اللغة: الخلاصة والتحديات

ملخص

يختم هذا الدرس الوحدة المخصّصة للغة منطق القضايا. فهو يعيد بناء السلسلة الاستنتاجية الممتدة من التمييز بين الصحة والصدق، ومن تحليل المفارقات، إلى القراءة الوحيدة للصيغ وإلى صورنة الجمل والحجج، مبيّنًا في كل حلقة أيّ مبدأ يُستعمل وفي أيّ درس يُبرهن عليه؛ ويضع ما تحقّق في موضعه من خطة الدورة، ويشرح لماذا تطرح اللغة التي بُنيت سؤال الوحدة التالية، المخصّصة للاستنتاج. ويكرّر في تقييم الخروج مهارات تقييم الدخول، ويختم بستّة تحدّيات، أصعب من مسائل الدروس، تقتضي الجمع بين أدوات عدّة دروس منها.

أهداف التعلم

إعادة بناء الترتيب المنطقي لنتائج الوحدة، مع تعيين المبدأ الذي تستند إليه كل نتيجة والدرس الذي يُبرهن عليها فيه.
شرح كيف تتعاقب حلقات مبدأ الانغلاق والتحليل إلى كلمات وتوطئة الوزن والقراءة الوحيدة، ولماذا تتوقّف على هذه الأخيرة التعريفات التراجعية والمقارنة بين الصورنات.
التمييز بين ما برهنت عليه الوحدة وما قبلته فرضيةً (ثنائية القيمة، ومخطط الصدق، ومبدأ الاستقراء، وقراءة النفي المشترك) وما تركته للوحدات التالية.
حلّ مسائل تجمع بين التوطئة القطرية وعدّ السلاسل والاستقراء على الصيغ وحجة الوزن وبسط الاختصارات.

ما حقّقته الوحدة

قصدت الوحدة أن تبني، انطلاقًا من أبجدية من رمزين، لغةً تُقرأ فيها كل صيغة بطريقة واحدة، وأن تبرهن بدقة على خصائص هذه اللغة، وأن تمدّ جسرًا بينها وبين اللغة التي نستدلّ بها. وقد تحقّق القصد مع تحفّظات قليلة، صُرّح بكلٍّ منها في موضعه: ثنائية القيمة ومخطط الصدق، اللذان لم يقبلهما الدرس الأول حقيقتين بل فرضيتين صريحتين، ليفحص ما يحدث حين يُؤخذ بهما معًا؛ ومبدأ الاستقراء على الأعداد الطبيعية، الذي يُقبل بوصفه مسلّمة بيانو الخامسة؛ والقراءة غير الصورية للنفي المشترك، التي تُشترط اشتراطًا وستجعلها وحدة الدلالة تعريفًا؛ والضروري من نظرية المجموعات (الانتماء والاحتواء والاتحاد)، الذي دُرِّس حيث احتيج إليه. ومع هذه التحفّظات يمكن أن يُقرأ الطريق المقطوع سلسلةً استنتاجية واحدة من أربعة مقاطع.

