Как рассчитать нормальное распределение с использованием таблицы?
Резюме
В этом уроке мы рассмотрим тему нормального распределения, одного из самых распространенных непрерывных распределений вероятностей. Мы проанализируем, как случайная величина X с параметрами \mu и \sigma может следовать нормальному распределению, и как это распределение может быть стандартизировано путем замены в интеграле. Однако мы заметим, что, несмотря на упрощение через стандартизацию, аналитическое вычисление интеграла остается сложной задачей, поскольку не существует алгебраических выражений для представления его результата. Чтобы преодолеть эту проблему, мы представим таблицу стандартного нормального распределения, построенную в Excel, которая предоставляет численные приближения значений функции. Мы подробно объясним, как использовать таблицу, включая интерпретацию накопленных вероятностей как площадей под кривой. В заключение урока будет серия практических упражнений, сосредоточенных на расчете вероятностей и оценок с использованием таблицы нормального распределения и концепции стандартного нормального распределения.
Цели обучения:
По окончании этого урока студент будет способен:
- Показать связь между стандартным нормальным распределением и нормальным распределением с заданными параметрами \mu и \sigma путем замены в интеграле.
- Решать практические задачи с использованием таблицы стандартного нормального распределения.
- Создавать и использовать таблицу стандартного нормального распределения с использованием Excel.
Содержание:
Проблема и решение нормального распределения
Как использовать эту таблицу?
Упражнения
Проблема и решение нормального распределения
Одно из самых широко используемых непрерывных распределений вероятностей — это нормальное распределение. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами \mu,\sigma, если
\displaystyle P(X\leq x) =\Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt
и также мы видели, что это распределение можно «стандартизировать», если сделать в интеграле замену вида \displaystyle z= \frac{t-\mu}{\sigma}, получая:
\displaystyle \Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\инf=-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2} }dt = \Phi_{0,1}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)
Хотя этот процесс стандартизации упрощает интеграл, он все же недостаточен, чтобы позволить нам вычислить хотя бы одну вероятность для этого распределения. Дело в том, что аналитически оценить этот интеграл — задача, которую мы не можем выполнить; на самом деле, не существует алгебраических выражений, которые могли бы выразить результат этих интегралов, и это создает трудности. Однако, если у нас есть численные приближения для некоторых значений функции стандартного нормального распределения, мы уже можем начать делать некоторые оценки. Эти значения сведены в эту таблицу стандартного нормального распределения, которую я создал в Excel для вас >:D
Вы можете скачать эту таблицу в формате Excel по следующей ссылке. Рекомендую вам ознакомиться с этим файлом, так как это поможет вам создать свою собственную таблицу, если вы не сможете найти подходящую 🙂
Как использовать эту таблицу?
Чтобы легко использовать эту таблицу, вам следует помнить, что, помимо указания накопленной вероятности, она также представляет площадь под кривой (функции плотности). Это можно увидеть на следующем рисунке:
Поняв это, следующим шагом будет объяснение использования самой таблицы. То, что мы здесь видим, заключается в том, что значение z, при котором мы будем оценивать функцию \Phi_{0,1}(z), разделено на две части: в столбце вы найдете его расширение до первой десятичной цифры, а в строке вы найдете вторую десятичную цифру; например: число z=1,72 можно найти как бы по «координатам»: вертикальная ось — это 1,7, а горизонтальная — 0,02. В итоге численное приближение \Phi_{0,1}(1,72) появится в блоке координат «1,7» и «0,02», где будет показано значение 0,957284.
Упражнения
- Оцените значение \Phi_{0,1}(2,93)
- Оцените значение \Phi_{\mu=12,\sigma=3}(11,5)
- Случайная величина X имеет нормальное распределение N(\mu=37,\sigma=9). Вычислите P(35 \lt X \lt 43).
- Количество томатов, которые ежедневно гниют на прилавке продавца, имеет среднее значение \mu=50 и стандартное отклонение \sigma=15. Если продавец привозит томаты 3 раза в неделю, оцените количество дней в течение месяца, когда сгниет более 60 томатов.
- Предположим, что X \sim N(\mu,\sigma), вычислите следующие вероятности:
- P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)
- P(X \leq \mu - \sigma \vee \mu + \sigma \leq X)
- P(X \leq \mu - n\sigma \vee \mu + n\sigma \leq X)