新たな考察

「真空中における電磁波の伝播」で見た内容の結果として、特殊相対性理論では光速度 c がすべての慣性系で同一であるという事実を原理として仮定する。しかしこの仮定は代償なしには成り立たず、次のような含意を伴う。

1. ガリレイ変換を、ある慣性系から別の慣性系への観測を変換する有効な手段として放棄しなければならない。
2. 時間がすべての慣性参照系で同じように流れるという直観的な考えを捨てなければならない。

これらの考察を通じてローレンツ変換が得られる。これはガリレイ変換に対する修正かつ一般化として機能し、さらに電磁気学の理論に対しても有効である。

ローレンツ変換の導出

座標変換（線形）に関する振り返り

標準的な配置にある2つの慣性系 S と S^\prime を考えよう。ここで、第2の原点は第1の原点に対して一定速度 \vec{v}_0 = v_{x_0}\hat{x} で運動している。次に行うのは、2つの慣性系 S と S^\prime から観測された事象の座標が、相対性原理（特に この式）で提示されたような線形変換によって関係づけられると仮定し、さらに光がすべての慣性系において同じ速度をもつという事実を受け入れるならば、その座標変換はまさに後に導出されるローレンツ変換に一致することを示すことである。

原理的には、S から見た事象の座標 (t,x) と、速度 v_{v}=v_{x_0}\hat{x} で S に対して運動する S^\prime から見た同じ事象の座標 (t^\prime, x^\prime) は、次のような線形変換を通じて関係づけられる。

\begin{array}{llr} t^\prime &= At + Bx, & [1]\\ x^\prime &= Dt + Ex & [2] \end{array}

ここで A, B, C および D は未知の定数であり、簡潔さを得るために（一般性を失うことなく）座標 y と z は省略されている。

普遍定数としての光速度の導入

定数 A, B, D および E は、いくつかの特殊な場合を考慮することで決定できる。まず重要なのは、[1] および [2] によって表される座標変換が常に成り立たなければならないという点である。したがって、それぞれの特別な場合においても成立しなければならず、その形を探るために以下のような場合を考察する。

• 事象が光速度で運動していると考える: もしこの事象が S から見て座標 (t,x) をもち、S^\prime から見て座標 (t^\prime, x^\prime) をもつならば、次の関係が満たされなければならない。

  \displaystyle\frac{x^2}{t^2} = c^2 = \frac{{x^\prime}^2}{{t^\prime}^2}.

  これにより次が導かれる。

  c^2 t^2 - x^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 = 0\;\;\; [3]

• 事象が慣性系 S^\prime とともに運動していると考える:

  もし事象が慣性系 S^\prime の原点と同じ座標をもつならば、x=v_0 t および x^\prime =0 となる。この結果、式 [2] から次が得られる。

  \begin{array}{rl} & 0 = Dt + Ev_0 t \\ \equiv & D = -Ev_0\:\:\;[4] \end{array}

• 最後に、事象が慣性系 S の原点に留まっていると考える:

  この場合、x=0 かつ x^\prime = -v_0 t^\prime となるので、式 [2] から次が得られる。

  \begin{array}{rl} &-v_0t^\prime = Dt\\ \equiv & t= \displaystyle -\frac{v_0}{D} t^\prime\;\;\;[5] \end{array}

  次に、[1] および [5] より次が成り立つ。

  \begin{array}{rl} & t^\prime = A \left(\displaystyle -\frac{v_0}{D}\right) t^\prime + \underbrace{Bx}_{x=0} \\ \\ \equiv & \displaystyle \frac{-Av_0}{D} = 1 \\ \\ \equiv & D = -Av_0\;\;\;[6] \end{array}

最後に、[4] と [6] から A = E が得られるので、[1] および [2] によって与えられる方程式系は次のように簡約される。

\begin{array}{rll} t^\prime &= At + Bx & [7]\\ \\ x^\prime &= A(x - v_{x_0} t) & [8] \end{array}