الاستدلال والكلام على اللغة

حدّد درسُ ما المنطق الرياضي موضوعَ الدورة: لا صدق الجمل، الذي هو شأن كل علم، بل انتقاله. تكون الحجة صحيحة حين لا يقبل شكلها أي حالة خاصة مقدماتها صادقة ونتيجتها كاذبة، ومن هذا التعريف استُنتج الشيء الوحيد الذي تضمنه الصحة: إذا كانت المقدمات صادقة كانت النتيجة صادقة؛ ومن ثمّ فالحجة الصحيحة ذات النتيجة الكاذبة لها مقدمة كاذبة، ويكون الشكل غير صحيح إذا وفقط إذا كان له مثال مضاد. وهذه النتيجة نفسها حوّلت تحليل المفارقات إلى إجراء: إذا كانت خطوات استدلال ينتهي إلى تناقض صحيحة، فإحدى الفرضيات كاذبة، وحلّ المفارقة هو العثور عليها. هكذا عولجت مفارقة الكذاب، التي لا يمكن فيها الأخذ بثنائية القيمة ومخطط الصدق معًا لجملة تعلن عن نفسها أنها كاذبة، وهكذا عولجت مفارقة بيري والنعت «غيري الوصف». ومن الحلاق استُخرجت توطئة عامة، هي التوطئة القطرية، التي تبرهن على أن الحلاق غير موجود وعلى أن مبدأ الفهم غير المقيّد متناقض. وأخيرًا أرسى الدرس التمييز بين اللغة الموضوع واللغة الواصفة، وبين استعمال عبارة وذكرها، وهو تمييز يحكم كل ما يلي: فنتائج الوحدة عن الصيغ ليست صيغًا، بل مبرهنات ماورائية.

لغة الدوائر والأقراص

أدخل الدرس الخاص بـلغة منطق القضايا المجموعاتِ والسلاسل، وعدّ السلاسل من كل طول (منها $2^{n}$ طولها $n$ ، و $2^{N + 1} - 2$ أطوالها من $1$ إلى $N$ )، وبنى اللغة الأساسية: المتغيرات $v_n = \sigO^{n}\sigI$ وقاعدة واحدة تكوّن من صيغتين $\varphi$ و $\psi$ الصيغة $\sigI\varphi\psi$ . وصار البند «ولا شيء غير ذلك صيغة» دقيقًا بتعريف الصيغ بأنها السلاسل التي تنتمي إلى جميع المجموعات المغلقة، ومن هذا التعريف استُنتج مبدأ الانغلاق، الذي بُرهن به على أن كل صيغة إما متغير وإما $\sigI\varphi\psi$ ، وليست الاثنين معًا، وعلى أن كل صيغة تنتهي بقرص وأنها تحتوي عددًا فرديًا من الأقراص. ومن ملاحظة أن المتغيرات والقرص المنفرد تكوّن شفرة بادئة جاء التحليل الوحيد إلى كلمات، ومعه مفهوم الوزن. وبنى الدرس أيضًا اللغة الواصفة التي نعمل بها فيما بعد: المتغيرات الواصفة، والنفي المشترك مكتوبًا $(\varphi \downarrow \psi)$ ، والاختصارات المعتمدة الستة، وقد عُرِّف كلٌّ منها مرة واحدة انطلاقًا من السابقة عليه، بحيث يدلّ كل تعبير مختصر على سلسلة واحدة.

الاستقراء والقراءة الوحيدة

سوّغ الدرس الخاص بـالاستقراء على الأعداد الطبيعية وعلى الصيغ العدودَ التي أجراها الدرس السابق «وهكذا دواليك»، واستنتج الاستقراء القوي من البسيط، وبتطبيقه على الطول حصل على الاستقراء البنيوي، الذي يتبيّن أنه هو الاستقراء نفسه على الأعداد الطبيعية منقولًا إلى الصيغ. وبهذه الأداة برهن على توطئة الوزن: وزن كل صيغة $+1$ ، ووزن كل بادئة بالكلمات فعلية وغير فارغة $0$ على الأكثر. ويلزم من ذلك، بهذا الترتيب، أنه لا تكون أي صيغة بادئة فعلية لصيغة أخرى، وأن كل صيغة مركبة تُقرأ بطريقة وحيدة. والقراءة الوحيدة هي الحلقة التي يتعلّق بها سائر الوحدة: فهي تسوّغ إجراء القرار الذي وصفه الدرس الخاص باللغة بأنه دَين يُسدَّد، وتُشرعن التعريفات التراجعية (الطول، وعدد المتغيرات والأقراص الرابطة، والصيغ الجزئية، والعمق، والتعويض)، التي كان يمكن من دونها أن تُسند إلى صيغة واحدة قيمتين مختلفتين.

