极限与连续性 · Topos Uranos

摘要

本课把极限引向它的第一个结构性推论，即连续性，后面的一课将把它推广到所有初等函数。函数在一点连续，是指它在该点的值正是附近的值所预示的值；借助前面各课的极限，这一想法写成惯常的挑战与回应，只有一个区别：该点本身不再被排除。由此可知，在聚点处的连续性等价于极限存在且等于函数值，而且连续性的几乎所有定理都可以从极限的运算法则继承，无需新的证明。间断被分为可去间断、跳跃间断和本性间断，可去间断用连续延拓来修补。唯一新的论证是关于复合的论证，在那里连续性比极限做得更多：它去掉了复合函数极限定理所要求的假设，并允许把极限移入连续函数之内。

学习目标

定义在一点、单侧和在区间上的连续性，并把它与极限联系起来。
把间断分为可去间断、跳跃间断和本性间断，并对具有可去间断的函数作连续延拓。
证明连续函数的和、积、商、根式与复合的连续性，并由此推出多项式、有理函数和三角函数的连续性。
通过把极限移入连续函数来计算极限，并研究只在一点连续或处处不连续的函数。

定义

在关于实变量函数的极限的课中，定义有意排除了点 $a$ ：极限描述的是在 $a$ 附近发生的事，而不是在 $a$ 处发生的事，函数在那里甚至可以没有定义。连续性则比较这两者：附近发生的事和该点本身发生的事。

定义在一点连续的函数

设 $f$ 是定义在集合 $A$ 上的函数， $a$ 是 $A$ 的一个元素。称 $f$ 在 $a$ 处连续，如果对任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，使得每个 $x$ （属于 $A$ 且满足 $\abs{x - a} < \delta$ ）也满足 $\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon$ ：

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)

如果 $f$ 在 $a$ 处不连续，就称它在 $a$ 处间断。如果它在集合 $S$ （包含于 $A$ ）的所有点处连续，就称它在 $S$ 上连续；如果它在整个定义域上都连续，就简单地称它是连续的。

这个定义与极限的定义有三点不同。值所必须趋近的数不是任意的 $L$ ，而是 $f(a)$ ；因此 $a$ 必须属于定义域。回应 $\abs{x - a} < \delta$ 不排除 $x = a$ ，不过把它包括进来毫无代价，因为 $\abs{f(a) - f(a)} = 0$ 。并且不要求 $a$ 是 $A$ 的聚点。否定的得法与关于极限的课中相同： $f$ 在 $a$ 处间断，如果存在 $\varepsilon > 0$ ，使得对任意 $\delta > 0$ ，都有一个 $x$ （属于 $A$ ）满足 $\abs{x - a} < \delta$ 和 $\abs{f(x) - f(a)} \geq \varepsilon$ 。

命题连续性与极限

设 $f$ 是定义在 $A$ 上的函数， $a$ 是 $A$ 的一个元素。若 $a$ 是 $A$ 的聚点，则 $f$ 在 $a$ 处连续当且仅当 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ 。若 $a$ 是 $A$ 的孤立点，则 $f$ 在 $a$ 处连续。两个定义的要求除在点 $a$ 处外完全相同，而在该点连续性自动成立。图中，带形区域围住值 $f(a)$ ，它现在是图像上的一个实心点；最后是定义域的一个孤立点。

证明

$0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon}$
若 $f$ 在 $a$ 处连续，则回应 $\delta$ （对每个挑战 $\varepsilon$ 而言）特别地对 $x$ （满足 $0 < \abs{x - a} < \delta$ ）也适用：它是极限的一个回应，其中 $L = f(a)$ 。
$x = a \rightarrow \abs{f(a) - f(a)} = \resaltar{0} < \varepsilon$
反过来，若极限是 $f(a)$ ，极限的回应覆盖所有 $x$ （不同于 $a$ ），而在 $x = a$ 处条件总是成立：它是连续性的一个回应。
$\abs{x - a} < \delta \wedge x \in A \rightarrow x = a \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} = 0 < \varepsilon$
若 $a$ 是孤立点，则存在 $\delta > 0$ ，使得 $A$ 中满足 $\abs{x - a} < \delta$ 的唯一元素就是 $a$ 本身。这个 $\delta$ 同时回应所有挑战。

因此，在定义域的聚点处，连续性包括三件事： $f$ 在 $a$ 处有定义，在 $a$ 处有极限，并且这个极限是 $f(a)$ 。每一件都可能单独不成立，间断的分类由此而来。例如，有这样一个函数：它的值为 $1$ （在每个 $x \neq 0$ 处）和 $0$ （在 $x = 0$ 处），来自关于极限的运算法则的课中复合的反例；它的极限为 $1$ （在 $0$ 处），不同于它的值：它在 $0$ 处间断。