Алгебраические структуры: группы, кольца и поля

Бинарные операции

На протяжении этого курса и курса «Алгебра и геометрия I» мы складывали и умножали натуральные, целые, рациональные, действительные и комплексные числа; составляли композиции функций, перемножали матрицы и выполняли повороты плоскости один за другим. Каждая из этих операций берёт два объекта некоторого множества и возвращает третий объект того же множества, и для всех них мы снова и снова доказывали похожие свойства. Этот урок выделяет эти свойства и изучает, что из них вытекает, какова бы ни была природа объектов.

Бинарная операция на множестве $A$ есть правило, которое каждой упорядоченной паре элементов $a$ и $b$ из $A$ ставит в соответствие единственный элемент из $A$, записываемый как $a \cdot b$ или просто $ab$. То, что результат принадлежит $A$, выражают словами: $A$ замкнуто относительно операции.

Точка здесь не обязательно обозначает произведение чисел: это общее имя операции, которой в каждом случае будет сложение, умножение, композиция или любая другая. Когда операция является сложением, по традиции используют знак $+$. Нас интересуют четыре свойства. Операция ассоциативна, если $(ab)c = a(bc)$ для всех $a$, $b$ и $c$ из $A$, и коммутативна, если $ab = ba$ для всех $a$ и $b$. Элемент $e$ из $A$ называется нейтральным, если $ea = ae = a$ для всякого $a$; и, если нейтральный элемент есть, элемент $b$ называется обратным к $a$, когда $ab = ba = e$.

Ни одно из четырёх свойств не выполняется автоматически. Вычитание есть бинарная операция на $\mathbb{Z}$, но оно не ассоциативно и не коммутативно и не имеет нейтрального элемента: число $0$ удовлетворяет равенству $a - 0 = a$, но не равенству $0 - a = a$. Деление не является бинарной операцией на $\mathbb{Q}$, потому что оно ничего не сопоставляет паре, образованной числами $1$ и $0$. Сложение на $\mathbb{N}$ ассоциативно и коммутативно, но не имеет нейтрального элемента, потому что в курсе I натуральные числа начинаются с $1$. Композиция функций ассоциативна и не коммутативна, как было доказано в уроке курса I о действиях с функциями, и то же верно для произведения квадратных матриц одного порядка, изученного в уроке о матрицах и операциях над матрицами; его нейтральный элемент есть единичная матрица $I$.