من العربية إلى الصيغ

مدّ الدرس الخاص بـصورنة اللغة الطبيعية الجسر نحو اللغة التي نتكلّمها. فثبّت اصطلاح الحروف $p$ و $q$ و $r$ و $s$ و $t$ أسماءً لخمسة متغيرات معيّنة، واشترط أن تعلن كل صورنة معجمها، واستنتج من القراءة المشترطة للنفي المشترك وحدها قراءة كل اختصار. وبالقراءة الوحيدة برهن على أن تجميعين مختلفين للروابط نفسها صيغتان مختلفتان، وبالتعريف التراجعي للطول حسب أطوال الاختصارات المبسوطة، وهو ما يعطي معيارًا سريعًا للتفريق بين الصورنات. وبيّن أن الاستلزام المادي لا يكذب إلا حين يكون المقدَّم صادقًا والتالي كاذبًا، وأن تلك هي القراءة الوحيدة، المتوقّفة على صدق الأجزاء وحده، التي تجعل المبرهنات الشرطية في الرياضيات صادقة؛ وأشار إلى ما تفقده الصورنة (المكمّمات، والزمن، والسببية، والجهة)، وختم بصورنة حجج كاملة بوصفها مجموعة مقدمات $\Gamma$ ونتيجة.

يجمع الرسم الآتي المقاطع الأربعة في سلسلة واحدة. كل عقدة في العمود تعريفٌ أو نتيجة، مرقّمة بحسب الترتيب المنطقي، وموصولة بقوس بالحلقات السابقة التي يستعملها برهانها؛ وحولها تطفو الدعامات، أي المبادئ التي تعود إليها السلسلة مرة بعد مرة، وكلٌّ منها موصول بخط متّصل بالحلقات التي تستند إليها وبخط منقّط بالحلقة التي يُرسى فيها، إلا ما يُقبل بلا برهان، فيُرسم أطواقًا. والنقر على دعامة يُبرز كل الحلقات التي تستعملها، وكل حلقة تحيل إلى الدرس الذي يُبرهن عليها فيه. ولنلاحظ أن إجراء القرار، وإن عُرض في الدرس الخاص باللغة، يحتلّ موضعه المنطقي بعد القراءة الوحيدة التي يستند إليها.

دعامات السلسلة

Aثنائية القيمة. كل قضية صادقة أو كاذبة، وليست الاثنين معًا؛ وكونها كاذبة يكافئ كونها غير صادقة. تُقبل فرضيةً صريحة في تحليل المفارقات. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Bمخطط الصدق. تكون الجملة صادقة إذا وفقط إذا كان ما تقوله واقعًا. يُقبل فرضيةً صريحة؛ وحلّ تارسكي يحتفظ به، لكن للجمل في لغة لا تحتوي محمول الصدق الخاص بها فقط. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Cمبدأ الاستقراء. إذا تحقّقت خاصية للعدد $1$ ، وكانت كلما تحقّقت لعدد طبيعي $k$ تحقّقت للعدد $k + 1$ ، فإنها تتحقّق لكل الأعداد الطبيعية. وهو مسلّمة بيانو الخامسة، ويُقبل. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Dالتوطئة القطرية. لا يحقّق أيُّ شيء $b$ من تجمّعٍ الشرطَ $R(b, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x)$ لكل $x$ من التجمّع. تثبت في: 3. التوطئة القطرية.
Eمبدأ الانغلاق. الخاصية التي تتّصف بها كل المتغيرات، والتي تنتقل من $\varphi$ و $\psi$ إلى $\sigI\varphi\psi$ ، تتّصف بها كل الصيغ. تثبت في: 5. مبدأ الانغلاق.
Fالاستقراء البنيوي. الاستقراء على تعقيد الصيغ، مستنتجًا من الاستقراء القوي على الطول: حالته الأساسية المتغيرات، وخطوته الاستقرائية قاعدة التكوين الوحيدة. تثبت في: 9. الاستقراء البنيوي.
Gالقراءة الوحيدة. إذا كان $\sigI\varphi\psi = \sigI\varphi'\psi'$ ، والسلاسل الأربع صيغ، فإن $\varphi = \varphi'$ و $\psi = \psi'$ . تثبت في: 11. القراءة الوحيدة.
Hقراءة النفي المشترك. تصدق الصيغة $(\varphi \downarrow \psi)$ بالضبط حين تكون $\varphi$ و $\psi$ كاذبتين كلتاهما. وهي القراءة الوحيدة المشترطة؛ أما سائر القراءات فتُستنتج منها، وستجعلها وحدة الدلالة دقيقة. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.

