Teorema de Weierstrass de los Valores Extremos
¿Por qué en tantos problemas de optimización se da casi por sentado que “el máximo existe” o que “siempre hay un mínimo” en cierto intervalo, cuando en realidad nada obliga a que eso ocurra? El Teorema de Weierstrass es la pieza que faltaba en ese rompecabezas: garantiza que una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado no solo está acotada, sino que alcanza efectivamente sus valores extremos. En esta entrada revisamos su enunciado, construimos con detalle una demostración rigurosa basada en continuidad puntual, compacidad y el axioma del supremo, y comentamos su interpretación moderna en términos de funciones continuas sobre conjuntos compactos. La idea es que al terminar no solo recuerdes el teorema como una frase, sino que entiendas por qué es cierto y por qué aparece una y otra vez en análisis, en optimización y en modelos aplicados.
Objetivos de aprendizaje
- Comprender el enunciado del Teorema de Weierstrass.
Identificar con precisión las hipótesis del teorema (función continua en un intervalo cerrado y acotado [a,b]) y sus conclusiones principales: acotación y existencia de valores máximo y mínimo. - Interpretar el Teorema de Weierstrass en términos de compacidad.
Formular el resultado en lenguaje moderno: las funciones continuas envían conjuntos compactos en conjuntos donde los valores extremos se alcanzan, conectando el caso de [a,b] con el marco general de análisis real. - Relacionar el Teorema de Weierstrass con problemas de optimización.
Reconocer el papel del teorema como fundamento teórico para la existencia de máximos y mínimos en muchos problemas de optimización en una variable, tanto en contextos teóricos como aplicados.
INDICE DE CONTENIDOS:
Introduccion
Enunciado del Teorema de Weierstrass
Demostración
Paso 1: Continuidad puntual en [a,b]
Paso 2: Recubrimiento abierto asociado a la continuidad
Paso 3: Compacidad de [a,b] y subrecubrimiento finito
Paso 4: Construcción de un \delta que no depende de x_0 (continuidad uniforme)
Paso 5: De continuidad uniforme a acotación de f en [a,b]
Paso 6: Existencia de valores máximo y mínimo
Interpretación en términos de compacidad y conclusión
Introducción
El Teorema de Weierstrass de los Valores Extremos es uno de esos resultados que, si bien suele aparecer en las primeras unidades de Análisis Real, en realidad sostiene silenciosamente una enorme parte de la matemática aplicada. Cada vez que en física, economía o estadística hablamos de «maximizar» o «minimizar» una cantidad sujeta a ciertas restricciones, en el fondo estamos usando una idea muy cercana a la que garantiza este teorema: que una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado no solo está acotada, sino que alcanza efectivamente sus valores extremos.
Intuitivamente puede parecer «obvio» que si dibujamos una curva continua sobre un segmento [a,b], entonces debe existir un punto más alto y uno más bajo. Sin embargo, basta hacer pequeños cambios en las hipótesis para que esta intuición falle de forma estrepitosa: si abrimos el intervalo, si la función deja de ser continua o si el dominio no es acotado, los máximos y mínimos pueden simplemente desaparecer. El Teorema de Weierstrass pone orden en esta intuición y nos dice con precisión cuándo podemos confiar en ella y por qué.
Desde el punto de vista teórico, este teorema es el primer encuentro serio con la idea de compacidad: en lenguaje moderno, lo que está diciendo es que una función continua transforma conjuntos compactos en conjuntos compactos. Desde el punto de vista práctico, esto se traduce en la existencia de soluciones para muchos problemas de optimización en una dimensión, y será una pieza clave para resultados posteriores como el Teorema del Valor Medio y, en última instancia, para entender con calma el Teorema Fundamental del Cálculo.
En este apartado enunciaremos el Teorema de Weierstrass y desarrollaremos con detalle su demostración, apoyándonos en la noción de continuidad en [a,b] y en el axioma del supremo. La idea es que este texto te sirva como referencia sólida: tanto para estudiar el resultado en sí, como para volver a él cada vez que necesites usarlo al demostrar otros teoremas o al justificar rigurosamente la existencia de máximos y mínimos en problemas concretos.
Enunciado del Teorema de Weierstrass
Toda función f definida y continua en [a,b], es acotada y tiene valores mínimo y máximo, m y M, tales que si x\in[a,b], entonces f(x)\in[m,M]. |
Demostración
Probemos que si f:[a,b]\to\mathbb{R} es continua en el intervalo cerrado y acotado [a,b], entonces f es acotada y alcanza un valor máximo y un valor mínimo en [a,b]. Dividiremos la demostración en dos grandes partes:
- Primero, mostraremos que la continuidad de f en [a,b] implica que f es uniformemente continua, y a partir de ello deduciremos que es acotada.
- Luego, usando el axioma del supremo, probaremos que f alcanza sus valores máximo y mínimo en el intervalo.
Paso 1: Continuidad puntual en [a,b]
Por hipótesis, f es continua en cada punto x_0\in[a,b]. Por definición de continuidad en términos de \epsilon y \delta, esto significa que:
\displaystyle (\forall x_0\in[a,b])(\forall \epsilon\gt 0)(\exists \delta(x_0)\gt 0) \big(|x-x_0|\lt\delta(x_0)\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon\big).
