Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Угол между двумя прямыми и приложения тригонометрии

Краткое содержание

В этом уроке угол между двумя прямыми плоскости измеряется средствами тригонометрии. Урок определяет угол наклона прямой и доказывает, что его тангенс равен угловому коэффициенту; с помощью формулы тангенса разности находит тангенс угла между двумя прямыми по их угловым коэффициентам, откуда как частный случай получается условие перпендикулярности, а с помощью скалярного произведения даёт второе выражение, верное и для вертикальных прямых, согласованность которого с первым есть тождество Лагранжа. Затем биссектрисы двух прямых описываются как геометрическое место точек, равноудалённых от этих прямых; доказывается, что они перпендикулярны, и с их помощью находятся центр вписанной окружности и вписанная окружность треугольника. В заключение собраны приложения: высота недоступной точки по теореме синусов, гармоническое колебание как тень равномерного движения по окружности, дальность полёта снаряда, которая максимальна при 45∘45^\circ и одинакова для дополнительных углов, и закон отражения как свойство кратчайшего пути.

Цели обучения

  1. Вычислять угол наклона прямой и угол между двумя прямыми по их угловым коэффициентам или направляющим векторам и распознавать параллельность и перпендикулярность как крайние случаи.
  2. Получать уравнения биссектрис двух прямых как геометрического места равноудалённых точек, выбирать биссектрису внутреннего угла треугольника и находить центр вписанной окружности и саму вписанную окружность.
  3. Решать задачи на высоты и расстояния с углами возвышения и понижения, сочетая теорему синусов с формулами синуса суммы и разности.
  4. Описывать тригонометрическими функциями гармоническое колебание, дальность полёта снаряда и отражение света и выводить их свойства из тождеств этого раздела.

Угол наклона прямой

В уроке курса I об уравнении прямой направление невертикальной прямой измерялось числом, её угловым коэффициентом, и было доказано, что две невертикальные прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1-1. Это условие распознаёт один особый угол, прямой, не измеряя никакого угла. В уроке о тригонометрических отношениях было показано, кроме того, что тангенс угла равен угловому коэффициенту прямой, содержащей его конечную сторону. Если это так, то угловой коэффициент есть тангенс некоторого угла, и углы между прямыми должны вычисляться средствами тригонометрии.

Углом наклона прямой называется угол α\alpha, где 0≤α<π0 \le \alpha < \pi, который образует положительная полуось абсцисс с прямой, отсчитываемый против часовой стрелки от оси к прямой. Горизонтальные прямые имеют угол наклона 00, а вертикальные имеют угол наклона π2\frac{\pi}{2}.

Точнее, прямая, проведённая через начало координат параллельно данной, содержит конечную сторону некоторого угла α\alpha, а также угла α+π\alpha + \pi, поскольку точки P(α)P(\alpha) и P(α+π)P(\alpha + \pi) единичной окружности диаметрально противоположны; ровно один из углов вида α+kπ\alpha + k\pi лежит в [0,π)\ico{0}{\pi}, и он и есть угол наклона. Две прямые параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда у них один и тот же угол наклона, поскольку тогда, и только тогда, у них одна и та же параллельная прямая через начало координат.

ЛеммаУгол наклона и угловой коэффициент

Прямая с углом наклона α\alpha вертикальна тогда и только тогда, когда α=π2\alpha = \frac{\pi}{2}; если она не вертикальна, её угловой коэффициент равен тангенсу её угла наклона. Обратно, угол наклона прямой с угловым коэффициентом mm равен arctan⁡m\arctan m, если m≥0m \ge 0, и равен π+arctan⁡m\pi + \arctan m, если m<0m < 0.

m=tan⁡αm = \tan \alpha

Всё видно на прямой, проведённой через начало координат параллельно данной: она содержит точку P(α)P(\alpha) единичной окружности. На рисунке взяты прямые y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 и y=−xy = -x.

Доказательство

  1. O=(0,0)∈r0,P(α)=(cos⁡α,sin⁡α)∈r0\dato{p}{O = \left( 0, 0 \right) \in r_0, \quad P(\alpha) = \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) \in r_0}

    Пусть rr есть прямая с углом наклона α\alpha, и пусть r0r_0 есть параллельная ей прямая через начало координат. По определению угла наклона r0r_0 содержит конечную сторону угла α\alpha, и в частности точку P(α)P(\alpha); если rr не вертикальна, то r0r_0 имеет тот же угловой коэффициент, поскольку параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, согласно уроку курса I об уравнении прямой. На рисунке α=π3\alpha = \frac{\pi}{3}.

  2. 0≤α<π,cos⁡α=0↔α=π20 \leq \alpha < \pi, \quad \resaltar{\cos \alpha = 0} \leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}

    Прямая r0r_0 вертикальна тогда и только тогда, когда две её точки имеют одинаковую абсциссу, то есть когда cos⁡α=0\cos \alpha = 0. На [0,π)\ico{0}{\pi} единственный нуль косинуса есть π2\frac{\pi}{2}; а rr вертикальна ровно тогда, когда вертикальна параллельная ей прямая.

  3. m=sin⁡α−0cos⁡α−0=tan⁡αm = \frac{\sin \alpha - 0}{\cos \alpha - 0} = \dato{m}{\resaltar{\tan \alpha}}

    Если rr не вертикальна, её угловой коэффициент равен угловому коэффициенту r0r_0, то есть отношению разности ординат к разности абсцисс двух её точек.

  4. α={arctan⁡mm≥0π+arctan⁡mm<0\alpha = \begin{cases} \resaltar{\arctan m} & m \geq 0 \\ \resaltar{\pi + \arctan m} & m < 0 \end{cases}

    Обратно, пусть mm есть угловой коэффициент rr. По только что доказанному угол наклона α\alpha есть угол из [0,π)\ico{0}{\pi} с тангенсом mm. Согласно уроку о тригонометрических уравнениях, углы с тангенсом mm суть числа arctan⁡m+kπ\arctan m + k\pi, и ровно одно из них лежит в [0,π)\ico{0}{\pi}: так как arctan⁡m\arctan m лежит в (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, этот угол равен arctan⁡m\arctan m, если m≥0m \ge 0, и равен π+arctan⁡m\pi + \arctan m, если m<0m < 0. На рисунке прямая y=−xy = -x имеет угол наклона π−π4=3π4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.

Например, прямая y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 имеет угол наклона arctan⁡3=π3\arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}, а прямая y=−xy = -x имеет угол наклона π+arctan⁡(−1)=3π4\pi + \arctan \left( -1 \right) = \frac{3\pi}{4}. Знак углового коэффициента отличает, таким образом, возрастающие прямые, с острым углом наклона, от убывающих, с тупым углом наклона.