المقطع 1 الاستدلال والكلام على اللغة
- التمييز بين الصحة والصدق، ودحض شكل غير صحيح بمثال مضاد.
- التعرّف إلى التباسات اللغة الطبيعية والفصل بين قراءات الجملة.
- التمييز بين اللغة الموضوع واللغة الواصفة، وبين استعمال عبارة وذكرها.
- تحليل مفارقة بعزل فرضياتها وتقرير أيّها يجب التخلي عنه.
1. ما تضمنه الصحة. إذا كانت الحجة صحيحة وكانت كل مقدماتها صادقة، فنتيجتها صادقة؛ ومن ثمّ فالحجة الصحيحة ذات النتيجة الكاذبة لها مقدمة كاذبة، ويكون الشكل غير صحيح إذا وفقط إذا كان له مثال مضاد.
  يُبرهن في: ما المنطق الرياضي.
2. مفارقة الكذاب. إذا طُبّقت ثنائية القيمة ومخطط الصدق على الجملة $m$ ، «الجملة $m$ كاذبة»، أعطتا $V(m) \Leftrightarrow \neg V(m)$ ؛ وفي لغة تحتوي $m$ يجب التخلي عن إحدى الفرضيتين، ومخرج تارسكي ألّا تحتوي أي لغة محمول الصدق الخاص بها، بحيث لا يمكن تكوين $m$ .
  تستعمل: 1. ما تضمنه الصحة. تستند إلى: A (ثنائية القيمة), B (مخطط الصدق). يُبرهن في: ما المنطق الرياضي.
3. التوطئة القطرية. إذا كانت $R$ علاقة بين أشياء تجمّع $D$ ، بحيث يكون كل $R(x, y)$ صادقًا أو كاذبًا، فلا يحقّق أيُّ $b$ من $D$ الشرطَ $R(b, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x)$ لكل $x$ من $D$ .
  تستند إلى: A (ثنائية القيمة). يُبرهن في: ما المنطق الرياضي.
4. الحلاق وراسل. لا يوجد رجل من القرية يحلق بالضبط لرجال القرية الذين لا يحلقون لأنفسهم؛ ومبدأ الفهم غير المقيّد متناقض، لأنه يؤكّد وجود المجموعة $Z = \{ x : x \notin x \}$ .
  تستند إلى: D (التوطئة القطرية). يُبرهن في: ما المنطق الرياضي.
المقطع 2 لغة الدوائر والأقراص
- وصف مجموعات من السلاسل وعدّ السلاسل من كل طول.
- تعريف الصيغ بأنها أصغر مجموعة مغلقة، واستنتاج مبدأ الانغلاق من ذلك.
- البرهان على خصائص لكل الصيغ واستعمالها لاستبعاد سلاسل.
- تحليل سلسلة إلى كلمات وبسط الاختصارات حتى اللغة الأساسية.
1. مبدأ الانغلاق. مجموعة الصيغ $\mathcal{F}$ هي أصغر مجموعة من السلاسل تحتوي المتغيرات $v_n = \sigO^{n}\sigI$ ، وتحتوي، مع $\varphi$ و $\psi$ ، الصيغة $\sigI\varphi\psi$ ؛ ولذلك فالخاصية التي تتّصف بها المتغيرات، والتي تنتقل من $\varphi$ و $\psi$ إلى $\sigI\varphi\psi$ ، تتّصف بها كل الصيغ.
  يُبرهن في: لغة منطق القضايا.
2. شكل الصيغ. كل صيغة إما متغير وإما $\sigI\varphi\psi$ حيث $\varphi$ و $\psi$ صيغتان، وليست الاثنين معًا: فكل متغير يبدأ بـ $\sigO$ ، وكل صيغة مركبة تبدأ بـ $\sigI$ .
