真空中的麦克斯韦方程

真空中的电磁学有一些值得一提的性质。事实上，描述电场和磁场的麦克斯韦方程在真空中呈现如下形式

\begin{array}{rlr} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} &= 0 & [1]\\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} &= 0 & [2]\\ \vec{\nabla} \times \vec{E} &\displaystyle = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} & [3]\\ \vec{\nabla} \times \vec{B} &\displaystyle = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} & [4] \end{array}

由此可以确认，电场和磁场中的任何扰动都会以波的形式在真空中传播。我们怎么知道的？因为分析这些表达式可以得出两个场的波动方程。

电磁波的传播

从[4]和[5]可以得出，电场满足以下关系：

\begin{array}{llr} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left( -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) &\\ &=\displaystyle -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{B}\right) = -\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}& [6] \end{array}

然后，由于所有矢量场都满足以下关系：

\vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{A} \right) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A},\;\;\;[7]

从[2, 6]和[7]可以写出：

\begin{array}{rll} &\displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{E}}_{=0}) - \nabla^2 \vec{E} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{E} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} & \\ \equiv &\displaystyle \color{blue}{\nabla^2 \vec{E} = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}} & [8] \end{array}

这个用蓝色标出的部分正是电场的波传播方程。

磁场的情况与此完全类似

\begin{array}{ll} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{B}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right)\\ &=\displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{E}\right) = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(- \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \displaystyle \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \end{array}

然后

\begin{array}{rll} & \displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{B}}_{=0}) - \nabla^2 \vec{B} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{B} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} &\\ \equiv &\color{blue}{\nabla^2 \vec{B} = \displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}}& [9] \end{array}

由此可见，真空中的电磁场有许多可能的模式，其中一类模式就是以电磁波的形式在空间和时间中传播。

光速是一个普遍常数

换句话说，电磁场中的扰动总是以c = 1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}\approx 3\cdot 10^8[m/s],的速度传播，这是光在真空中的速度。实验观测到这个速度对所有惯性参考系都是相同的，这与应用伽利略变换得出的结果不符，如伽利略变换及其局限性所示；因为根据伽利略变换，即使是波的结构也会在从一个惯性参考系转换到另一个时发生变化。这些结果是抛弃伽利略变换、转而采用洛伦兹变换的特殊相对论的关键，因为：正确表述的坐标变换应保留所有惯性观察者的物理定律。