基本定义

浓缩概率空间本质的部分正是概率测度的概念。这是最终量化某一事件发生可能性的函数。

一个概率测度 P 是这样一个函数，给定一个 σ-代数 \Sigma=(\Omega,\mathcal{A})，它为每个事件 E\in\mathcal{A} 分配一个概率。这个概率测度满足以下属性：

1. (E\in \mathcal{A}) \rightarrow (0 \leq P(E) \leq 1)
2. P(\Omega) = 1
3. \left[E_1,_2 \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[ (E_1 \cap E_2 = \emptyset) \rightarrow \left(P\left(E_1 \cup E_2 \right) = P(E_1) + P(E_2) \right) \right]
4. \displaystyle \left[E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[P \left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)\right] (连续性)

概率作为相对频率极限

这个概率概念可以通过“相对频率极限”的直观想法来理解。例如，考虑一个实验，把一个6面的骰子投掷N次。每次投掷的样本空间是\Omega_{1d6} = \{1,2,3,4,5,6\}。如果A是\Omega_{1d6}中的任意事件，那么我们可以测量事件A在N次投掷中发生的频率f_N(A)。这样做我们将验证到：

0 \leq f_N(A) \leq f_N(\Omega_{1d6}) = N,

如果我们考虑\Omega_{1d6}中的另一个任意事件B，那么将发生：

(A\cap B = \emptyset ) \rightarrow (f_N(A\cup B) = f_N(A)+f_N(B) )

基于此，我们可以定义一个新的“函数”g_N，我们称之为相对频率，通过以下表达式

g_N(A) = \displaystyle \frac{f_N(A)}{N}

我们注意到g_N函数符合前三个属性，只有第四个（连续性）属性不能以这种方式获得，但由于某些结果不能在没有这个属性的情况下获得，所以出于“技术”原因引入了这个属性。

即便如此，g_N还不是一个概率测度，因为它还不是一个函数。这是因为无论N的值如何，g_N并不总是必然给出一个唯一的值，就像一个函数所做的那样。为了解决这个问题，我们添加了一个极限步骤，最终得到一个概率测度，得到：

\displaystyle P(A) = \lim_{N\to\infty} g_N(A)

这就是所谓的概率作为相对频率的极限。

例子：掷骰子

继续分析掷一个6面骰子的情况， 我们会发现：

\displaystyle\left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\}\right) \left( g_N(\{x\}) = \frac{f_N(\{x\})}{N}\right)

如果实验重复多次，我们可以验证

\displaystyle \left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\} \right) \left( \lim_{N \to \infty} g_N(\{x\}) = \displaystyle \frac{1}{6} \right)

\displaystyle \lim_{N \to \infty} g_N(\Omega_{1d6}) = 1

因此，如果我们定义P(\{x\}) = \lim_{N\to\infty} g_N(\{x\})，那么将发生：

\displaystyle P(x=\{1,3,5\}) = P(\{1\}\cup\{3\}\cup\{5\}) = P(\{1\})+P(\{3\})+P(\{5\}) = \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}= \frac{1}{2}

从这个例子中我们也可以简单地推断出，给定一个样本空间\Omega中的事件E

\displaystyle P(E) = \frac{\# E}{\# \Omega}

这就是所谓的“概率作为有利情况与总情况之比”，这对于理解概率空间和概率测度的大量推理至关重要。