  تستند إلى: E (مبدأ الانغلاق). يُبرهن في: لغة منطق القضايا.
3. الرمز الأخير وعدد الأقراص. كل صيغة تنتهي بقرص وتحتوي عددًا فرديًا من الأقراص؛ ومن ثمّ فلا ضمّ صيغتين ولا السلسلة $\sigI\varphi$ صيغة.
  تستند إلى: E (مبدأ الانغلاق). يُبرهن في: لغة منطق القضايا.
4. التحليل إلى كلمات. كل سلسلة تنتهي بقرص تُحلَّل بطريقة وحيدة إلى كلمات، أي إلى متغيرات $\sigO^{n}\sigI$ وأقراص منفردة، لأن كل كلمة تنتهي بقرصها الوحيد ولا تكون أي كلمة بادئة فعلية لكلمة أخرى.
  يُبرهن في: لغة منطق القضايا.
المقطع 3 الاستقراء والقراءة الوحيدة
- البرهان بالاستقراء البسيط والقوي، واستنتاج الاستقراء على تعقيد الصيغ منهما.
- البرهان على توطئة الوزن واستنتاج القراءة الوحيدة.
- تقرير هل السلسلة صيغة، وإعادة بناء تكوينها.
- تعريف دوالّ على الصيغ بالتراجع، والبرهان على علاقات بينها.
1. الاستقراء البنيوي. يُستنتج الاستقراء القوي من البسيط؛ وإذا طُبّق على الطول أعطى مبدأ الاستقراء على التعقيد: إذا اتّصفت المتغيرات بخاصية وانتقلت هذه من $\varphi$ و $\psi$ إلى $\sigI\varphi\psi$ ، اتّصفت بها كل الصيغ.
  تستعمل: 6. شكل الصيغ. تستند إلى: C (مبدأ الاستقراء). يُبرهن في: الاستقراء على الأعداد الطبيعية وعلى الصيغ.
2. توطئة الوزن. إذا كان وزن كل ورود لمتغير $+1$ ووزن كل قرص رابط $-1$ ، فوزن كل صيغة $+1$ ، ووزن كل بادئة بالكلمات فعلية وغير فارغة لصيغة $0$ على الأكثر؛ وبوجه خاص، في كل صيغة ورود متغير واحد زيادةً على عدد الأقراص الرابطة.
  تستعمل: 8. التحليل إلى كلمات. تستند إلى: F (الاستقراء البنيوي). يُبرهن في: الاستقراء على الأعداد الطبيعية وعلى الصيغ.
3. القراءة الوحيدة. لا تكون أي صيغة بادئة فعلية لصيغة أخرى؛ ومن ثمّ إذا كان $\sigI\varphi\psi = \sigI\varphi'\psi'$ ، والسلاسل الأربع صيغ، فإن $\varphi = \varphi'$ و $\psi = \psi'$ .
  تستعمل: 7. الرمز الأخير وعدد الأقراص, 8. التحليل إلى كلمات, 10. توطئة الوزن. يُبرهن في: الاستقراء على الأعداد الطبيعية وعلى الصيغ.
4. إجراء القرار. السلسلة التي تنتهي بـ $\sigO$ ليست صيغة؛ وإذا انتهت بـ $\sigI$ ، حُلّلت إلى كلمات. فإن كانت الكلمة الأولى متغيرًا، كانت السلسلة صيغة إذا وفقط إذا كان هذا المتغير كلمتها الوحيدة. وإن كانت قرصًا، حُسب الدين بعده: فإن لم ينعدم قط، لم تكن السلسلة صيغة؛ وإن انعدم، فموضع القطع بين $\varphi$ و $\psi$ حيث ينعدم أول مرة، ويُفحص كل جزء بالطريقة نفسها، علمًا بأن السلسلة الفارغة ليست صيغة.