速度ブーストとローレンツ因子

次に、[7] および [8] を [3] に代入すると次が得られる。

\begin{array}{rl} & c^2 (At +Bx)^2 - A^2 (x - v_{x_0} t)^2 = c^2t^2 - x^2\\ \\ \equiv\; & \color{blue}{(c^2 A^2) t^2} + \color{red}{(2c^2 AB)xt} \color{black} + c^2 B^2 x^2 - A^2 x^2 + \color{red} {(2A^2v_{x_0})xt} \color{black}- \color{blue}{(A^2 v_{x_0}^2) t^2} \color{black}= \color{blue}{(c^2) t^2} \color{black}- x^2. \end{array}

青で示された部分から次が得られる。

\begin{array}{rl} &c^2 A^2 - A^2 v_{x_0}^2 = c^2 \\ \\ \equiv\;& A^2 (c^2 - v_{x_0}^2) = c^2 \\ \\ \equiv\;& \displaystyle A^2 = \frac{c^2}{c^2 - v_{x_0}^2} = \frac{1}{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}} \\ \equiv\;& \displaystyle A = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}}} \end{array}

これは一般的に A=\gamma_x（ローレンツ収縮因子）、および \beta_x = v_{x_0}/c（速度のブースト）と置き換えて次のように表される。

\displaystyle A = \gamma_x = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta_x^2}},\;\;\;[9]

そして、[9] を [2] に代入すると次が得られる。

x^\prime = \gamma_x(x - \beta_x ct)

赤で示された部分から次が得られる。

\begin{array}{rll} &2c^2 AB + 2A^2v_{x_{x_0}} = 0& \\ \\ \equiv\;& cB^2 + Av_{x_0} = 0 & \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{1}{c^2}Av_{x_0} = -\frac{\gamma_x v_{x_0}}{c^2}& \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} & [10] \end{array}

したがって、[9] および [10] を [7] に代入すると次が得られる。

\begin{array}{rl} &t^\prime =\displaystyle \gamma_x t -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} \\ \\ \equiv\; &t^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( t -\frac{\beta_x x}{c}\right)\\ \\ \equiv\; &ct^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \end{array}

ローレンツ変換の総合

最後に、S 系と S^\prime 系の間の座標変換を表す線形変換は次の式で与えられる。

\begin{array}{rl}ct^\prime &=\gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \\ x^\prime &= \gamma_x(x - \beta_x ct) \end{array}

この変換系は次のように行列表現することができる。

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right)

これは特殊相対性理論におけるローレンツ変換として知られている。

ローレンツ変換はガリレイ変換を収束かつ一般化する

ローレンツ変換がガリレイ変換に収束することは、慣性参照系間の速度が光速度よりはるかに小さい場合にローレンツ変換がどのようになるかを観察することで確認できる。このとき次が成り立つ。

|v_{x_0}| \ll c \longrightarrow \left\{\begin{matrix}\beta_x = \frac{v_{x_0}}{c} \approx 0 \\ \\ \gamma_x = \sqrt{1-\beta_x} \approx 1 \\ \\ \gamma_x \beta_x c = v_{x_0} \gamma_x \approx v_{x_0} \end{matrix}\right.

したがって次が得られる。

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} \gamma_x ct -\gamma_x \beta_x x \\ -\gamma_x \beta_x c t + \gamma_x x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \approx \left(\begin{matrix} ct \\ -v_{x_0}t + x \\ y \\ z \end{matrix}\right)

すなわち次のようになる。

\begin{array}{rl} t^\prime &\approx t \\ x^\prime &\approx x - v_{x_0}t \\ y^\prime &\approx y \\ z^\prime &\approx z \end{array}

これはガリレイ変換と完全に一致する。このことにより、ローレンツ変換は光速度に近い速度に対してガリレイ変換を一般化し、速度が光速度より十分に小さい場合にはガリレイ変換に収束することが確認される。