Основные определения

Часть, конденсирующая суть пространства вероятностей — это идея вероятностной меры. Это функция, которая, в конечном итоге, количественно оценивает вероятность того, что произойдет определенное событие.

Вероятностная мера P — это функция, которая, учитывая сигма-алгебру \Sigma=(\Omega,\mathcal{A}), назначает вероятность каждому событию E\in\mathcal{A}. Эта мера вероятности удовлетворяет следующим свойствам:

1. (E\in \mathcal{A}) \rightarrow (0 \leq P(E) \leq 1)
2. P(\Omega) = 1
3. \left[E_1,_2 \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[ (E_1 \cap E_2 = \emptyset) \rightarrow \left(P\left(E_1 \cup E_2 \right) = P(E_1) + P(E_2) \right) \right]
4. \displaystyle \left[E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[P \left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)\right] (непрерывность)

Вероятность как предел относительных частот

Это понятие вероятности можно понять через интуитивную идею вероятности как «предела относительных частот». Возьмем, к примеру, эксперимент, в котором N раз бросается шестигранный кубик. Пространство элементарных событий каждого броска — \Omega_{1d6} = \{1,2,3,4,5,6\}. Если A — это любое событие из \Omega_{1d6}, то мы можем измерить частоту f_N(A), с которой происходит событие A при N бросках. Делая это, мы подтвердим, что:

0 \leq f_N(A) \leq f_N(\Omega_{1d6}) = N,

и если мы рассмотрим второе событие B из \Omega_{1d6}, то произойдет следующее:

(A\cap B = \emptyset ) \rightarrow (f_N(A\cup B) = f_N(A)+f_N(B) )

На основе этого мы можем определить новую «функцию» g_N, которую называем относительной частотой, через выражение

g_N(A) = \displaystyle \frac{f_N(A)}{N}

Мы заметим, что функция g_N удовлетворяет первым трем свойствам, только четвертое (непрерывность) не может быть получено таким образом, но оно вводится по скорее «техническим» причинам, так как некоторые результаты не могут быть получены без этого свойства.

Тем не менее, g_N еще не является мерой вероятности, потому что она еще не является функцией. Это связано с тем, что независимо от значения N, g_N не обязательно дает уникальное значение, как это делала бы функция. Чтобы решить эту проблему, мы добавляем шаг к пределу, чтобы в конечном итоге получить меру вероятности, получая:

\displaystyle P(A) = \lim_{N\to\infty} g_N(A)

Это то, что известно как Вероятность как предел относительных частот.

Пример: бросок шестигранного кубика

Продолжая анализ броска шестигранного кубика, будет следующее:

\displaystyle\left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\}\right) \left( g_N(\{x\}) = \frac{f_N(\{x\})}{N}\right)

и если эксперимент повторяется много раз, можно будет подтвердить, что

\displaystyle \left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\} \right) \left( \lim_{N \to \infty} g_N(\{x\}) = \displaystyle \frac{1}{6} \right)

\displaystyle \lim_{N \to \infty} g_N(\Omega_{1d6}) = 1

Таким образом, если мы определим P(\{x\}) = \lim_{N\to\infty} g_N(\{x\}), то произойдет следующее:

\displaystyle P(x=\{1,3,5\}) = P(\{1\}\cup\{3\}\cup\{5\}) = P(\{1\})+P(\{3\})+P(\{5\}) = \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}= \frac{1}{2}

Из этого примера также можно легко понять, что, учитывая событие E в пространстве элементарных событий \Omega

\displaystyle P(E) = \frac{\# E}{\# \Omega}

Это то, что известно как «вероятность как благоприятные случаи по отношению к общему числу случаев» и является фундаментальным для понимания множества рассуждений о пространстве вероятностей и мере вероятности.