कूलॉम्ब का नियम और स्थैतिक विद्युत बल
“कूलॉम्ब का नियम और स्थैतिक विद्युत बल” ने न केवल हमारे विद्युत बलों के ज्ञान को बढ़ाया है, बल्कि कुछ अप्रत्याशित कहानियों को भी जन्म दिया है। उदाहरण के लिए, बेंजामिन फ्रैंकलिन, बिजली का उपयोग करके एक टर्की को बेहोश करने और पकाने के प्रयोग में, खुद ही परीक्षण का विषय बन गए: एक विद्युत निर्वहन ने उन्हें चौंका दिया और उनके बाल खड़े हो गए, जो मानो विद्युत क्षेत्र की रेखाओं को जीवन में दिखा रहे हों। और अब, यह हमारा समय है विद्युत बलों का अध्ययन करने का।
अध्ययन के उद्देश्य:
इस कक्षा के अंत तक, छात्र सक्षम होंगे:
- मॉडलिंग विद्युत घटनाओं को अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करके परीक्षण आवेश पर परिणामी बल की गणना करना।
- सरलीकरण विद्युत बलों का अध्ययन स्थैतिक स्थिति तक सीमित करना।
- लागू करना कूलॉम्ब के नियम का उपयोग करके विभिन्न परिस्थितियों में दो आवेशों के बीच बल का निर्धारण करना।
- विश्लेषण करना स्रोत-आधारित प्रणाली को कूलॉम्ब के नियम के सरलीकृत सूत्रीकरण के माध्यम से समझना।
- हल करना आवेश वितरण से संबंधित व्यावहारिक समस्याओं को हल करना।
सामग्री की सूची:
अध्यारोपण का सिद्धांत
स्थैतिक विद्युत का सरलीकरण
कूलॉम्ब का नियम
स्रोत-आधारित प्रणाली के लिए कूलॉम्ब का नियम
अभ्यास
अब इन घटनाओं का गणितीय मॉडलिंग शुरू करने का समय है और इसके लिए हम कूलॉम्ब का नियम पेश करेंगे। लेकिन पहले, हमें कुछ बिंदुओं को स्पष्ट करना होगा: अध्यारोपण का सिद्धांत और स्थैतिक विद्युत का सरलीकरण।
अध्यारोपण का सिद्धांत
विद्युतगतिकी की मूल समस्या यह निर्धारित करना है कि “आवेशों के बादल” q_1, q_2, \cdots परीक्षण आवेश q_0 पर कितना बल लगाते हैं, जब इनका स्थान समय का एक ज्ञात कार्य है। आम तौर पर, स्रोत आवेश और परीक्षण आवेश सापेक्ष गति में होते हैं।
इस समस्या को हल करना अध्यारोपण के सिद्धांत के माध्यम से सरल हो जाता है, जो बताता है कि परीक्षण आवेश और किसी स्रोत के बीच का पारस्परिक प्रभाव अन्य स्रोतों के साथ पारस्परिक प्रभाव से पूरी तरह स्वतंत्र होता है। इसका मतलब है कि हमेशा यह निर्धारित करना संभव है कि बल \vec{F}_1 स्रोत q_1 के कारण है, बल \vec{F}_2 q_2 के कारण है और इसी तरह, अंततः बलों को जोड़कर कुल बल प्राप्त करें:
\vec{F}_{tot} = \displaystyle \sum_{i}\vec{F}_i
स्थैतिक विद्युत का सरलीकरण
यदि केवल बलों को जोड़ना है, तो यह कहा जा सकता है कि प्रत्येक स्रोत आवेश द्वारा परीक्षण आवेश पर लगाए गए बल का वर्णन करने वाला समीकरण देना पर्याप्त होगा और समस्या हल हो जाएगी; लेकिन, समस्या इतनी सरल नहीं है। समस्या यह है कि बल केवल दूरी और आवेशों की परिमाण पर ही निर्भर नहीं करता है, बल्कि प्रत्येक कण की गति और त्वरण पर भी निर्भर करता है। इसके अलावा, “विद्युत सूचना” जो प्रत्येक कण की स्थिति, गति और त्वरण में बदलाव को दर्शाती है, प्रकाश की गति से यात्रा करती है, और इसे परीक्षण आवेश तक पहुंचने और अपना प्रभाव डालने में समय लगता है।
इस प्रकार, अभी के लिए हमारे अध्ययन को सरल बनाने के उद्देश्य से, हम अपने अध्ययन को स्थैतिक विद्युत के मामले तक सीमित कर देंगे, यानी सभी स्रोत आवेश स्थिर रहेंगे, केवल परीक्षण आवेश ही गति कर सकेगा; और इसी संदर्भ में कूलॉम्ब का नियम उत्पन्न होता है।
