नई विचारधाराएं

जैसा कि वैक्यूम में इलेक्ट्रोमैग्नेटिक तरंगों के प्रसार में देखा गया है, विशेष सापेक्षता में यह सिद्धांत के रूप में माना जाता है कि प्रकाश की गति c सभी निष्क्रिय संदर्भ फ्रेमों में समान है। लेकिन यह धारणा मुफ्त नहीं आती है, क्योंकि इसके निम्नलिखित निहितार्थ हैं:

1. गैलीलियो के परिवर्तनों को एक निष्क्रिय संदर्भ फ्रेम से दूसरे में अवलोकनों को परिवर्तित करने के एक मान्य माध्यम के रूप में छोड़ना होगा।
2. इस सहज विचार को छोड़ना होगा कि समय सभी निष्क्रिय संदर्भ फ्रेमों के लिए समान रूप से बहता है।

इन विचारों के माध्यम से लोरेंट्ज़ परिवर्तन प्राप्त किए जाते हैं, जो गैलीलियो के परिवर्तनों के लिए एक सुधार और सामान्यीकरण के रूप में काम करते हैं, जो विद्युतचुम्बकीय सिद्धांत के लिए भी काम करते हैं।

लोरेंट्ज़ परिवर्तनों की प्राप्ति

निर्देशांकों के (रेखीय) परिवर्तनों पर पुनरावलोकन

दो निष्क्रिय संदर्भ फ्रेम S और S^\prime को मानक कॉन्फ़िगरेशन में मानते हैं ताकि दूसरे की उत्पत्ति पहले की उत्पत्ति की तुलना में स्थिर गति \vec{v}_0 = v_{x_0}\hat{x} से चलती है। आगे यह साबित किया जाएगा कि, यदि दो निष्क्रिय प्रणालियों S और S^\prime से देखे गए एक घटना के निर्देशांक एक रेखीय परिवर्तन से संबंधित हैं जैसा कि सापेक्षता के सिद्धांत में वर्णित है (विशेष रूप से, यह अभिव्यक्ति) और यह स्वीकार किया जाता है कि प्रकाश की गति सभी निष्क्रिय फ्रेमों में समान है, तो निर्देशांक का परिवर्तन सही लोरेंट्ज़ परिवर्तनों से मेल खाता है जो हम बाद में प्राप्त करेंगे।

मूल रूप से, S से देखी गई एक घटना के निर्देशांक (t,x), और S^\prime से देखी गई उसी घटना के निर्देशांक (t^\prime, x^\prime) जो S, की तुलना में गति v_{v}=v_{x_0}\hat{x} से चलती है, वे इस तरह से एक रेखीय परिवर्तन के माध्यम से संबंधित होते हैं:

\begin{array}{llr} t^\prime &= At + Bx, & [1]\\ x^\prime &= Dt + Ex & [2] \end{array}

जहाँ A, B, C और D हल करने के लिए निरंतर हैं और सरलता के लिए y और z निर्देशांक को छोड़ दिया गया है (सामान्यता खोए बिना)।

प्रकाश की गति को एक सार्वभौमिक स्थिरांक के रूप में पेश करना

A, B, D और E नामक स्थिरांक कुछ विशेष मामलों के आधार पर निर्धारित किए जा सकते हैं। सबसे पहले, हमें यह ध्यान में रखना होगा कि [1] और [2] के माध्यम से व्यक्त किए गए निर्देशांक परिवर्तन हमेशा काम करना चाहिए, और इसके परिणामस्वरूप, यह प्रत्येक विशेष मामले में काम करना चाहिए, और ये विशेष मामले निम्नलिखित हैं:

• मान लें कि घटना प्रकाश की गति से चल रही है: यदि इसके निर्देशांक (t,x) S से देखे जाते हैं और (t^\prime, x^\prime) S^\prime से, तो निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करना होगा:

  \displaystyle\frac{x^2}{t^2} = c^2 = \frac{{x^\prime}^2}{{t^\prime}^2}.

  इससे निष्कर्ष निकलता है कि

  c^2 t^2 - x^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 = 0\;\;\; [3]

• मान लें कि घटना जड़त्वीय संदर्भ S^\prime के साथ चल रही है:

  यदि घटना के निर्देशांक जड़त्वीय संदर्भ S^\prime के मूल के समान हैं, तो यह होगा कि x=v_0 t और x^\prime =0. इस परिणामस्वरूप, समीकरण [2] से हमें मिलता है:

  \begin{array}{rl} & 0 = Dt + Ev_0 t \\ \equiv & D = -Ev_0\;\;\;[4] \end{array}

• अंत में, मान लें कि घटना जड़त्वीय संदर्भ S के मूल के साथ रहती है:

  इस मामले में x=0 होगा और x^\prime = -v_0 t^\prime, इसलिए समीकरण [2] से हमें मिलता है:

  \begin{array}{rl} &-v_0t^\prime = Dt\\ \equiv & t= \displaystyle -\frac{v_0}{D} t^\prime\;\;\;[5] \end{array}

