直线方程和笛卡尔坐标系

摘要:
在本课中，我们将介绍解析几何的基础，展示如何使用坐标表示平面上的点，以及如何根据斜率和已知点构建直线方程。我们将探讨关键概念，例如斜率、使用方程 $y = mx + b$ 以及直线的图形表示。此外，还包括实际练习和应用，以解决实际问题，如位置计算和直线的交点。

学习目标

理解解析几何的基本原理及其在笛卡尔平面上表示点的应用。
识别直线的斜率公式及其几何意义。
应用通用直线方程 $y = mx + b$ 来描述线性关系。
计算基于已知点和斜率的直线方程。
绘制基于其方程的直线在笛卡尔平面上的图形。
解决通过方程组求解两条直线交点的问题。
分析两个线性量之间的关系，以及如何通过直线方程来表示它们。

内容目录
解析几何的基本原理
 直线方程
 如何绘制直线方程
 直线的交点

现在我们将开始学习直线方程、笛卡尔坐标系以及解析几何的基本原理。

解析几何的基本原理

当介绍实数时，通常会说这些是直线上的点

基于此，笛卡尔提出了用两条直线来表示平面上的点，作为坐标对 (x, y)

直线方程

通过这些概念，我们现在可以在平面上考虑一组点来形成曲线，其中坐标 $x$ 对应另一个坐标 $y$ ，而这种对应关系是由函数给出的。这就是代数渗透几何的地方，从而产生了“解析几何”。

从几何上理解直线是连接两点并且行走最短距离的曲线。

从几何上理解，直线是连接两点并且行走最短距离的曲线。分析这一点，根据泰勒斯定理，我们会发现对于每一个 $y$ 坐标的增量，都会有相应的 $x$ 坐标增量，使得 $m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)=\Delta y / \Delta x$ 的商对于直线上的任何一对点始终是常数。这就是我们所称的“直线的斜率”。

由于斜率对于直线上任意一对点都是相同的，因此如果我们考虑直线上具有坐标 $(x, y),$ $(x_0, y_0),$ $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的点，我们可以写出:

$\displaystyle \frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

这等同于说

$\begin{matrix}y & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_0 ) + y_0 \\ \\ & = & \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} (x - x_0) + y_0 \end{matrix}$

这就是著名的直线方程的来源

$\color{red}{{y = m(x - x_0) + y_0}}$

这里， $(x_0, y_0)$ 是一个固定点，而 $(x, y)$ 是任意点。

例题

计算通过点 $(x_0, y_0) = (2, 3)$ 且斜率为 $m = 3/2$ 的直线方程 [解答]
计算通过点 $(x_0, y_0) = (1, 8)$ 且斜率为 $m = 7/5$ 的直线方程 [解答]
计算通过点 $(x_1, y_1) = (3, 5)$ 和 $(x_2, y_2) = (1, -2)$ 的直线方程 [解答]

如何绘制直线方程

我们已经了解了如何从图形信息中得到 直线方程；现在我们将反过来，根据直线方程得到图形表示。

最后，直线方程通常表现为以下形式。

$y = mx + b$

其中 $m = \Delta Y / \Delta x$ 是斜率， $b$ 是位置系数。基于此，我们得到如下图形

例题

绘制方程 $y=\displaystyle \frac{3}{4}x + 2$ 的直线 [解答]
绘制方程 $y=\displaystyle -\frac{2}{5}x + 6$ 的直线 [解答]

直线方程的应用问题

直线可以用来解决涉及两个量之间直接关系的问题，如以下例子

一个初始位置为 $x_0 = 12[m]$ 的车辆以 $v=0.3[m/s]$ 的速度移动。 $30[s]$ 后它的位置在哪里? [解答]
某人去市场买了 $1[kg]$ 苹果，总共花费 $50 Z\$.$ 当天，同一个人又去市场买了 $3[kg]$ 苹果，总共花费 $60 Z\$.$ 。苹果的价格是多少，交通费是多少？ [解答]

直线的交点

假设我们有两条直线，我们希望找到它们的交点；也就是说，找到直线的交点。要解决这类问题，我们需要求解方程组。为了更好地理解这一点，让我们看以下例子。

考虑以下直线：

$L_1 \; : \; y= \displaystyle \frac{3}{2}x + 1$

$L_1 \; : \; y=\displaystyle -\frac{1}{3}x + 9$

这两条直线在哪里相交？

为了解决这个问题，我们做出如下推理：

(1)	$y=\displaystyle \frac{3}{2}x + 1$	; 直线 $L_1$
(2)	$y= \displaystyle -\frac{1}{3}x + 9$	; 直线 $L_2$
(3)	$\displaystyle \frac{3}{2}x + 1 = -\frac{1}{3}x + 9$	; 来自 (1) 和 (2)
	$\displaystyle \frac{3}{2}x = -\frac{1}{3}x + 8$	; 两边同时减去1
	$9x = -2x + 48$	; 两边同时乘以6
	$11x =48$	; 两边同时加2x
	$\displaystyle x = \frac{48}{11}$	; 两边同时除以11
(4)	$\displaystyle y= \frac{3}{2}\cdot \frac{48}{11} + 1$	; 来自 (1) 和 (3)
	$\displaystyle y= \frac{3}{1}\cdot \frac{24}{11} + \frac{11}{11}$
	$y= \displaystyle \frac{83}{11}$
(5)	$\displaystyle (x, y)= \left(\frac{48}{11}, \frac{83}{11} \right)$	; 来自 (3) 和 (4)

因此，直线的交点是 $(x, y)= \displaystyle \left(\frac{48}{11}, \frac{83}{11} \right).$

直线交点的应用问题示例

为了举办一场派对，总共售出了600张门票，总收入为 $\$1.300.000.$ 青年票售价为 $\$1.000,$ 成人票售价为 $\$3.000.$ 参加派对的有多少成人和青年？ [解答]