En este punto, el número \delta(x_0) puede depender del punto x_0. Nuestro objetivo inmediato será construir, a partir de estos \delta(x_0), un único número \delta que no dependa de x_0 y que funcione a la vez para todos los puntos del intervalo.
Paso 2: Recubrimiento abierto asociado a la continuidad
Fijemos un \epsilon\gt 0 cualquiera. Para cada x_0\in[a,b], la continuidad de f nos permite escoger un número \delta(x_0)\gt 0 tal que
\displaystyle |x-x_0|\lt\delta(x_0)\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\frac{\epsilon}{2}.
A partir de estos valores definimos, para cada x_0\in[a,b], un intervalo abierto
\displaystyle I_{x_0}=\left(x_0-\frac{\delta(x_0)}{2},\,x_0+\frac{\delta(x_0)}{2}\right).
Cada I_{x_0} es un conjunto abierto en \mathbb{R} y, además, la familia
\displaystyle \{I_{x_0}\}_{x_0\in[a,b]}
forma un recubrimiento abierto de [a,b]. En efecto, dado un punto cualquiera y\in[a,b], basta tomar x_0=y; por construcción, y\in I_y. Así, cada punto del intervalo pertenece al menos a uno de los abiertos I_{x_0}.
Esta familia de abiertos es, en general, infinita (hay uno por cada x_0\in[a,b]). Aquí es donde entra en juego la compacidad de [a,b].
Paso 3: Compacidad de [a,b] y subrecubrimiento finito
Sabemos por el Teorema de Heine–Borel que un subconjunto de \mathbb{R} es compacto si y solo si es cerrado y acotado. El intervalo [a,b] es cerrado y acotado, luego es compacto. Por definición de compacidad, esto significa que:
De todo recubrimiento abierto de [a,b] (aunque tenga infinitos conjuntos) se puede extraer un subrecubrimiento finito.
Aplicando esta propiedad al recubrimiento abierto \{I_{x_0}\}_{x_0\in[a,b]}, se sigue que existen puntos x_1,\dots,x_N\in[a,b] tales que los intervalos correspondientes
\displaystyle I_{x_1},\, I_{x_2},\,\dots,\,I_{x_N}
siguen recubriendo todo el intervalo:
\displaystyle [a,b]\subset I_{x_1}\cup I_{x_2}\cup\cdots\cup I_{x_N}.
Hemos pasado así de una familia infinita de intervalos abiertos a un subrecubrimiento con solo un número finito de intervalos, sin perder la propiedad de recubrir [a,b].
Paso 4: Construcción de un \delta que no depende de x_0 (continuidad uniforme)
A partir del subrecubrimiento finito definimos el número
\displaystyle \delta=\min\left\{\frac{\delta(x_1)}{2},\frac{\delta(x_2)}{2},\dots,\frac{\delta(x_N)}{2}\right\}.
Como se trata del mínimo de una cantidad finita de números positivos, se cumple que \delta\gt 0. Veremos que este \delta funciona para todo punto x_0\in[a,b], es decir, no depende de la elección de x_0.
Tomemos ahora:
- un punto arbitrario x_0\in[a,b], y
- un punto x\in[a,b] tal que |x-x_0|\lt\delta.
Como los intervalos I_{x_1},\dots,I_{x_N} recubren [a,b], el punto x_0 pertenece al menos a uno de ellos, digamos a I_{x_j} para algún j\in\{1,\dots,N\}. Por la definición de I_{x_j}, esto significa que
\displaystyle |x_0-x_j|\lt\frac{\delta(x_j)}{2}.
Además, por la definición de \delta tenemos \delta\le\frac{\delta(x_j)}{2}, de modo que de |x-x_0|\lt\delta se deduce
\displaystyle |x-x_0|\lt\frac{\delta(x_j)}{2}.
Aplicando la desigualdad triangular,
\displaystyle |x-x_j|\le |x-x_0|+|x_0-x_j| \lt \frac{\delta(x_j)}{2}+\frac{\delta(x_j)}{2} =\delta(x_j).
Por la elección de \delta(x_j) (continuidad de f en x_j para el valor \epsilon/2), las desigualdades |x_0-x_j|\lt\delta(x_j) y |x-x_j|\lt\delta(x_j) implican
\displaystyle |f(x_0)-f(x_j)|\lt\frac{\epsilon}{2} \quad\text{y}\quad |f(x)-f(x_j)|\lt\frac{\epsilon}{2}.
Usando de nuevo la desigualdad triangular se obtiene
\displaystyle |f(x)-f(x_0)| \le |f(x)-f(x_j)| + |f(x_j)-f(x_0)| \lt \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} =\epsilon.
Como x_0 y x eran arbitrarios, hemos demostrado que para el \epsilon fijado al inicio existe un \delta\gt 0, independiente de x_0, tal que
\displaystyle (\forall x_0\in[a,b])(\forall x\in[a,b]) \big(|x-x_0|\lt\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon\big).
