Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Теоремы и доказательства

Краткое содержание

Этот урок учит набирать утверждения и доказательства как объявленные окружения, а не как полужирный шрифт, расставленный вручную. Он объясняет, что даёт их объявление (нумерацию, ссылки, единообразие и стиль, который меняется одной строкой); представляет пакет amsthm и его команду \newtheorem с формой без номера, общим счётчиком в сравнении с раздельными и нумерацией внутри раздела или главы, и выводит, какая нумерация подходит статье, а какая книге; различает три стиля \theoremstyle по функции утверждения; показывает необязательный аргумент, который даёт результату название или указывает его источник; изучает окружение proof, его заголовок по-русски, его концевой знак и дефект, который исправляет \qedhere; учит ссылаться на утверждения с помощью cleveref и проверяет, что он пишет, когда ему не задано название, включая одно поведение общего счётчика, о котором стоит знать; кратко представляет \newtheoremstyle и thmtools; показывает применение этих окружений за пределами математики; и завершается типичными ошибками и их журналами.

Цели обучения

  1. Объявлять теоремы, леммы, определения и замечания с помощью \newtheorem и \theoremstyle, выбирая стиль по функции утверждения.
  2. Выбирать между общим и раздельными счётчиками, а также между сквозной нумерацией и нумерацией по разделам, и предсказывать получающиеся номера.
  3. Записывать доказательства в окружении proof, давать им собственный заголовок и ставить концевой знак на место с помощью \qedhere, когда доказательство кончается выключной формулой или списком.
  4. Ссылаться на утверждения с помощью \cref, упорядочивать преамбулу так, чтобы cleveref правильно их называл, и находить причину ссылок, которые печатают «??» или неверное название.
  5. Понимать журналы типичных ошибок при объявлении утверждений и устранять их причину.

Зачем объявлять утверждения

Доказательный текст складывается из утверждений с разными функциями: определение закрепляет смысл термина, теорема утверждает то, что будет доказано, лемма подготавливает теорему, следствие вытекает из неё, замечание комментирует, не утверждая ничего нового. Типографская традиция различает их по заголовку, «Теорема 3.», по номеру, который позволяет на них ссылаться, и по внешнему виду. Ничто не мешает воспроизвести всё это вручную: полужирным шрифтом и номером, который пишет автор.

Код LaTeX
\textbf{Теорема 2.} \emph{Всякое простое число, большее 2, нечётно.}​\textbf{Лемма 3.} \emph{Если $n$ чётно, то $n^2$ чётно.}

Напечатанный результат может совпадать с результатом объявленного окружения; дефект кроется в исходном тексте, и это тот же дефект, который урок о перекрёстных ссылках и урок о макросах и собственной преамбуле отметили у других объектов. Если это так, то из этого следуют четыре потери. Номер, записанный вручную, перестаёт быть верным при первом же вставленном утверждении. Метку поставить не к чему, так что ссылка снова становится номером, записанным вручную. Внешний вид зависит от памяти автора, и достаточно одной забывчивости, чтобы теорема вышла прямым шрифтом. А если журнал потребует набирать утверждения другим шрифтом, придётся исправлять каждое. Объявление окружения thm называет функцию, а его определение, записанное один раз в преамбуле, задаёт номер, заголовок и внешний вид.