代数结构：群、环与域

二元运算

在本课程和课程 代数与几何 I 中，我们对自然数、整数、有理数、实数和复数做过加法和乘法；做过函数的复合、矩阵的乘法，也把平面的旋转一个接一个地施行。这些运算中的每一个都取一个集合中的两个对象，返回同一集合中的第三个对象，而且对它们我们一次又一次地证明了相似的性质。本课把这些性质单独提出来，研究由它们能推出什么，而不论对象的本性如何。

集合 $A$ 上的二元运算是一条规则，它给 $a$ 中元素的每个有序对（$b$ 与 $A$）指定 $A$ 中唯一的一个元素，记作 $a \cdot b$，或简记为 $ab$。结果属于 $A$ 这一点，说成 $A$ 对该运算封闭。

这里的点不一定表示数的乘积：它是运算的一般名称，在各种情形下可以是加法、乘法、复合或其他任何运算。当运算是加法时，按照习惯使用符号 $+$。我们关心的性质有四个。若 $(ab)c = a(bc)$ 对所有的 $a$、$b$、$c$（属于 $A$）成立，则称运算是结合的；若 $ab = ba$ 对所有的 $a$ 与 $b$ 成立，则称运算是交换的。元素 $e$（属于 $A$）称为单位元，如果 $ea = ae = a$ 对任意 $a$ 成立；而在有单位元时，元素 $b$ 称为 $a$ 的逆元，如果 $ab = ba = e$。

这四个性质没有一个是自动成立的。减法是 $\mathbb{Z}$ 上的二元运算，但它既不结合也不交换，而且没有单位元：数 $0$ 满足 $a - 0 = a$，却不满足 $0 - a = a$。除法不是 $\mathbb{Q}$ 上的二元运算，因为它不给由 $1$ 和 $0$ 组成的数对指定任何结果。$\mathbb{N}$ 上的加法是结合的和交换的，但没有单位元，因为在课程 I 中自然数从 $1$ 开始。函数的复合是结合的而不是交换的，这在课程 I 中关于函数的运算的课里已经证明；同阶方阵的乘法也是如此，它在关于矩阵及其运算的课里研究过，其单位元是单位矩阵 $I$。