Si renombramos x_0 como y, esto se escribe como:
\displaystyle (\forall \epsilon\gt 0)(\exists \delta\gt 0)(\forall x,y\in[a,b]) \big(|x-y|\lt\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|\lt\epsilon\big),
que es precisamente la definición de continuidad uniforme de f en [a,b]. En lo que sigue, solo necesitaremos aplicar este resultado al caso \epsilon=1.
Paso 5: De continuidad uniforme a acotación de f en [a,b]
Apliquemos ahora la continuidad uniforme con \epsilon=1. Existe un número \delta_1\gt 0 tal que para todos los x,y\in[a,b] se cumple
\displaystyle |x-y|\lt\delta_1\Rightarrow |f(x)-f(y)|\lt 1.
Dividimos ahora el intervalo [a,b] en una cantidad finita de subintervalos cuya longitud sea menor que \delta_1. Es decir, elegimos un entero n y puntos
\displaystyle a = x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_n = b
de modo que para cada k=0,1,\dots,n-1 se cumpla
\displaystyle x_{k+1}-x_k\lt\delta_1.
Consideramos ahora el conjunto finito de valores
\displaystyle \{f(x_0),f(x_1),\dots,f(x_{n-1})\}.
Al ser un conjunto finito de reales, podemos definir sin problemas
\displaystyle C = \max\{|f(x_k)| \;|\; k=0,1,\dots,n-1\}.
Mostraremos que C+1 es una cota superior en valor absoluto para f en todo el intervalo [a,b]. Sea x\in[a,b] un punto arbitrario. Entonces existe un índice k tal que x\in[x_k,x_{k+1}]. En particular,
\displaystyle |x-x_k|\le x_{k+1}-x_k\lt\delta_1.
Por la continuidad uniforme con \epsilon=1, de |x-x_k|\lt\delta_1 se sigue que
\displaystyle |f(x)-f(x_k)|\lt 1.
Usando la desigualdad triangular:
\displaystyle |f(x)|\le |f(x)-f(x_k)| + |f(x_k)| \lt 1 + |f(x_k)| \le 1 + C.
Como x\in[a,b] fue arbitrario, concluimos que
\displaystyle |f(x)|\le C+1 \quad \text{para todo } x\in[a,b],
es decir, la función f es acotada en [a,b].
Paso 6: Existencia de valores máximo y mínimo
Definimos el conjunto de valores que toma la función en el intervalo:
\displaystyle H=\{f(x)\;|\;x\in[a,b]\}\subset\mathbb{R}.
Ya sabemos que H es no vacío (porque [a,b] no lo es) y acotado, así que por el axioma del supremo existen números reales
\displaystyle M=\sup H,\qquad m=\inf H.
Probemos que M se alcanza como valor de la función, es decir, que existe x_1\in[a,b] con f(x_1)=M. Procederemos por reducción al absurdo.
Supongamos que f(x) nunca alcanza el valor M, es decir:
\displaystyle (\forall x\in[a,b])\big(f(x)\lt M\big).
Bajo esta suposición, la función
\displaystyle g(x)=\frac{1}{M-f(x)}
está bien definida y es positiva para todo x\in[a,b], ya que por hipótesis M-f(x)\gt 0. Además, como f es continua y M es constante, también lo es g. Por la primera parte de la demostración, toda función continua en [a,b] está acotada, por lo que existe un número N\gt 0 tal que
\displaystyle (\forall x\in[a,b])\big(g(x)\le N\big).
En particular, para todo x\in[a,b] se verifica
\displaystyle \frac{1}{M-f(x)} = g(x)\le N,
lo que equivale a
\displaystyle M-f(x)\ge \frac{1}{N} \quad\Rightarrow\quad f(x)\le M-\frac{1}{N}.
Esto significa que todos los valores de f(x) en [a,b] son menores o iguales que M-\frac{1}{N}. En particular, el supremo de H satisface
\displaystyle \sup H\le M-\frac{1}{N}\lt M,
lo cual contradice la definición de M como supremo de H. Por tanto, nuestra suposición inicial era falsa, y debe existir un punto x_1\in[a,b] tal que
\displaystyle f(x_1)=M.
Un razonamiento completamente análogo, aplicado al ínfimo m=\inf H (por ejemplo, considerando la función h(x)=-f(x)), demuestra que existe un punto x_2\in[a,b] tal que
\displaystyle f(x_2)=m.
Interpretación en términos de compacidad y conclusión
Hemos probado que toda función continua f:[a,b]\to\mathbb{R} es acotada y alcanza sus valores máximo y mínimo en [a,b]. En el lenguaje moderno del análisis, esto se interpreta diciendo que, en \mathbb{R}, los intervalos cerrados y acotados como [a,b] son conjuntos compactos y que las funciones continuas envían conjuntos compactos en conjuntos compactos.
En particular, si I es compacto y f es continua en I, entonces la imagen f(I) es un subconjunto compacto de \mathbb{R}. Esto garantiza que f(I) es acotado y que en él se alcanzan efectivamente un valor máximo y un valor mínimo, que es precisamente el contenido del Teorema de Weierstrass.