الدوال المثلثية العكسية

البرهان

1. 1
   $$0 \leq \alpha < \beta \leq \pi$$

   لتكن $\alpha$ و$\beta$ بحيث $0 \leq \alpha < \beta \leq \pi$. النقطتان $P(\alpha)$ و$P(\beta)$ هما طرفا القوسين اللذين طولاهما $\alpha$ و$\beta$ وينطلقان من $(1, 0)$ عكس اتجاه عقارب الساعة، وكلتاهما في نصف الدورة الأول من السير، الذي يغطي نصف الدائرة العلوي.

2. 2
   $$\dato{c}{0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \cos \alpha > \cos \beta}$$

   بخاصية نصف الدورة في المسلّمة، تتناقص فاصلة النقطة السائرة تناقصًا تامًا خلال نصف الدورة الأول: ففاصلة $P(\alpha)$ أكبر من فاصلة $P(\beta)$. ولمّا كان جيب التمام، بالتعريف، هو فاصلة $P(\theta)$، فإن المتباينة بين الفاصلتين متباينة بين جيبي تمام.

3. 3
   $$\sin \alpha = \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)} < \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \beta \right)} = \dato{s}{\sin \beta}$$

   لتكن الآن $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha < \beta \leq \frac{\pi}{2}$. متمّمتاهما تحققان $\frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2} - \alpha$ وتقعان في $\icc{0}{\pi}$؛ وبتناظر الزوايا المتمّمة، جيب زاوية هو جيب تمام متمّمتها، ولمّا كان جيب التمام متناقصًا على $\icc{0}{\pi}$، فإن الجيب متزايد على $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$.

4. 4
   $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < \frac{\resaltar{\sin \beta}}{\cos \alpha} < \frac{\sin \beta}{\resaltar{\cos \beta}} = \dato{t}{\tan \beta}$$

   ومن أجل الظل، لتكن $0 \leq \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}$. فبحسب الخطوات المتقدّمة، $0 \leq \sin \alpha < \sin \beta$ و$\cos \alpha > \cos \beta > \cos \frac{\pi}{2} = 0$. وبزيادة البسط أولًا ثم إنقاص المقام، وكلاهما موجب، يزداد خارج القسمة.

5. 5
   $$\tan \alpha = \resaltar{-\tan(-\alpha)} < \resaltar{-\tan(-\beta)} = \tan \beta$$

   الظل فردي، لأنه خارج قسمة الجيب، وهو فردي، على جيب التمام، وهو زوجي. إذا كان $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \beta \leq 0$، فإن المعاكسين يحققان $0 \leq -\beta < -\alpha$، وبتغيير الإشارة تنعكس متباينة الخطوة المتقدّمة؛ وإذا كان $\alpha < 0 < \beta$، فالظل سالب عند $\alpha$ وموجب عند $\beta$. ومن ثمّ فالظل متزايد على الفترة $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ كلها.

البرهان

1. 1
   $$0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \resaltar{\cos \alpha \neq \cos \beta}$$

   بحسب المبرهنة المتقدّمة، التقييدات الثلاثة رتيبة تمامًا، وكل دالة رتيبة تمامًا تباينية: فلزاويتين مختلفتين من نصف الدائرة العلوي فاصلتان مختلفتان.

2. 2
   $$Q = \left( c, \sqrt{1 - c^2} \right), \quad \resaltar{c^2 + \left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 = 1} \rightarrow \dato{q}{Q = P(\theta)}$$

   لتكن $c$ بحيث $-1 \leq c \leq 1$. النقطة $Q$ الآتية تقع على دائرة الوحدة؛ وبالتغطية ولأن الدورة الواحدة لا تكرّر النقاط، فهي $P(\theta)$ من أجل $\theta$ وحيدة في $\ico{0}{2\pi}$.

3. 3
   $$\sin \theta = \sqrt{1 - c^2} \geq 0 \rightarrow \theta \in \icc{0}{\pi}, \quad \dato{c}{\cos \theta = c}$$

   ترتيبة $Q$ ليست سالبة، والجيب سالب على $\ioo{\pi}{2\pi}$، بحسب الإشارات في الأرباع من الدرس الخاص بالنسب المثلثية: فتلك الـ $\theta$ تقع في $\icc{0}{\pi}$، وجيب تمامها $c$. فجيب التمام المقيَّد يأخذ جميع قيم $\icc{-1}{1}$.

4. 4
   $$\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \resaltar{\cos \theta} = \resaltar{c}, \quad \frac{\pi}{2} - \theta \in \icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$$

   بتناظر الزوايا المتمّمة، جيب $\frac{\pi}{2} - \theta$ هو جيب تمام $\theta$، وعندما تجري $\theta$ في $\icc{0}{\pi}$، تجري متمّمتها في $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$: فالجيب المقيَّد يأخذ هو أيضًا جميع قيم $\icc{-1}{1}$.

5. 5
   $$\tan x = m, \quad x - k\pi \in \ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, \quad \tan(x - k\pi) = m$$

   ومن أجل الظل، تنص مبرهنة خواصه، من الدرس الخاص بـالدوال المثلثية وتمثيلاتها البيانية، على أن مداه هو $\mathbb{R}$: إذا أُعطي $m$، فإن المستقيم الذي ميله $m$ ويمر بنقطة الأصل يقطع نصف الدائرة الأيمن في نقطة $P(x)$ تقع فيها $x$ بين $-\frac{\pi}{2}$ و$\frac{\pi}{2}$. ويُرى ذلك أيضًا من الدورية: إذا كان $\tan x = m$، فبأن يُطرح من $x$ مضاعف صحيح لـ $\pi$، كما في الردّ إلى الدورة الأولى، يُحصل على عدد من تلك الفترة له الظل نفسه.