极限的运算法则 · Topos Uranos

摘要

本课从极限的定义推出一些法则，使我们计算极限时不必每次都去寻找 $\delta$ 。证明的顺序安排得使每一个都利用前面的结果：三个用 ε-δ 语言证明的引理把每条法则归结为一个不等式，借助它们得到和、积、倒数与商的极限。由此推出多项式与有理函数的极限，它们为直接代入提供依据；然后是根式与有理数指数幂的极限，以及复合函数的极限定理，它为变量代换提供依据。本课最后讨论法则没有说的事：商什么时候没有有限极限，以及为什么法则在相反方向上不成立。问题部分用因式分解、有理化和变量代换求 $\frac{0}{0}$ 型不定式，并确定常数使极限存在。

学习目标

用 ε-δ 语言证明上界判别法，并由它推出和、积、倒数与商的极限。
证明多项式、有理函数、根式与有理数指数幂的极限，并在满足条件时应用直接代入。
证明复合函数的极限定理，认识其假设的必要性，并把它作为变量代换来应用。
用因式分解、有理化或变量代换计算 $\frac{0}{0}$ 型的极限，并证明商在什么时候没有有限极限。

证明的计划

在关于实变量函数的极限的课中，曾用定义证明了 $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$ ，而工作在于把 $\abs{x^2 - 9}$ 估计为不超过 $\abs{x - 3}$ 的某个倍数。本课的所有法则都具有同样的形式：要证明函数 $F$ 趋于 $K$ ，就把距离 $\abs{F(x) - K}$ 估计为不超过另一些距离的某个倍数，而这些距离已知会变小。既然如此，就值得用 ε-δ 语言一次性地证明这样的上界估计就足够了；此后，每条法则都归结为找到合适的不等式，任何 ε-δ 论证都不必重复。

在整个这一课中， $f$ 与 $g$ 是定义在同一集合 $A$ 上的实函数，点 $a$ 是 $A$ 的聚点；当说 $f(x)$ 「在 $a$ 附近」满足某性质时，意思是存在 $r > 0$ ，使得每个 $x$ （属于 $A$ 且满足 $0 < \abs{x - a} < r$ ）都满足它。本课用到前一课中的定义、极限的唯一性、常数函数与恒等函数的极限、说明极限只依赖于该点附近的值的引理，以及局部有界性与局部保号性。