  تستعمل: 6. شكل الصيغ, 7. الرمز الأخير وعدد الأقراص, 8. التحليل إلى كلمات. تستند إلى: G (القراءة الوحيدة). يُبرهن في: لغة منطق القضايا.
5. التعريف بالتراجع. إذا أُعطيت قيمة لكل متغير وقاعدة تحسب قيمة $\sigI\varphi\psi$ انطلاقًا من $\varphi$ ومن $\psi$ ومن قيمتيهما، وُجدت بالضبط دالة واحدة على الصيغ تراعيهما؛ وهكذا يُعرَّف الطول والصيغ الجزئية والعمق والتعويض، الذي يعطي صيغًا دائمًا.
  تستعمل: 6. شكل الصيغ. تستند إلى: C (مبدأ الاستقراء), F (الاستقراء البنيوي), G (القراءة الوحيدة). يُبرهن في: الاستقراء على الأعداد الطبيعية وعلى الصيغ.
المقطع 4 من العربية إلى الصيغ
- صورنة الجمل بمعجم صريح، مع تقرير مدى كل رابط.
- بسط الاختصارات لتقرير هل صورنتان هما الصيغة نفسها.
- التمييز بين الاستلزام المادي و«إذا… فإن» في اللغة، والإشارة إلى ما تفقده الصورنة.
- صورنة حجج كاملة بوصفها مجموعة مقدمات ونتيجة.
1. طول الاختصارات. إذا كان $L(\varphi) = a$ و $L(\psi) = b$ ، فأطوال سلاسل $\neg\varphi$ و $(\varphi \vee \psi)$ و $(\varphi \rightarrow \psi)$ و $(\varphi \wedge \psi)$ هي $2a + 1$ و $2a + 2b + 3$ و $4a + 2b + 5$ و $8a + 8b + 15$ ؛ والصورنتان المختلفتان طولًا صيغتان مختلفتان.
  تستعمل: 13. التعريف بالتراجع. يُبرهن في: صورنة اللغة الطبيعية.
2. المدى والصيغ المختلفة. التجميعان $((p \wedge q) \vee r)$ و $(p \wedge (q \vee r))$ سلسلتان مختلفتان: فلو تطابقا لألزمت القراءة الوحيدة، مطبّقةً مرتين، المتغير $r$ بأن يطابق الصيغة المركبة $(p \wedge q)$ .
  تستعمل: 6. شكل الصيغ. تستند إلى: G (القراءة الوحيدة). يُبرهن في: صورنة اللغة الطبيعية.
3. الاستلزام المادي. الاستلزام $(\varphi \rightarrow \psi)$ ، الذي يختصر $(\neg\varphi \vee \psi)$ ، لا يكذب إلا حين تكون $\varphi$ صادقة و $\psi$ كاذبة؛ وهي القراءة الوحيدة، المتوقّفة على صدق الأجزاء وحده، التي تجعل المبرهنات الشرطية في الرياضيات صادقة.
  تستند إلى: H (قراءة النفي المشترك). يُبرهن في: صورنة اللغة الطبيعية.

نحو الاستنتاج. تتوقّف السلسلة حيث اكتمل بناء اللغة وصُورنت الحجج بوصفها مجموعة مقدمات ونتيجة. ويبقى أن نقرّر متى تلزم صيغة عن صيغ أخرى: أولًا بمعالجة الرموز بقواعد، في الوحدة التالية، ثم بمراعاة صدقها.