कूलॉम्ब का नियम
मान लीजिए हमारे पास एक परीक्षण आवेश q_0 है, जो स्थान \vec{r} पर स्थित है, और एक स्रोत आवेश q है, जो स्थान \vec{r}^\prime पर स्थित है। स्रोत आवेश द्वारा परीक्षण आवेश पर लगाया गया बल \vec{F}_{q \to q_0}(\vec{r}) कितना होगा? इस प्रश्न का उत्तर कूलॉम्ब के नियम से मिलता है, जिसे निम्न सूत्र के माध्यम से व्यक्त किया जाता है:
\vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) = \displaystyle \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime \|^2} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|}
कूलॉम्ब का नियम न केवल स्थैतिक विद्युत बल के लिए संकेतों के नियम का सारांश प्रस्तुत करता है, बल्कि यह भी स्थापित करता है कि विद्युत बल आवेशों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
स्थिरांक \epsilon_0 को निर्वात का विद्युत स्थिरांक कहा जाता है। इसका मान अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में निम्न है:
\displaystyle \epsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12} \left[ \frac{C^2}{N\cdot m^2}\right]
स्रोत-आधारित प्रणाली के लिए कूलॉम्ब का नियम
कूलॉम्ब का नियम को और सरल तरीके से व्यक्त किया जा सकता है, यदि हम पर्यवेक्षक को स्रोत आवेश पर रखें, अर्थात: \vec{r}^\prime = \vec{0}। इस स्थिति में, हमें निम्नलिखित मिलेगा:
\displaystyle \vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \frac{\vec{r} }{\|\vec{r} \|} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \hat{r}
जहां \hat{r}=\vec{r}/\|\vec{r}\| वह इकाई सदिश है, जो स्रोत से परीक्षण आवेश की ओर इंगित करता है।
अभ्यास
- समान परिमाण के 12 बिंदु आवेश q को एक नियमित बारहभुज के कोनों पर रखा गया है (घड़ी के अंकों की तरह)। केंद्र में रखे गए बिंदु आवेश q पर कुल बल कितना होगा?
- पिछले अभ्यास में दी गई 12 श्रोत आवेशों में से एक हटा दी जाती है। मान लीजिए वह 12 बजे की स्थिति पर स्थित थी। अब केंद्र में रखे गए आवेश q पर क्या बल महसूस होगा?
- पिछले दो अभ्यासों के तर्क को विस्तारित करें, लेकिन अब n श्रोत आवेशों को एक नियमित n-भुज के कोनों पर और एक परीक्षण आवेश को केंद्र में रखें।
- तीन बिंदु आवेशों पर विचार करें: q_1=+3[nC] स्थिति (0;0)[mm], q_2=-5[nC] स्थिति (0,56;0)[mm], और q_3=+7[nC] स्थिति (1;1)[mm] पर स्थित है। आवेश q_3 पर कुल बल की गणना करें।
- एक रेखा पर, एक आवेश q_1 = 3[C] रखा गया है, और 40 [mm] की दूरी पर एक और आवेश q_2 = 7[C] रखा गया है। यदि इन दोनों के बीच तीसरा आवेश रखा गया है, ताकि उस पर कुल बल शून्य हो, तो इस तीसरे आवेश और अन्य दो के बीच की दूरी कितनी होगी?
- तांबे की दो छोटी गेंदों को, प्रत्येक 0.040 [kg] के द्रव्यमान के साथ, 2.0 [m] की दूरी पर रखा गया है। यह मानते हुए कि तांबे का द्रव्यमान 63.5 [g/mol] और परमाणु क्रमांक 20 है, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:
- प्रत्येक गेंद में कितने इलेक्ट्रॉन हैं?
- दोनों गेंदों के बीच लगभग 10^4[N] का आकर्षण बल उत्पन्न करने के लिए, कितने इलेक्ट्रॉन एक गेंद से दूसरी में स्थानांतरित करने की आवश्यकता है?
- यह संख्या कुल इलेक्ट्रॉनों का कितना भाग है?