  फिर, [1] और [5] से, हमें मिलता है कि:

  \begin{array}{rl} & t^\prime = A \left(\displaystyle -\frac{v_0}{D}\right) t^\prime + \underbrace{Bx}_{x=0} \\ \\ \equiv & \displaystyle \frac{-Av_0}{D} = 1 \\ \\ \equiv & D = -Av_0\;\;\;[6] \end{array}

अंत में, [4] और [6] से: A = E, इसलिए [1] और [2] द्वारा दी गई समीकरण प्रणाली निम्नलिखित हो जाती है:

\begin{array}{rll} t^\prime &= At + Bx & [7]\\ \\ x^\prime &= A(x - v_{x_0} t) & [8] \end{array}

गति की बढ़ोतरी और लोरेंट्ज़ फैक्टर

अब, [7] और [8] को [3] पर प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

\begin{array}{rl} & c^2 (At +Bx)^2 - A^2 (x - v_{x_0} t)^2 = c^2t^2 - x^2\\ \\ \equiv\; & \color{blue}{(c^2 A^2) t^2} + \color{red}{(2c^2 AB)xt} \color{black} + c^2 B^2 x^2 - A^2 x^2 + \color{red} {(2A^2v_{x_0})xt} \color{black}- \color{blue}{(A^2 v_{x_0}^2) t^2} \color{black}= \color{blue}{(c^2) t^2} \color{black}- x^2. \end{array}

जो कुछ नीले रंग में रह गया है, उससे हम प्राप्त करते हैं

\begin{array}{rl} &c^2 A^2 - A^2 v_{x_0}^2 = c^2 \\ \\ \equiv\;& A^2 (c^2 - v_{x_0}^2) = c^2 \\ \\ \equiv\;& \displaystyle A^2 = \frac{c^2}{c^2 - v_{x_0}^2} = \frac{1}{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}} \\ \equiv\;& \displaystyle A = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}}} \end{array}

यह आमतौर पर A=\gamma_x (लोरेंट्ज़ संकुचन कारक) और \beta_x = v_{x_0}/c (गति बढ़ोतरी) को प्रतिस्थापित करके लिखा जाता है, जिससे यह रूप होता है:

\displaystyle A = \gamma_x = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta_x^2}},\;\;\;[9]

और [9] को [2] पर प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

x^\prime = \gamma_x(x - \beta_x ct)

जो कुछ लाल रंग में रह गया है, उससे हम प्राप्त करते हैं

\begin{array}{rll} &2c^2 AB + 2A^2v_{x_{x_0}} = 0& \\ \\ \equiv\;& cB^2 + Av_{x_0} = 0 & \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{1}{c^2}Av_{x_0} = -\frac{\gamma_x v_{x_0}}{c^2}& \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} & [10] \end{array}

इस प्रकार, [9] और [10] को [7] पर प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

\begin{array}{rl} &t^\prime =\displaystyle \gamma_x t -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} \\ \\ \equiv\; &t^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( t -\frac{\beta_x x}{c}\right)\\ \\ \equiv\; &ct^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \end{array}

लोरेंट्ज़ रूपांतरण का संक्षिप्त वर्णन

अंत में, सिस्टम्स S और S^\prime के बीच निर्देशांकों के परिवर्तन को मॉडलिंग करने वाला रैखिक रूपांतरण इस प्रकार दिया जाता है।

\begin{array}{rl}ct^\prime &=\gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \\ x^\prime &= \gamma_x(x - \beta_x ct) \end{array}

इस प्रणाली का रूपांतरण मैट्रिक्स रूप में निम्न प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -γ_xβ_x & γ_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right)

यह वह है जिसे विशेष सापेक्षता में लोरेंट्ज़ रूपांतरण कहा जाता है

लोरेंट्ज़ परिवर्तन और गैलीलियो परिवर्तन का सामंजस्य और सामान्यीकरण

लोरेंट्ज़ परिवर्तन और गैलीलियो परिवर्तन के बीच सामंजस्य तब देखा जाता है जब लोरेंट्ज़ परिवर्तन को उस स्थिति में माना जाता है जब निर्देशांकों के बीच की गति प्रकाश की गति से कहीं कम होती है। जब ऐसा होता है तो:

|v_{x_0}| \ll c \longrightarrow \left\{\begin{matrix}\beta_x = \frac{v_{x_0}}{c} \approx 0 \\ \\ \gamma_x = \sqrt{1-\beta_x} \approx 1 \\ \\ \gamma_x \beta_x c = v_{x_0} \gamma_x \approx v_{x_0} \end{matrix}\right.

इस प्रकार:

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} \gamma_x ct -\gamma_x \beta_x x \\ -\gamma_x \beta_x c t + \gamma_x x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \approx \left(\begin{matrix} ct \\ -v_{x_0}t + x \\ y \\ z \end{matrix}\right)

यानी:

\begin{array}{rl} t^\prime &\approx t \\ x^\prime &\approx x - v_{x_0}t \\ y^\prime &\approx y \\ z^\prime &\approx z \end{array}

जो गैलीलियो परिवर्तनों से मेल खाते हैं। इससे यह सिद्ध होता है कि लोरेंट्ज़ परिवर्तन गैलीलियो परिवर्तनों का सामान्यीकरण हैं और प्रकाश की गति से काफी कम गति पर गैलीलियो परिवर्तनों में बदल जाते हैं।