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Topos Uranos
中文 (中国)

高次多项式的根与综合除法

摘要

本课研究次数大于二的多项式的根。它从带余除法推出综合除法，即鲁菲尼法则：这种方法只用乘法和加法就把多项式除以 x−rx - r，同时给出值 P(r)P(r)；并说明它与秦九韶算法（霍纳法则）的关系。本课证明有理根定理，它把整系数多项式的有理根的寻找归结为有限个候选数，并把它应用于次数为 33 和 44 的多项式的完全因式分解，其中涉及根的重数和重复的综合除法。本课证明实根的两个界，即柯西界和由综合除法本身给出的界；陈述代数基本定理，并由它推出每个实多项式都是一次因式与不可约二次因式之积；最后得到三次多项式的韦达定理。

学习目标

  1. 用综合除法把多项式除以 x−rx - r，并说明这一算式给出商的系数和余式 P(r)P(r)。
  2. 用有理根定理求整系数多项式的有理根，并用它证明某些数是无理数。
  3. 对次数为 33 和 44 的多项式作完全因式分解，确定每个根的重数，并事先限定包含实根的区间。
  4. 用韦达定理联系三次多项式的根与系数，并描述代数基本定理所保证的实多项式的因式分解。
  5. 建立归结为 33 次或 44 次多项式方程的应用问题，例如浮标的吃水线问题，并从方程的根中选出在情境中有意义的根。

综合除法

关于多项式的代数的课证明了带余除法：给定两个多项式 PP 和 QQ，其中 QQ 不是零多项式，则存在唯一的商和余式。当除式为 x−rx - r 时，余式是常数，由余数定理，它等于 P(r)P(r)；而由因式定理，rr 是 PP 的根，当且仅当这个余式为零。因此，寻找高次多项式的根需要多次除以这种形式的除式。综合除法，也称鲁菲尼法则，把每一次这样的除法化为对系数进行的一串乘法和加法，而不必写出变量。

算式如下。把 PP 的系数从最高次幂到常数项写成一行，包括为零的系数，并在左边写上数 rr。先把第一个系数移下来；然后反复地，把最后得到的数乘以 rr，把乘积写在后一个系数下面，再把两者相加。最后一行的数中，除最后一个外都是商的系数；最后一个是余式。

例题一次综合除法

将 P(x)=2x4−5x3+7x−3P(x) = 2x^4 - 5x^3 + 7x - 3 除以 x−2x - 2。这个多项式没有含 x2x^2 的项，所以它的系数 00 必须写进这一行：漏掉它会使其余所有系数错位。把商的系数记为 b3b_3、b2b_2、b1b_1 和 b0b_0，余式记为 RR。

证明

  1. 2x4−5x3+0x2+7x−3→2,−5,0,7,−32x^4 - 5x^3 + \resaltar{0x^2} + 7x - 3 \rightarrow \resaltar{2, -5, 0, 7, -3}

    从最高次幂到最低次幂写出系数，包括 00（即 x2x^2 的系数），并在左边写上数 r=2r = 2。

  2. b3=2b_3 = \dato{b3}{\resaltar{2}}

    把第一个系数移下来：它是商的首项系数。

  3. b2=−5+2⋅2=−1b_2 = -5 + \resaltar{2 \cdot 2} = \dato{b2}{\resaltar{-1}}

    把得到的数乘以 22，并把乘积加到后一个系数上。

  4. b1=0+2⋅(−1)=−2b_1 = 0 + \resaltar{2 \cdot (-1)} = \dato{b1}{\resaltar{-2}}

    对刚得到的数重复这一运算。

  5. b0=7+2⋅(−2)=3b_0 = 7 + \resaltar{2 \cdot (-2)} = \dato{b0}{\resaltar{3}}

    再做一次。

  6. R=−3+2⋅3=3R = -3 + \resaltar{2 \cdot 3} = \dato{R}{\resaltar{3}}

    最后一次加法给出余式。

  7. 2x4−5x3+7x−3=(x−2)(2x3−x2−2x+3)+32x^4 - 5x^3 + 7x - 3 = (x - 2)\left( \resaltar{2x^3 - x^2 - 2x + 3} \right) + \resaltar{3}

    商的次数为 33，比被除式少一，其系数就是最后一行的数；余式为 33，与 P(2)=32−40+14−3P(2) = 32 - 40 + 14 - 3 相符，正如余数定理所要求的。

