $x$. وهذا موضوع هذا الدرس.
• $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$: المتغير يقترب من العدد $a$ وقيم $f$ تتزايد بلا حد. مثلًا، تتزايد $\frac{1}{x^2}$ بلا حد حين يقترب $x$ من $0$. وهذا موضوع الدرس عن النهايات اللانهائية.
• $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$: كلاهما يتزايد بلا حد، مثل $x^2$. ويُدرَس أيضًا في الدرس عن النهايات اللانهائية.

الرمز $\infty$ ليس عددًا حقيقيًا، والحالتان ليستا متناظرتين. في الأولى، النهاية موجودة وهي عدد، $L$، تنطبق عليه الوحدانية وجبر النهايات وجميع المبرهنات المعروفة. وفي الثانية، ليس للدالة نهاية بالمعنى الوارد في الدرس عن نهاية الدوال لمتغير حقيقي واحد: فالكتابة $= \infty$ لا تسمّي نهاية، بل طريقة دقيقة لانعدامها. ولذلك لا يمكن تطبيق قواعد جبر النهايات، التي تعمل على الأعداد، على $\infty$ كما لو كان عددًا.

غير أن الحالتين تندرجان في مخطط واحد. فكل تعريف للنهاية يقول: لكل تحدٍّ يخص القيم يوجد رد يخص المتغير. والشيء الوحيد الذي يتغير هو معنى القرب من كل منهما:

• يكون المتغير قريبًا من العدد $a$ إذا كان $0 < \abs{x - a} < \delta$، وقريبًا من $\infty$ إذا كان $x > M$؛
• تكون القيمة قريبة من العدد $L$ إذا كان $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$، وقريبة من $\infty$ إذا كان $f(x) > N$.

يجمع تعريف الدرس عن النهاية الشكل الأول من كل سطر؛ ويجمع هذا الدرس الشكل الثاني من السطر الأول مع الشكل الأول من السطر الثاني؛ ويجمع الدرس عن النهايات اللانهائية الشكلين الباقيين. وتعرض القضية الأولى من هذا الدرس الاستعمالين بدالة واحدة.