这个算式行得通并非例子的巧合；下面的定理比较除法等式中的系数，对一般情形证明这一点。

定理综合除法

设 P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 是次数为 n≥1n \geq 1 的多项式，rr 是实数。若令 bn−1=anb_{n - 1} = a_n，再令 bk−1=ak+rbkb_{k - 1} = a_k + r b_k（其中 kk 从 n−1n - 1 取到 11），最后令 R=a0+rb0R = a_0 + r b_0，则 PP 除以 x−rx - r 的商为 bn−1xn−1+⋯+b1x+b0b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0，余式为 R=P(r)R = P(r)。

证明比较除法等式两边的系数；图示跟随 n=3n = 3 的情形。

证明

  1. P(x)=(x−r)(bn−1xn−1+⋯+b1x+b0)+R\dato{d}{P(x) = (x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0 \right) + R}

    由带余除法，存在唯一的商 CC 和余式 RR。因为除式的次数为 11，余式是常数；由积的次数法则，商的次数为 n−1n - 1；把它的系数记为 bkb_k。

  2. (x−r)(bn−1xn−1+⋯+b0)=bn−1xn+(bn−2−rbn−1)xn−1+⋯+(b0−rb1)x−rb0(x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_0 \right) = \resaltar{b_{n - 1}} x^n + \resaltar{\left( b_{n - 2} - r b_{n - 1} \right)} x^{n - 1} + \cdots + \resaltar{\left( b_0 - r b_1 \right)} x \resaltar{- r b_0}

    展开乘积：每个系数 bkb_k 出现两次，一次乘以 xx，位于次数为 k+1k + 1 的项中；一次乘以 −r-r，位于次数为 kk 的项中。

  3. an=bn−1,ak=bk−1−rbk,a0=R−rb0\dato{c}{a_n = b_{n - 1}, \quad a_k = b_{k - 1} - r b_k, \quad a_0 = R - r b_0}

    由多项式恒等原理，除法等式两边每个幂次的系数相等；中间的等式对 kk 从 11 到 n−1n - 1 成立。

  4. bn−1=an,bk−1=ak+rbk,R=a0+rb0b_{n - 1} = a_n, \quad \resaltar{b_{k - 1} = a_k + r b_k}, \quad \resaltar{R = a_0 + r b_0}

    解出各数：第一个系数直接移下来，其后的每一个数，与余式一样，等于 PP 的系数加上 rr 乘以前一个数。反过来，这样定义的数满足上面的等式，因而给出 PP 除以 x−rx - r 的一个除法；由商和余式的唯一性，它们正是这次除法的商和余式的系数。

  5. P(r)=(r−r)C(r)+R=RP(r) = \resaltar{(r - r)} C(r) + R = \resaltar{R}

    在除法等式中代入 x=rx = r，第一个加项为零：表格的最后一个数就是 P(r)P(r)。

综合除法与秦九韶算法

秦九韶算法（霍纳法则）已在关于进位记数制的课中证明，它从首项系数出发，反复进行“乘以底数再加上后一个系数”的运算，算出一个幂和的值。综合除法的最后一行以 rr 为底数所做的正是这件事：数 bn−1,bn−2,…,b0b_{n - 1}, b_{n - 2}, \ldots, b_0 是在 x=rx = r 处应用秦九韶算法的中间结果，最后一次运算给出多项式的值。

R=(⋯((anr+an−1)r+an−2)⋯ )r+a0=P(r)R = \left( \cdots \left( \left( a_n r + a_{n - 1} \right) r + a_{n - 2} \right) \cdots \right) r + a_0 = P(r)

由此可知，秦九韶算法给出余数定理的第二个证明，而综合除法同时是求多项式的值和做多项式除法的最经济的方法：在 rr 处求值需要 nn 次乘法和 nn 次加法，而同一次计算还把商写了出来。由因式定理，rr 是根，当且仅当表格的最后一个数为 00。

要除以一次除式 ax−bax - b（其中 a≠0a \neq 0），只需注意到 ax−b=a(x−ba)ax - b = a\left( x - \frac{b}{a} \right)：用综合除法除以 x−bax - \frac{b}{a}，再把所得的商除以 aa；余式不变。

P(x)=(x−ba)C(x)+R=(ax−b)⋅C(x)a+RP(x) = \left( x - \frac{b}{a} \right) C(x) + R = (ax - b) \cdot \frac{C(x)}{a} + R